BLOQUE II Geometría. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto

Transcripción

1 Pág. 1 de 1 Considera los vectores u(3,, 1), v ( 4, 0, 3) y w (3,, 0): a) Forman una base de Á 3? b) Halla m para que el vector (, 6, m) sea perpendicular a u. c) Calcula u, ì v y ( u, v). a) Para que los tres vectores formen una base, han de ser L.I. Veámoslo: =? 0. Forman una base de Á b) (, 6, m) (3,, 1) = 6 1 m (, 6, m) u ï 6 1 m = 0 ï m = 6 c) u = = 14 v = = 5 = 5 ì ì 15 cos ( u, v) = = 0,0179 ( u, v) = 143 1' 3'' 14 5 Halla un vector de módulo 13 que sea perpendicular a los vectores u(4, 10, 7) y v( 1, 5, ). u Ò v = (115, 76, 0) u Ò v = = 99 = El vector buscado es u Ò v = (5, 1, 0). 3 También cumple las condiciones pedidas su opuesto: ( 5, 1, 0). Soluciones: (5, 1, 0) y ( 5, 1, 0) 3 Considera los puntos P (, 3, 5) y Q (, 9, ): a) Halla el punto medio de PQ. b) Halla el punto simétrico de P respecto de Q. c) Obtén un punto R de PQ tal que PR = RQ a) Punto medio: (,, = 5, 3, ) ( ) b) Sea S (a, b, g) el simétrico de P respecto de Q. Entonces: + a 3 + b 5 + g = = 9 a = 14, b = 1, g = 1 = Así, el simétrico de P respecto de Q es (14, 1, 1).

2 Pág. de c) P (, 3, 5) R Q(, 9, ) PQ OR = (6, 1, 3) 1 = OP + PR = OP + PQ = (, 3, 5) + (, 4, 1) = (4, 1, 4) 3 4 Dados los puntos P (3,, 0), Q (5, 1, 1) y R (, 0, 1): a) Halla la recta que pasa por P y Q. b) Halla el plano que contiene a P, Q y R. c) Halla la distancia entre P y Q. a) PQ = (, 1, 1) x = 3 + l r: y = l z = l b) PR = ( 1,, 1) PQ Ò PR = (, 1, 1) Ò ( 1,, 1) = (3, 1, 5) π π: 3(x 3) + 1(y ) 5(z 0) = 0 3x + y 5z 11 = 0 c) dist (P, Q) = = 6 x 1 y + z 1 5 Dados el punto A( 1,, 3) y la recta r: = =, calcula razonadamente: 1 1 a) La distancia de A a r. b) El punto simétrico de A respecto de r. R (1 + l, + l, 1 + l) es un punto genérico de r AR ( + l, 4 + l, + l) Buscamos R para que AR r ; es decir, AR (1, 1, ): ( + l, 4 + l, + l) (1, 1, ) = + l 4 + l 4 + 4l = 6l 6 AR r ï 6l 6 = 0 ò l = 1 Por tanto, R (, 1, 3) es el pie de la perpendicular de A a r. a) dist (A, r) = dist (A, R) = = 1 = 3

3 BLOQUE II Geometría Pág. 3 de b) El simétrico de A respecto de r es el simétrico, A' (a, b, g), de A respecto de R: 1 + a + b 3 + g = = 1 a = 5, b = 4, g = 3 = 3 Así, A'(5, 4, 3). 6 Calcula la posición relativa de la recta y el plano siguientes: (3, 1, 0) = d r // r (1, 1, 1) = n π π x = + 3l r: y = l π: x + y + z = 0 z = 0 dr n π =? 0 Por tanto, d r no es perpendicular a n π. Es decir, la recta no es paralela al plano, ni está contenida en él. Conclusión: la recta corta al plano. 7 x + y = 4 x 1 y + 1 z Dadas las rectas r: y s: = = y + z = comprueba que se cruzan y calcula la distancia entre ellas y la ecuación de la perpendicular común. Ecuaciones paramétricas de r. Llamamos y = l: x = 4 l r: y = l z = 5 l Ecuaciones paramétricas de s: x = 1 + μ s: y = 1 μ z = 3μ R 0 S 0 = ( 3, 1, 5) Posición relativa: Vemos el rango de la matriz formada por las coordenadas de los vectores d r, d s, R 0 S 0 : R 0 (4, 0, 5) dr ( 1, 1, 1) =? 0 S 0 (1, 1, 0) ds (1, 1, 3) Los tres vectores son L.I. Por tanto, las rectas se cruzan.

