EL ESPACIO AFÍN EUCLIDEO

Transcripción

1 EL ESPACIO AFÍN EUCLIDEO DEFINICIÓN: Dado el Espacio Afín donde es el espacio ordinario, es el espacio de los vectores libres y f es la aplicación que a cada par de puntos (A,B) asocia el vector libre. Llamaremos Espacio Afín Euclideo a la terna donde es un producto escalar asociado a. Es decir, el Espacio Afín Euclideo es el Espacio Afín cuyo espacio vectorial asociado está provisto de un producto escalar. SISTEMA DE REFERENCIA ORTONORMAL Dado un sistema de referencia en el Espacio Afín la base es ortonormal. diremos que es ortonormal si El Sistema de Referencia Canónico es un sistema de referencia ortonormal. A partir de ahora utilizaremos siempre este sistema de referencia. VECTOR PERPENDICULAR A UN PLANO Sea π un plano y un vector. Diremos que es un vector normal al plano π cuando es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano. Analíticamente: Sean X( e Y( dos puntos del plano π. Por ser puntos del plano cumplen su ecuación, entonces: Si llamamos al vector de componentes y como por la expresión anterior = 0 Es decir, los vectores y son ortogonales y podemos afirmar que los coeficientes de la ecuación general del plano (A, B, C) proporcionan las componentes de un vector normal al plano. 1

2 ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO Sea π un plano y A un punto de dicho plano. Cualquier otro punto del plano X determina con A un vector. Si llamamos a un vector normal al plano, se verifica que y son ortogonales y por tanto que es la ecuación normal del plano. Expresión Analítica: = 0 Dados A(, X(x, y, z) y tenemos si llamamos nos queda que es la ecuación del plano. COORDENADAS DEL VECTOR DIRECTOR DE UNA RECTA Sea r una recta dada por la intersección de dos planos: El vector es un vector normal al plano y el vector es un vector normal al plano. La recta r tiene como vector director a un vector que será perpendicular a y a. Por lo tanto Expresión que nos permite calcular un vector director de una recta determinada por la intersección de dos planos. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados dos puntos A ( y B ( del espacio, se llama distancia del punto A al punto B y se denota d(a,b) a la longitud del segmento : Analíticamente: d(a,b) = = d(a,b) = 2

3 ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS a) Ángulo entre dos rectas: Sean r y s dos rectas cuyos vectores directores son y respectivamente. Llamaremos ángulo entre las dos rectas al ángulo que forman y : = = arcos b) Ángulo entre una recta y un plano: Dados un plano cuyo vector normal es y una recta r cuyo vector director es. Llamaremos ángulo entre la recta y el plano, al ángulo que forman la recta r con su proyección sobre el plano : = = arcsen Demostración: Luego sen os arcsen cqd c) Ángulo entre dos planos: Sean un plano cuyo vector normal es y un plano cuyo vector normal es. Llamaremos ángulo que forman los dos planos al ángulo que forman sus vectores normales: PERPENDICULARIDAD Dadas las rectas r y s cuyos vectores directores son, respectivamente, y. Y dados los planos y cuyos vectores normales son, respectivamente, y. Se dice: a) Las rectas r y s son perpendiculares si y solo si lo son sus vectores directores, es decir r s 3

4 b) La recta r y el plano son perpendiculares si y solo si el vector director de la recta es paralelo al vector normal del plano, es decir c) Los planos y son perpendiculares si y solo si lo son sus vectores normales, es decir PARALELISMO Dadas las rectas r y s cuyos vectores directores son, respectivamente, y. Y dados los planos y cuyos vectores normales son, respectivamente, y. Se dice: a) Las rectas r y s son paralelas si y solo si lo son sus vectores directores, es decir r // s // b) La recta r y el plano son paralelos si y solo si el vector director de la recta es ortogonal al vector normal del plano, es decir r // c) Los planos y son paralelos si y solo si lo son sus vectores normales, es decir DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA // // Sea P un punto y r una recta. Se llama distancia del punto P a la recta r, y se denota d(p,r), a la menor de las distancias entre los puntos de la recta r y el punto P. Para calcular d(p,r), consideramos dos puntos cualesquiera de la recta A y B y formamos el triángulo de vértices APB. El área del triángulo es: Por otro lado h = d(p,r) = Otra forma de proceder: a) Calculamos la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r (utilizando el vector director de la recta como normal del plano). b) Determinamos el punto de corte, P, de la recta r y el plano calculado anteriormente. 4

5 c) Determinamos la distancia de P a P. d(p, r) = d(p, P ). Al punto P se le llama proyección del punto P sobre la recta r. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO Sea P un punto y un plano. Se llama distancia del punto al plano y se denota d(p, a la menor de las distancias entre los puntos del plano y el punto P. Si A es un punto cualquiera del plano y su vector normal, entonces: Demostración: la distancia d(p, ) = Por otro lado multiplicamos por el vector normal : como y son ortogonales = = os, como son paralelos os os = d(p, = Al punto B se le llama proyección del punto P sobre el plano. Analíticamente: Sean P (, A ( y d(p, = = 5

6 como A pertenece al plano d(p, DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS Sean r y s dos rectas. Se llama distancia entre r y s, y se denota d(r, s), a la menor de las distancias entre cada par de puntos de las dos rectas: a) Distancia entre dos rectas que se cortan: en este caso d(r, s) =0 b) Distancia entre dos rectas paralelas: dado un punto P cualquiera de r, la distancia de r a s es d(r, s) = d (P, s) c) Distancia entre dos rectas que se cruzan: dados dos puntos de r A y A y dos puntos de s B y B, la distancia de r a s es : d (r, s) = ÁREA DEL TRIÁNGULO Sean los puntos A, B, C y D del espacio. Estos puntos determinan un paralelogramo Sabemos que su área es área del triángulo es :. Si consideramos el triángulo de vértices ABC, el Área (triáng ABC) = ÁREA DE UN POLÍGONO Dado un polígono cualquiera, su área se obtiene descomponiendo dicho polígono en triángulos. 6

7 VOLUMEN DEL TETRAEDRO Sea el paralelepípedo determinado por paralelepípedo es Volumen =. Sabemos que el volumen del Como el tetraedro está contenido 6 veces en paralelepípedo, tenemos Volumen (ABCD) = 7