Matemáticas II -.Global 2º Soluciones 2007/08

Transcripción

1 1º.-Sabiendo que : A+ B y que A+ 2B calcular la matriz X que cumple AX B Para poder resolver la ecuación debemos calcular previamente A y B : A+ B C 2D C 1 B A 4B 2D A B C A+ 2B D A+ 2B 2C 2C D 1 A A+ 2B D Luego: X A B 2º.-a) Discutir el siguiente sistema en función de parámetro λ 3x λ y+ z 4 λx 2y+ 2z 2x+ λ y z λ y resolverlo en el caso de que sea compatible e indeterminado b) cuando λ 1, cuál es la posición relativa de los tres planos definidos por las ecuaciones del sistema? a) Dado que el rango de la matriz de coeficientes es 2 3x λy+ z 4 3 λ 1 x 4 λx 2y+ 2z λ 2 2 y 2x λ y z λ 2 λ 1 z λ + A X B Página 1 de 6

2 3 λ 1 Si λ 1 Rango de A 3 λ 2 2 1λ SI λ 1 Rango de A 2,pues 2 λ -1-2 Por ello: SI λ 1, sistema es compatible y determinado Si λ 1, el sistema es compatible e indeterminado, pues: Rang(AB)Rang Rang 4 11 Rang Cuya solución es : 3x y+ z 4 3x y+ z 4 3x y 4 z x 2y+ 2z x 2y+ 2z x 2y 2z 2x+ y z Que podemos resolver por Cramer: 4 z 3 4 z 2z z z 1 x ; y b) Se trata de tres planos que se cortan en la recta : 3 x 11 r: y + t z t Página 2 de 6

3 3º.-Dados los puntos A( 1,1,1 ), B(, 3, 3 ) y C( 3,1, 3), encontrar: a) El centro de la circunferencia que pasa por esos puntos. b) La ecuación de la tangente a esa circunferencia que pasa por el punto A a) Los tres puntos estén en el plano x 1 2 y 2 2x 3y 2z+ 3 (1) z 4 2 Por otra parte, si el centro es el punto Oxyz, (,, ) el radio es la distancia de cada uno de dichos puntos al punto O, es decir: ( x 1) + ( y 1) + ( z 1) ( x ) + ( y 3) + ( z+ 3) dao db dco ( x 1) + ( y 1) + ( z 1) ( x 3) + ( y 1) + ( z 3) Que desarrollando y simplificando obtenemos las ecuaciones: 2x 4y+ 8z+ 1 (2) x+ z 4 (3) Y resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1), (2) y(3), obtenemos el centro: 161 x 2x 3y 2z x 4y+ 8z+ 1 y,es decir 17 O ,, x+ z z 34 También podríamos encontrar el centro como punto de intersección entre el plano (1) y los planos perpendiculares a las cuerdas AB(2 ) y AC(3 ),en sus puntos medios - Plano que es perpendicular a la cuerda AB por su punto medio: 1 BA [ 1, 2, 4], punto medio de AB,2, Plano : x 2y+ 4z+ 2x 4y+ 8z+ 1 (2 ) 2 - Plano que es perpendicular a la cuerda AC por su punto medio: AC [ 2,, 2], punto medio de AC (2,1,2) 2x+ 2y 8 x+ y 4 3 Plano : ( ) Página 3 de 6

4 Dichos planos coinciden con los anteriormente calculados (2) (2 ) y (3) (3 ), ya cada uno es el conjunto de punto (lugar geométrico) que equidistan de los extremos de la cuerda. b) La tangente en una circunferencia es perpendicular al radio: Dado que el radio está en la recta que pasa por el punto A y por el punto O, estará en un plano cuyo vector normal será OA 127, 62, 9 [ 127,124, 9] y contiene el punto A; es pues: 127x+ 124y9z 192 Como la tangente tiene que estar en el plano de la circunferencia (1), la ecuación de la recta tangente buscada es: 2x 3y 2z x+ 124y9z 192 x+ y z 3 4º.- Calcular la distancia entre las rectas r : 2x z 8 Pasando la recta a forma paramétrica: x 4 + t r: y 1 + t z 2t a) Aplicando la fórmula: y x 2 + λ s: y 1 λ z λ d rs, i j k [3,1, 2] u. de l b) Por métodos geométricos: Vector genérico que une puntos de r con puntos de s: [ 4 + t, 1 + t,2t] [ 2 + λ, λλ, ] [ 2 + t λ, t+ λ,2t λ] La distancia entre las dos rectas debe ser la longitud del segmento perpendicular a ambas, luego: 1 [ 1,1, 2 ][ 2 t λ, t λ, 2t λ] t + + 2t 3λ [ 1, 1,1 ][ 2 + t λ, t+ λ, 2t λ] 3t λ λ 7 Página 4 de 6

5 Luego ala distancia entre las rectas es la distancia este los puntos: p,, r y p s,, d pr, p s 14 uni. de l. 7 º.-Estudiar la continuidad de la función: x + 1 f( x) 1 x Primera explicitamos la función: x 1 si x< x si x < x+ 1 x+ 1 si x x+ 1 f( x) f( x) 1 si x< 1 x x si x< 1 x x x + 1 x si x si x 1 x Dentro de las ramas la función es discontinua en x 1. Veamos lo que sucede en los cambios de rama: En x 1 la función es discontinua de salto 2 ya que los límites laterales no coinciden. En x lim f( x) 1 x lim f( x) lim f( x) 1, y f () 1, luego la función es x lim f( x) 1 x + x 1 continua en x Así pues, la función es discontinua en los puntos x 1 y x 1 6º.- Estudiar la continuidad de la función: 2x 3x + 1 si x < 1 x + 3x 9x+ f( x) 1 x si x > 1 1 x Cómo podríamos redefinir la función para que fuese continua en todas la recta real Página de 6

6 Para x < 1 la función presenta una discontinuidad en x, y además no existe lim f ( x) x Para x > 1 la función es siempre continua. Veamos que sucede en x 1 2 2x 3x + 1 2x x 2x lim lim lim 2 x 1 x + 3x 9x+ x 1 x + 4x x 1 x + 2 lim f( x) x 1 1 x 1 1 lim lim + x 1 1 x + 1 x 1 1+ x 2 Podríamos redefinir la función en x 1, en la forma: 2x 3x + 1 si x < 1 x + 3x 9x+ 1 f( x) si x x si x > 1 1 x Para que fuese continua en dicho punto. La nueva función sería continua en todos los puntos de la recta real menos en x Página 6 de 6