4 BLOQUE II Geometría Pág. 4 de El vector genérico RS ( 3 + l + μ, 1 l μ, 5 + l +3μ) tiene su origen en r y su extremo en s. RS r ï RS d r ï ( 3 + l + μ) + ( 1 l μ) ( 5 + l +3μ) = 0 7 3l 5μ = 0 RS s ï RS d s ï ( 3 + l + μ) ( 1 l μ) + 3( 5 + l +3μ) = l + 11μ = 0 Por tanto, los pies de la perpendicular común a las dos rectas son: l = 1, μ = l = 1 R(5, 1, 6) μ = S(3, 3, 6) RS (,, 0) // (1, 1, 0) dist (r, s) = dist (R, S) = + +0 = = Recta perpendicular común: x = 3 + l y = 3 + l z = 6 Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P(1, 0, 1), es paralelo a la recta r: y es perpendicular al plano a: x y + z + 1 = 0. (1,, 0) Ò (0, 0, 1) = (, 1, 0) // (, 1, 0) = d r Sea π el plano buscado y n su vector normal. Entonces: π // r ò d r n πq ò n (, 1, 1) Por tanto, n = (, 1, 0) Ò (, 1, 1) = (1,, 4). Ecuación de π: 1(x 1) (y 0) 4(z + 1) = 0 x y 4z 5 = 0 x y = 0 z = 0 9 Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y corta perpendicularmente a la recta AB, siendo A (, 0, ) y B( 1,, 1). x = 3l = ( 3,, 1) = AB d r r: y = l es la recta AB z = l Tomamos un vector genérico OR con origen en O y extremo variable en r: OR ( 3l, l, l) Obligamos a que OR r : 4 ( 3l, l, l) ( 3,, 1) = 0 ï 6 + 9l + 4l + l = 0 ï 14l = 0 ï l = = Para l =, obtenemos R,, y OR,, // (,, 10) // (1, 4, 5) La recta buscada es: ( x = l y = 4l z = 5l ) ( )

5 Pág. 5 de 10 Sean el plano π:3x y + z 1 = 0 y las rectas: x = l x = 3l r: y = + l s: y = + 4l z = 3 l z = 3 a) Halla el ángulo que forman r y s. b) Calcula el ángulo formado entre r y π. c) Halla el ángulo que forma π con el plano q determinado por r y s. dr ( 1, 1, ) //r, d s (3, 4, 0)//s, n(3,, 1) π d 1 ì a) cos ( ) = r ì d s r, s = = 0,0165 ( r, s ) = 5 19' d r d s 6 5 ì ì 7 ì b) sen ( r, π ) = cos ( d r, n) = = 0,76376 ( r, π ) = 49 47' 49'' 6 14 c) r y s se cortan en (0,, 3), evidentemente. Determinan un plano cuyo vector normal es n' = ( 1, 1, ) Ò (3, 4, 0) = (, 6, 7) ì ì 3 + ( ) ( 6) + 1 ( 7) 9 ì cos ( π, q ) = cos ( n, n' ) = = = 0,63495 ( π, q ) = 50 35' 1'' Calcula la distancia que hay entre estos planos: a: x + y z + 1 = 0 b: 4x + y z +7 = = =? ; por tanto, a y b son paralelos. 4 7 El punto A (0, 0, 1) éa. Por tanto: dist (a, b) = dist (A, b) = = = 1, Calcula m para que r y s estén en el mismo plano: x 1 x + y + z + m = 0 r: = 1 y = z s: 3x 4z + 1 = 0 x (1/) y 1 z r: = = dr = (1, 1, 1) s: d s = (1, 1, 1) Ò (3, 0, 4) = ( 4, 7, 3) Evidentemente, las rectas no son paralelas. Veamos cómo ha de ser m para que se corten.

