GEOMETRÍA VECTORES. Sean: u = (1,0, 1); v = (2, 3,0); w = ( 1,2,2) Producto escalar u v. u v = (1,0, 1) (2, 3,0) = ( 3) 1 0 = 2

Transcripción

1 º bachillerato MATEMÁTICAS II Sean: u = (1,0, 1); v = (, 3,0); w = ( 1,,) Producto escalar u v Aplicaciones: - Cálculo de ángulos. cos(u, v ) = VECTORES u v = (1,0, 1) (, 3,0) = ( 3) 1 0 = u v u v - Si dos vectores son perpendiculares ha de cumplirse que u v = 0 Producto vectorial u v Aplicaciones: u v = i j k = ( 3,, 3) Cálculo de áreas. A paralelogramo = u v ; A triángulo = - Obtención de vectores perpendiculares a dos dados. (El vector resultante de un producto vectorial es perpendicular a los dos vectores multiplicados) Producto mixto [u, v, w ] Aplicaciones: u v [u, v, w ] = 3 0 = = Cálculo de volúmenes. V paralelepípedo = [u, v, w ] ; V tetraedro = [u,v,w ] 6 1

2 º bachillerato MATEMÁTICAS II ECUACIONES DE LA RECTA r P r = (1,0, ) V r = (,1, 1) Ecuación vectorial. r (x, y, z) = (1,0, ) + λ(,1, 1) x = 1 + λ Ecuación paramétrica. r y = λ Cualquier punto que pertenezca a la recta r tiene que cumplir z = λ Q = (1 + λ, λ, λ). Si nos fijamos en la ecuación paramétrica de una recta es la solución de un sistema compatible indeterminado, dado que tiene infinitas soluciones, como infinitos puntos tiene la recta. Ecuación continua de la recta. r x 1 = y = z+ 1 1 Ecuación implícita de la recta. Se obtiene a partir de coger dos igualdades de la continua. x 1 = y x y = 1 r r y = z + y z = Para pasar de la ecuación implícita a la paramétrica bastaría con resolver el sistema compatible indeterminado de la ecuación implícita POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS (r y s) Forma 1. Haciendo el determinante de V r, V s y P r s - Si el determinante formado por los tres vectores V r, V s y P r s da distinto de 0, las rectas r y s se cruzan. - Si el determinante formado por los tres vectores V r, V s y P r s da 0, existen tres posibilidades: a. Secantes. V r y V s no son proporcionales. b. Paralelas. V r y V s son proporcionales. c. Coincidentes. V r, V s y P r s son proporcionales. Forma. A partir de las ecuaciones implícitas de las dos rectas y de sus matrices Ax + By + Cz = D A x + B y + C z = D r ; s A x + B y + C z = D A x + B y + C z = D A B C A B C D A B C A = ( ) A A B C A B C D = ( ) A B C D A B C A B C D - Se cruzan: rang(a) = 3 ; rang(a ) = 4 (Sistema incompatible --> ningún punto en común) - Secantes: rang(a) = 3 ; rang(a ) = 3 (Sistema compatible determinado --> un punto en común) - Paralelas: rang(a) = ; rang(a ) = 3 (Sistema incompatible --> ningún punto en común) - Coincidentes: rang(a) = ; rang(a ) = (Sistema compatible indeterminado --> infinitos puntos en común)

