4 3 Ahora la distancia desde un punto cualquiera de r, por ejemplo A, hasta r o r debe ser 3.

Transcripción

1 Examen de Geometría analítica del plano Curso 015/16 Ejercicio 1. Dados los puntos A ( 1,0) y B ( 5,3), se pide lo siguiente: Ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por A y B. Encontrar la ecuación de las rectas r 1 y r que están a distancia 3 de la recta r. Si dividimos el segmento AB en cinco partes iguales, obtenemos cuatro puntos intermedios igualmente separados. Halla las coordenadas del segundo de esos puntos, comenzando por A. Para clacular la ecuación de una recta r, necesitamos un punto y un vector. = ( 4,3) punto A 1,0 = 1+ 4λ r las ecuaciones paramétricas de r son : r vector AB = 3λ Las rectas r y r que están a distancia 3 de r, son rectas paralelas a r. 1 x 1 y r = r 3x 4y 3 = 0 r1 y r son de la forma 3x 4y + k = Ahora la distancia desde un punto cualquiera de r, por ejemplo A, hasta r o r debe ser k 3+ k 3 + k 3+ k = 15 k = 1 d ( A, r1 ) = = = k = k = 15 k = 18 r1 3x 4y + 1 = 0 Entonces : r 3x 4y 18 = 0 1 Para calcular las coordenadas del segundo de los puntos intermedios, D, que dividen el segmento AB en cinco partes iguales, debemos encontrar las coordenadas de su vector de posición OD, siendo O el origen del sistema de referencia. Las coordenadas de un punto son las de su vector de posición. [1] Matemáticas I

2 Examen de Geometría analítica del plano Curso 015/16 OD = OA + AD y AD = AB 5 OD = OA + AB 5 A( 1,0) OA = ( 1,0 ) Como, tenemos que : AB = ( 4,3) 8 6 OD = ( 1,0) + ( 4,3) OD = ( 1, 0 ) +, OD = 1 +, D =, Ejercicio. Los puntos A( 3, 4 ) ; B( 1, 4 ) ; C ( 3, ) son vértices de un triángulo. Se pide: Calcula el área del triángulo ABC. Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo y calcula el área que encierra. Encuentra el punto contenido en dicha circunferencia diametralmente opuesto al punto A. Podemos tomar como base del triángulo el segmento AC y como altura la dis tan cia entre el punto B y la recta r que pasa por A y C. igual dirección que = ( 6, 6) u = ( 1,1) A 3, 4 x 3 y 4 r r = AC 1 1 r x y + 1 = 0 base AC = = 7 = altura d ( B, r) = = Área = = 6u Buscamos la ecuación de la circunferencia que pasa por A, B y C El centro O será el corte de dos de las mediatrices del triángulo, por ejemplo de m y m, mediatrices de los segmentos AB y BC. 1 punto M1, 4, punto medio de A y B m1 vector v1 = 0,1 ; v1 AB = (,0) = m1 m1 x = = λ ( 1, 1 ), ( 3, ) ; ( 4, 6) punto M punto medio de B y C m vector v = v BC = x + 1 y 1 m = m x + 3y 1 = [] Matemáticas I