6 Pág. 6 de Conviene expresar cada una de las dos rectas como intersección de dos planos. Obligamos a que los cuatro planos tengan algún punto común: x 1 r: = z x z = 1 1 y = z y + z = 1 x + y + z = m s: 3x 4z = 1 Para que el sistema tenga solución, es necesario que el determinante de la matriz ampliada sea cero = m ; m = 0 ï m = m Si m = 4, las dos rectas se cortan. Por tanto, están en un mismo plano. x + y = 0 13 Halla un punto de la recta s: x = y = z tal que su distancia a r: sea igual a 1 unidad. z = 3 Un punto genérico de r: R(l, l, 3) Un punto genérico de s: S(μ, μ, μ) Las dos rectas se cortan en (3, 3, 3). Al ser perpendicular a r desde s, la coordenada z debe distar 1 en ambas rectas. Por tanto, hay dos puntos de s cuya distancia a r es 1: (,, ) y (4, 4, 4). s 1 (3, 3, 3) 1 X Z r Y 14 Calcula las ecuaciones de la recta r' sabiendo que es la proyección ortogonal de r sobre π: x = l r: y = + 3l π: x y +z +4 = 0 z = 3 La recta r' es intersección de dos planos: el π y un plano a que contiene a r y es perpendicular a π. Un vector normal a a es perpendicular al vector dirección de r y al vector normal a π. Por tanto: (1, 3, 0) Ò (1, 1, ) = (6,, 4) // (3, 1, ) = n; n a (0,, 3) é a a: 3(x 0) (y + ) (z 3) = 0 a r 3x y z + 4 = 0 La recta es r': 3x y z +4 = 0 x y +z +4 = 0 π r'

7 Pág. 7 de x 5y 1 = 0 15 Dada la recta r: y el plano b: x 3y z + 6 = 0, halla la ecuación de un plano paralelo a b que diste de la recta r 3 x + 5z + 7 = 0 unidades. Para que el problema tenga solución, la recta debe ser paralela al plano. Comprobemos que es así: dr = (, 5, 0) Ò (1, 0, 5) = ( 5, 10, 5) // (5,, 1) n = (1, 3, 1) b (5,, 1) (1, 3, 1) = 0 ò d r n ò r // b La recta es paralela al plano. Obtenemos un punto de la recta dando un valor a x. Por ejemplo, para x = R(, 1, 1) Un plano cualquiera paralelo a b es de la forma: a: x 3y z + k = 0 La distancia de r a a es igual a la distancia de R a a y debe ser igual a 3: 3( 1) ( 1) + k dist (R, a) = = k = ±3 11 k = Solución: Hay dos planos que cumplen esta condición: a 1 : x 3y z 3 11 = 0 y a : x 3y z = 0 16 El plano x y + 3z 6 = 0 corta a los ejes coordenados en los puntos P, Q y R. a) Calcula el área del triángulo PQR. b) Halla el volumen del tetraedro de vértices P, Q, R y el origen de coordenadas. Puntos de corte con los ejes: P (3, 0, 0), Q(0, 6, 0), R(0, 0, ) a) PQ = ( 3, 6, 0), PR = ( 3, 0, ) 1 1 Área PQR = PQ Ò PR = ( 1, 6, 1) = 3 14 u b) Para hallar el volumen del tetraedro, podemos utilizar dos métodos. 1. er MÉTODO. Utilizando el producto mixto: V = [ PQ, PR, PO ] = 3 0 = 6 u MÉTODO. Teniendo en cuenta que el tetraedro es la sexta parte de un ortoedro de dimensiones 3, 6 y : Q 1 V = 3 6 = 6 u 6 3 P Z R O Y X

8 Pág. de 17 Dada la esfera x + y + z x + 6y 39 = 0, halla: a) Su centro. b) La ecuación del plano tangente en el punto P (1, 3, 7). a) Centro: C (1, 3, 0) b) Radio: r = 7 (1, 3, 7) pertenece a la superficie esférica? = 0. Sí pertenece, pues cumple la ecuación. (También podríamos haber comprobado que dist (P, C) = 7). El vector CP es perpendicular al plano tangente, π: CP (0, 0, 7) // (0, 0, 1), perpendicular a π. Ecuación del plano tangente a la esfera en el punto P es: π: 0(x 1) + 0(y + 3) + 1(z 7) = 0 z = 7