3 º bachillerato MATEMÁTICAS II ECUACIÓN DEL PLANO Un plano se puede determinar de dos formas dependiendo de los elementos que tengamos para su obtención: - Si tenemos vectores paralelos y un punto contenido en él. u = (1,0, 1) x y 1 z + π v = (, 1,3) ; π = 0 ; π z y + x 3y + 3 = 0 ; P = (0,1, ) 1 3 π x 5y z + 3 = 0 ; n π = ( 1, 5, 1) - Si tenemos su vector normal y un punto contenido en él. n = (1,,0) π ; π x y + D = 0 ; P π (1) ( ) + D = 0 ; D = 5 P = (1,,3) π x y 5 = 0 POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS Dos planos entre sí pueden ser: - Secantes: los vectores normales no son proporcionales. - Paralelos: los vectores normales son proporcionales, pero sus ecuaciones no son proporcionales. - Coincidentes: sus ecuaciones son proporcionales. POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS Para estudiar las posiciones relativas de tres planos, habría que estudiar previamente su posición relativa por parejas (π 1 con π, π 1 con π 3 y π con π 3 ) y ver si hay paralelismo entre alguno de ellos. Si las tres combinaciones posibles fuesen secantes, habría que estudiar si los tres planos se cortan en una recta ó en un punto. Para determinar esto último tendríamos que estudiar el rango de las matrices formadas por sus ecuaciones: π 1 Ax + By + Cz + D = 0 π A x + B y + C z + D = 0 π 3 A x + B y + C z + D = 0 A B C A B C D A = ( A B C ) A = ( A B C D ) A B C A B C D - Se cortan en un punto: rang(a) = 3 ; rang(a ) = 3 (Sistema compatible determinado --> tienen en común un único punto) - Se cortan en una recta: rang(a) = ; rang(a ) = (Sistema compatible indeterminado --> tienen infinitos puntos en común los tres planos) 3

4 º bachillerato MATEMÁTICAS II INTERSECCIONES INTERSECCIÓN RECTA PLANO Si la recta y el plano son secantes, la intersección producida por ambos es un punto. Ejemplo de cómo calcularlo: x = 1 r y = 1 + λ π x y + z 1 = 0 z = λ Como P r; P = (1, 1 + λ, λ) Como P π; (1) ( 1 + λ) + (λ) 1 = 0; + 1 λ + λ 1 = 0 λ = 0 λ = si λ = P = (1, 3, ) INTERSECCIÓN PLANO PLANO Si los planos son secantes, la ecuación de la recta que da origen a dicha intersección es el sistema formado por las ecuaciones de los dos planos. Ejemplo de cómo calcularla: π 1 x z + = 0 ; π y + z 4 = 0 La recta intersección de π 1 y π (son secantes ya que sus vectores normales no son proporcionales) sería: x = + λ x z + = 0 r y + z 4 = 0 z = λ r y = 4 λ z = λ INTERSECCIÓN RECTA-RECTA Si las rectas son secantes en un punto, para determinar el punto de corte: Si las rectas están en su expresión paramétrica: r x = 3 + λ y = 1 s x = 3 + µ y = µ z = λ z = 1 3µ Igualamos las coordenadas de cada ecuación y despejamos los parámetros: x = x 3 + λ = 3 + µ x = 1 λ = y = y 1 = µ y = 1 µ = 1 z = z λ = 1 3µ z = Punto de corte P = (1, 1, ) Si las rectas están en su expresión implícita: x y = 3 x + z = 3 r s 3y + z = 1 y = ( ) F F 3 F 1 ( ) F 3 3F 3 F ( ) F 4 3F 4 F F x y = 3 x = F 4 + F 3 ( ) 3y + z = 1 y = z = z = Punto de corte P = (1, 1, ) 4

5 º bachillerato MATEMÁTICAS II SIMETRÍAS Punto simétrico de P respecto de Q. P(1, 1,0) ; Q(3,, 1) P + P Q = ; (3, 1) = (1, 1,0) + (p 1, p, p 3 ) p 1 = 5 p = 5 P (5, 5, ) p 3 = ; (3, 1) = ( 1 + p 1, 1 + p, p 3 ) ; Punto simétrico de P respecto de r. Calculamos Q, punto medio entre P y P : Q r Q(0,1 λ, + λ) ; x = 0 P(1, 1,0) r y = 1 λ z = + λ PQ = ( 1, λ, + λ) ; V r = (0, 1,) PQ V r = 0 ; ( 1, λ; + λ) (0, 1,) = 0 ; + λ λ = 0 ; λ = 5 Q (0, 7 5, 1 5 ) Aplicamos que Q es el punto medio de P y P : P + P Q = ; (0, 7 5, 1 5 ) = (1, 1,0) + (p 1, p, p 3 ) p 1 = 1 p = 19 5 p 3 = 5 ; (0, 7 5, 1 5 ) = (1 + p 1 P ( 1, 19 5, 5 ), 1 + p, p 3 ) ; Punto simétrico de P respecto de π. P(1, 1,0) π x + y z + 1 = 0 Calculamos la recta que pasa por P y es perpendicular a π: P(1, 1,0) x = 1 + λ r V r y = 1 + λ r = n π = (1,1, ) z = λ Calculamos la intersección de r con π: Q r Q(1 + λ, 1 + λ, λ) ; Q π (1 + λ) + ( 1 + λ) ( λ) + 1 = 0 ; λ = 1 6 Q (5 6, 7 6, 1 3 ) Aplicamos que Q es el punto medio de P y P : P + P Q = ; ( 5 6, 7 6, 1 3 ) = (1, 1,0) + (p 1, p, p 3 ) p 1 = 3 ; ( 5 6, 7 6, 1 3 ) = (1 + p 1, 1 + p, p 3 ) ; p = 4 3 P ( 3, 4 3, 3 ) p 3 = 3 5

