ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA

Transcripción

1 ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA Circunferencia: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno interior llamado centro. Ecuación de la circunferencia de centro C(a,b) y radio r: la distancia de un punto X(x,y) cualquiera de la circunferencia al centro C(a,b) tiene que ser r. d(x,c) = r, x a (y b) r, x a (y b) r, x a (y b) r Desarrollando, x ax a y by b r, x y ax by a b r 0 que se puede escribir x y Ax By C 0

2 Qué condiciones tiene que cumplir x + y + Ax + By + C = 0 para que sea la ecuación de una circunferencia? La ecuación de una circunferencia se puede escribir x a (y b) r, que desarrollado nos da x y ax by a b r 0 x y Ax By C 0, que se puede escribir de la forma, comparando las dos últimas expresiones a A b B a b r C A a B b r a b C, r a b C 0, A B r C 0

3 CONCLUSIÓN: un polinomio de º grado en xy es la ecuación de una circunferencia si: x y Ax By C 0 a) Los coeficientes de x e y son iguales. b) No tiene término xy. c) Se tiene que cumplir: A B C 0 d) Si se cumplen todas las condiciones anteriores entonces r A B C A B Centro :,

4 Ejemplo 1: escribir la ecuación de la circunferencia de centro C(-1,) y radio 3 Circunferencia de centro C(a,b) y radio r: x a (y b) r x ( 1) (y ) 3 x y x 4y 4 0, x 1 (y ) 9, x x 1 y 4y 4 9 0, Ejemplo : de los siguientes polinomios averigua cuales corresponden a circunferencias, halla su centro y su radio. a) x + y 4x + 6 = 0 b) 3x + 3y 1x + 6y 1 = 0 c) x + y + 4x 6y + 13 = 0 d) x + y + 8x 4y 5 = 0 e) 4x + 4y + 4x 8y 95 = 0

5 a) x + y 4x + 6 = 0 Los coeficientes de x e y son iguales y no tiene término xy. A B 4 C No es la ecuación de una circunferencia Otra forma: intentemos escribir la ecuación de la forma (x a) + (y b) = r X 4x = (x ) 4, luego la ecuación se puede escribir (x ) 4 + y + 6 = 0, (x ) + y + = 0, (x ) + y = - Conclusión: no es la ecuación de una circunferencia porque el º miembro es negativo

6 b) 3x + 3y 1x + 6y 1 = 0 Los coeficientes de x e y son iguales y no tiene término xy. Si dividimos toda la ecuación por 3 se obtiene x + y 4x + y 4 = 0 A B 4 C 4 ( ) 4 1( 4) Es la ecuación de una circunferencia de r = 3 9 Ahora se halla el centro: a A 4,b B 1 C(,-1) Otra forma, la ecuación x + y 4x + y 4 = 0 se puede escribir así : (x ) 4 + (y + 1) 1 4 = 0, (x ) + (y + 1) = 9 Es la ecuación de la circunferencia de C(,-1) y r = 3

7 b) 3x + 3y 1x + 6y 1 = 0 Es la ecuación de la circunferencia de C(,-1) y r = 3 1) Marcamos el centro C(,-1) ) Señalamos los puntos P(5,1), Q(,), R(-1,-1) y S(,-4) 3) Dibujamos la circunferencia

8 c) x + y + 4x 6y + 13 = 0 Los coeficientes de x e y son iguales y no tiene término xy. A B 4 6 C No es la ecuación de una circunferencia Otra forma, la ecuación se puede escribir como : (x + ) 4 + (y 3 ) = 0, (x + ) + (y 3) = 0 No es la ecuación de una circunferencia, porque el radio sería 0 La ecuación (x + ) + (y 3) = 0 sólo la cumple el punto (-,3)

9 d) x + y + 8x 4y 5 = 0 Los coeficientes de x e y son iguales y no tiene término xy. A B 8 4 C ( 5) Es la ecuación de una circunferencia de r = 5 Ahora se halla el centro: a A 8 4,b B 4 C(-4,) Otra forma, la ecuación x + y + 8x 4y 5 = 0 se puede escribir como : (x + 4) 16 + (y ) 4 5 = 0, (x + 4) + (y ) = 5 Es la ecuación de la circunferencia de C(-4,) y r = 5

10 d) x + y + 8x 4y 5 = 0 Es la ecuación de la circunferencia de C(-4,) y r = 5 1) Marcamos el centro C(-4,) ) Señalamos los puntos P(1,), Q(-4,7), R(-9,) y S(-4,-3) 3) Dibujamos la circunferencia

11 e) 4x + 4y + 4x 8y 95 = 0 Los coeficientes de x e y son iguales y no tiene término xy. 95 Si dividimos toda la ecuación por 4 se obtiene: x y x y 0 4 A B C Es la ecuación de una circunferencia de r = 5 Ahora se halla el centro: x (y ) A a 1 B,b 1 100, x (y ) Es la ecuación de la circunferencia de 1 C,1 y r = 5 1 C,1 Otra forma, la ecuación x y x y 0 se puede escribir como : , x (y ) 1 5

12 e) 4x + 4y + 4x 8y 95 = 0 Es la ecuación de la circunferencia de 1 C,1 y r = 5 1 1) Marcamos el centro, C,1 ) Señalamos los puntos P(4 5,1), Q(-0 5,6), R(-5 5,1) y S(-0 5,-4) 3) Dibujamos la circunferencia

13 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS 1. Si los tres puntos están alineados, no hay ninguna circunferencia que pase por los tres.. Si los tres puntos no están alineados, entonces forman un triángulo, la circunferencia que buscamos es la que circunscribe el triángulo. 3. Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos O(0,0), A(0,6) y B(4,4) a) Representamos los puntos. b) Dibujamos el triángulo. c) Hallamos las mediatrices de dos lados. d)el punto donde se cortan las mediatrices es el centro de la circunferencia

14 e)el radio de la circunferencia es la distancia del centro a uno de los vértices del triángulo. Cálculo de las mediatrices: una es la recta x = 3 s : pasa por el punto M, al vector AB 4 6,4 0 = (-,4) s: x + 4y + C = 0, C = 0, C = 0, C = s: x + 4y + = 0, x y 1 = 0 x 3 C r s x y 1 0, 3 y 1 = 0, y = 1 luego C(3,1) r = d(c,o) OA = (5,) y tiene por vector normal La ecuación de la circunferencia es: (x 3) + (y 1) = 10

15 º Método: Circunferencia que pasa por tres puntos La ecuación de la circunferencia que buscamos es de la forma: x + y + Ax + By +C = 0 Hay que hallar A, B y C Como pasa por los puntos (0,0), (6,0) y (4,4) se tiene que cumplir: A 0 + B 0 + C = A 6 + B 0 + C = A 4 + B 4 + C = 0 Luego A, B y C cumplen el sistema: C 0 C 0 A6 A 6 A B 8 B C 0 C A C 0 6A A 4B C 04A 4B 3 Luego la ecuación de la circunferencia es: x + y 6x y = 0 Que también puede escribirse como: (x 3) 9 + (y 1) 1 = 0 (x 3) + (y 1) = 10