3 Examen de Geometría analítica del plano Curso 015/16 = El centro de la circunferencia O = m1 m O O(, 1) x + 3y = 1 El radio R = OA, OA = 1, 5 OA = = 6, entonces R = 6 y la ecuación de la circunferencia será : ( x ) + ( y ) + 1 = 6 El área que encierra dicha circunferencia será : Área = π R Área = 6π u El punto diametralmente opuesto al punto A será D, el otro extremo del diámetro que pasa por O y A. Una forma de calcularlo es cortar la recta OA con la circunferencia, resolviento el sistema formado por sus ecuaciones. Es más rápido imponer q ue O(, 1) es el punto medio del segmento de extremos A y D. 3 + x A ( 3, 4 = ) 3 + x 4 + y O =, D( x, y) 4 + y = 1 = 1 D( 1, 6) = 6 Ejercicio 3. =, =, = 45º a) Sabiendo que u v y ang ( u v ) calcula el valor de u + v y ( u v ) ( u + v ). 1 Vamos a necesitar el producto escalar : u v = u v cos ( u, v ) = = u + v = u + v u + v = u u + u v + v v = u + u v + v = + + = 10 u + v = 10 ( u v ) ( u + v ) = u u + u v v u v v = u u v v = = 4 + = 4 ( u v ) ( u v ) b) Sea B = { a ; b} una base del espacio vectorial e, e V, con a = ( 1, 1 ), b = (, 1) están expresadas en la base canónica { }. Dados los vectores x = (, 3) 1 cuyas coordenadas, cuyas, y = ( 1, ) coordenadas están expresadas en la base B, calcula el ángulo que forman los vectores x e y. a = e1 e B = { a = ( 1, 1 ) ; b = (,1 )} base de V siendo { e, e } la base canónica ( ortonormal) de V = + 1 b e1 e [3] Matemáticas I

4 Examen de Geometría analítica del plano Curso 015/16 Necesitaremos los siguientes productos escalares : a a = = ; b b = + 1 1= 5 ; a b = = 1 Para calcular el ángulo que forman x e y, usamos la definición de producto escalar : x y = x y cos ( x, y) x y = ( a 3b ) ( a + b ) = a a + 7a b 6b b = = 7 x = (, 3) en B x = a 3b x = x x = ( a 3b ) ( a 3b ) = 4a a 1a b + 9b b = 41 y = ( 1,) en B y = a + b y = y y = ( a+ b ) ( a+ b ) = a a 4a b + 4b b = 18 x y 7 9 ( 1 9 cos x, y = = = x, y) = cos = 173, 66 x y Ejercicio 4. En el triángulo isósceles ABC, conocemos las coordenadas de los vértices del lado desigual A( 4, 1) y B ( 6,3). El vértice C está en la recta r x + y = 8. Encuentra las coordenadas del vértice C y las del ortocentro del triángulo. Calcula el perímetro y el ángulo Ĉ. Como el triángulo es isósceles, la mediatriz del lado desigual, es mediana, bisectriz y altura. Por tanto, pasará por el vértice C. Llamamos m a la mediatriz del lado AB ( 1,1) ( ) M punto medio de A y B m AB = 10, 4 u =,5, u AB x 1 y 1 m = m 5x + y 7 = 0 5 Como C está en la recta r x + y = 8 pero también debe pertenecer a la recta m, lo obtenemos como corte de r y m. + y = 8 r m: C = ( 3, 11) 5x + y = 7 Ahora, el ortocentro del triángulo lo calculamos como corte de las alturas. Sólo necesitamos cortar dos de ellas y ya conocemos una, m 5x + y = 7 Calculemos, por ejemplo, la altura s correspondiente al vértice A. A 4, 1 s BC = ( 9, 8) v = ( 8,9 ), v BC [4] Matemáticas I

5 Examen de Geometría analítica del plano Curso 015/16 x + 4 y + 1 s = s 9x 8y + 8 = = 0 5x + y = 7 7 El ortocentro O = m s, O 7 O 0, 9x 8y = 8 y = Calculemos ahora el perímetro del triángulo ABC. AB = ( 10, 4) AB = = 116 = 9 AC = = + = BC = ( 9,8) BC = ( 9) + 8 = 145 P AB AC BC 145 u 1,1 AC = + + = 9 + El ángulo Cˆ podemos calcularlo mediante el producto escalar de los vectores CA = ( 1, 1) y CB = ( 9, 8) ˆ ˆ CA CB ˆ ( 1) 9 + ( 1) ( 8) 87 3 ˆ 1 3 CA CB = CA CB cos C cos C= cos C= = = C= cos CA CB ˆ C = 53,13 [5] Matemáticas I