Medidas en el espacio

Transcripción

1 Medidas en el espacio

2 Introducción: En el tema anterior vimos: Las ecuaciones de la recta y el plano Las propiedades afines de la recta y el plano Paralelísmo Incidendia Intersección En el presenta tema veremos: Las propiedades métricas de los elementos geométricos: Ángulos Distancias Áreas Volúmenes

3 Problemas métricos Hacen referencia a la medida de: Distancias, ángulos, áreas y volúmenes Para resolver los problemas métricos: Nos apoyamos en la representación gráfica Nos apoyamos en el razonamiento geométrico Nos servimos de las operaciones vectoriales

4 Medida de ángulos 1. Ángulo entre dos rectas: Dos rectas forman el mismo ángulo que el que forman sus vectores directores: u v Recuerda que el ángulo α que forman dos vectores u y v es : cos α = u v s v u Ángulo que forman las rectas "r" y "s" = u v =arcos(r,s)=arcos(u, v) = arcos u v r

5 Ejemplo Qué ángulo forman las rectas Comprobamos primero que se cortan: α Si llamamos al ángulo que forman las rectas: x= 1 2λ x= 3 μ r: y= 2 + λ y s: y= 1+ μ z λ = z= 1 μ = ( 2 1 1) cos α= = = 2,1,1 1,1, [ ] [ ] α=arcos 3 2 1,079 radianes

6 Ángulo de dos planos Los planos forman el mismo ángulo que el que forman sus vectores normales P P Q Qué ángulo forma el plano P:2x+3y z=3 con el plano Q:3x 2y+2z=5? Q Se llamamos α al ángulo que Forman los planos: 3 ( 2 3 1) cos α = = ( ) ( )

7 Ángulo entre plano y recta El ángulo que forma la recta y el plano es complementario del ángulo que forma la recta y la normal de plano: N r P r P Ángulo( N, r) + Ángulo( r, P) = π rad 2

8 x = 2 + λ Qué ángulo forma la recta r: y = 1 2λ con el plano z = λ α Si llamamos al ángulo que forma la recta con el plano: ángulo( 1,1,1,, 1, 2, 1 ) π α + = 2 Sen( α) = Cos 1,1,1,, 1, 2, 1 ( ) luego, de donde: 1 ( 1 2 1) 1 α = sen( ) = = ( ) ( ) α = arsen( 0,47) = 5,79 rad. p: x+ y+ z 3 = 0

9 Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos A y B es igual al módulo del vector AB Calcula la distancia del punto A(1,2, 3) al punto B( 1,3,4) El vector AB = ( 1,3, 4) (1, 2, 3) = ( 2,1, 7), luego la distancia de A a B es AB = ( 2) = 3 6 unidades de longitud

10 Distancia de un punto a una recta P P PP' 90º r r a) Método geométrico: Se traza una perpendicular a la recta desde el punto P para encontrar el punto P Se calcula la distancia entre los puntos P y P x = 2 + λ Calcular la distancia del punto (2,1,3) a la recta y = 1 λ z = λ Cualquier punto de recta tiene la forma ( 2 + λ,1 λλ, ); cualquier vector con origen en P y final en la recta tiene la forma 2 λ 2,1 λ 1, λ 3 + = [ λ, λ, λ 3] El vector PP' y el vector r 1 son perpendiculares : ( λ λ λ 3) 1 = 0 λ = d, = d, ' = d(2,1,3),(3,0,1) = (3 2) + (0 1) + (1 3) = 6 uni. de long. Pr PP

11 O bien: Calcular la distancia del punto (2,1,3) a la recta P r x = 2 + λ y = 1 λ z = λ P 1 por el punto P trazamos un plano perpendicular a r x y+ z 4= 0 Dicho plano corta a la recta en el punto P 1 x y+ z 4= 0 x = 2 + λ 2+ λ 1+ λ+ λ 4= 0 λ = 1 P 1 = (3,0,1) y = 1 λ z = λ Calculamos la distancia de P a P 1 dp,p 1 = 6 unidades de longitud

12 b) Método vectorial La distancia de un punto a una recta es la altura de paralelogramo limitado por el vector de la recta y por el vector que une el punto con cualquier punto de la recta P0 v h Luego: Área = base altura altura = d pr, PP 0 v = v Área base

13 Calcular la distancia del punto (2,1,3) a la recta 0 x = 2 + λ y = 1 λ z = λ PP = 2 2,1 1,0 3 = 0,0, 3 v = [ ] [ ] [ 1, 1,1] d p,r i j k [ ] [ ] = = = uni. de long.