6 º bachillerato MATEMÁTICAS II DISTANCIAS Distancia punto-punto. Bastaría con hacer el módulo del vector que une dichos puntos. A(, 1,3) ; B(0, 1,4) d(a, B) = AB AB = (,0,1) d(a, B) = ( ) (1) = 5 u Distancia punto-recta. Distancia punto-plano. P r = (0,,0) ; PP r = (,3, 3) ; d(p, r) = PP r V r V r x = λ P(, 1,3) ; r y = + λ z = 3λ d(p, r) = PP r V r V r V r = ( 1,1,3) ; PP r V r = i j k 3 3 = (1,9,1) = ( 1) = 6 11 = 483 u 11 P(, 1,3) ; π x y 4z 1 = 0 d(p, π) = A p 1 + B p + C p 3 + D A +B +C 1 ( 1) 4 (3) 1 d(p, π) = 1 + ( ) + ( 4) = 9 1 = 3 1 u 7 Distancia recta-recta (en caso de que se crucen). x = 1 λ r y = 0 z = λ ; s x = 3µ y = µ z = 1 + µ d(r, s) = [P rp s, V r, V s ] V r V s P r = (1,0,0) ; P s = (,0, 1) ; P r s = (1,0, 1) ; [P r s, V r, V s ] = 1 0 = ; V r V s 3 1 d(r, s) = [P rp s, V r, V s ] V r V s = V r = ( 1,0,) ; = i j k 1 0 = ( 4,5, ) 3 1 ( 4) ( ) = 45 = 5 15 u V s = ( 3,,1) 6

7 º bachillerato MATEMÁTICAS II Distancia recta-recta (en caso de que sean paralelas). Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas hay que coger un punto cualquiera de una de las rectas, y hacer distancia punto (P r) recta (s). d(r, s) = d(p r, s) Distancia recta-plano (la recta y el plano tienen que ser paralelas, de lo contrario, la distancia sería nula). Para calcular la distancia entre una recta y un plano paralelas hay que coger un punto cualquiera de la recta y hacer distancia punto-plano. d(r, π) = d(p r, π) Distancia plano-plano (los planos tienen que ser paralelos, de lo contrario, la distancia sería nula). Para calcular la distancia entre dos planos paralelos hay que coger un punto cualquiera de uno de los planos y hacer la distancia entre el punto y plano. d(π 1, π ) = d(p π1, π ) RECTA PERPENDICULAR COMÚN Dadas las rectas r y s, calcula la recta perpendicular común a las dos (t). x = 1 λ r y = 1 Q r; Q(1 λ, 1, 1 + λ) ; z = 1 + λ V r = ( 1,0,) x = µ s y = µ P s; P(µ, µ, 1) ; V s = (1, 1,0) z = 1 La recta t, tendrá por vector directo el vector QP: QP = (µ + λ 1, µ 1, λ + ) La recta t, como tiene que ser perpendicular a r y s, planteamos: QP = 0 ; ( 1,0,) (µ + λ 1, µ 1, λ + ) = 0 ; µ λ + 1 4λ + 4 = 0 ; 5λ µ = 5 V r QP = 0 ; (1, 1,0) (µ + λ 1, µ 1, λ + ) = 0 ; µ + λ 1 + µ + 1 = 0 ; λ + µ = 0 V s Resolvemos el sistema Obtenemos el punto y el vector de la recta t: 5λ µ = 5 λ + µ = 0 t (recta perpendicular común) λ = 10 9 µ = 5 9 Q ( 1 11, 1, 9 9 ) QP = ( 4 9, 4 9, t 9 ) x = t y = t z = t 7