14 Distancia de un punto a un plano P a) Método geométrico: Se traza una perpendicular al plano desde el punto P para encontrar el punto P Se mide la distancia de P a P Calcular la distancia de punto (1,2, 1) al plano x+y+z 5=0 La recta x 1= y 2= z+ 1, perpendicular al plano, pasa por el punto dado y corta al plano en el punto (2,3,0) d P,P = [1,1,1] = unidades de longitud 3

15 b) Método vectorial: α P α n P En cualquier punto P trazamos el vector normal del plano y el vector Se cumple: PP' = PP'' cos α pero PP'' n cos α = PP'' n PP'' n d P, π = PP' = n n PP'' luego:

16 Calcular la distancia del punto (1,2, 1) al plano x+y+z 5=0 Buscamos un punto cualquiera del plano, por ejemplo: X=1 Y=1 Z=5 1 1=3 Y aplicamos la fórmula anterior: 1 ([1 1 3] [1 2 1]) d p, π = = = 3 unid. de long. [1,1,1] 3 Dado que el punto P está en el plano, la fórmula anterior se puede escribir en la forma: Ax + By + Cz + D o o o d = A + B + C

17 Distancia entre dos rectas r d s Sean r y s dos rectas que se cruzan en el espacio La distancia entre ambas rectas será la medida del segmento perpendicular a ambas Calcular la distancia entre las rectas r: x = y+ = z y s: x 1 = y = z El segmento que une un punto (1 + 2 λ, λλ, ) de r, con un punto (1 + μ,1 + 2 μ,2 + 3 μ) de s, es el módulo del vector: (1 + 2 λ, λλ, ) (1 + μ,1 + 2 μ,2 + 3 μ) = 2 λ μ,3λ 2μ 2, λ 3μ 2 [ ] [ ] Como d debe ser perpendicular a r y a s, debe cumplirse: [ ] [ λ μ λ μ λ μ ] 2 λ μ,3λ 2μ 2, λ 3μ 2 [2,3,1] = 0 14λ 11μ 8 = λ =, μ = 2,3 2 2, 3 2 [1,2,3] = 0 11λ 14η 10 = Luego el módulo de d es ,3 2 2, 3 2 =,, unid. de long. λ=, μ= = [ λ μ λ μ λ μ ] 2 52

18 Método vectorial: v r d w s La distancia,d,entre las rectas r y s es igual a la altura del prisma limitado por los vectores de ambas rectas y por un vector que une ambas rectas Volumen PP, o vw, altura= > d = Área de la base v w x 1 y+ 1 y 1 z 2 Calcular la distancia entre las rectas r: = = z y s: x 1= = d rs. = = = = unid. de long. [ 2,3,1] [ 1,2,3 ] [ 7, 5,1 ]

19 Distancia de una recta a un plano Un plano y una recta pueden ser a) coincidentes, b) secantes o c) paralelos r r r π π π En los casos a) y b) la distancia es cero y en el caso c) la distancia de la recta al plano es la misma que la distancia de cualquier punto de la recta al plano Calcular la distancia del la recta de l recta x 1 y+ 2 2 z al plano 2x y+z 5=0 = = [ ] [ ] Los vectores 3,2, 4 y 2, 1,1 son perpendiculares, luego la recta y el plano son paralelos o coincidentes 2(1) 1( 2) + 1(1) d r, π = = = unid. de long ( 1)

20 Distancia entre dos planos Dos planos pueden sea a) coincidentes, b)secantes o c)paralelos P Q P Q Q P En los casos a) y b) la distancia entre los planos es cero, y en el caso c) la distancia la podemos obtener trazando una perpendicular a ambos planos y midiendo la distancia de los puntos de corte de esa perpendicular con los planos Calcular la distancia entre lo planos P:2x+y z+2=0 y Q:2x+y z 6=0 x z 2 = y = 2 1 Por el punto (0,0,2) del plano P trazamos una perpendicular, que 8 4 2,, corta al plano Q en el punto ; de donde la distancia entre los planos es: d P,Q = + + = unid. de long

21 También podemos calcular la distancia entre dos planos paralelos normalizando las ecuaciones de los planos y restando los términos normalizados D N Calcular la distancia entre lo planos P:2x+y z+2=0 y Q:2x+y z 6=0 La ecuación normalizada del plano P es La ecuación normalizada del plano Q es P: N y z 0 6x = Q: N y z 0 6x = Y la distancia entre ambos planos es: d P,Q = = = unid. de long

22 Áreas Área del rectángulo de vértices A,B,C y D B C A D S= AB BC Área del triángulo de vértices A,B y C B A C 1 S= AB BC 2

23 Volúmenes Volumen del paralelepípedo: B C V = AB, AC, AD A D A Volumen del tetraedro: B C D V = 1 AB, AC, AD 6

24 Lugares geométricos en el espacio(1) Plano mediador de un segmento es el plano que es perpendicular a él en su punto medio 4x 8y 2z 3= 0 A(1,2,3) B(3, 2,2) Encontrar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos A(1,2,3) y B(3, 2,2) ( x 1) + ( y 2) + ( z 3) = ( x 3) + ( y+ 2) + ( z 2) x 8y 2z 3= 0

25 Lugares geométricos en el espacio(2) Plano bisector de un ángulo diedro es aquel que divide el ángulo en dos ángulos iguales Q 2x y z+ 5= 0 y z 1= 0 P Encontrar los puntos del espacio que equidistan de los planos P:x z+2=0 y Q=x y+3=0 de donde obtenemos los planos y x z+ 2 x y+ 3 = ± 2 2 y z 1= 0 2x y z+ 5= 0

26 FIN DE TEMA