1 1 1 u = u u = + = un vector unitario con la dirección de u será u puesto que u = u = : 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Transcripción

1 Examen de Geometría analítica del plano Curso 05/6 Ejercicio. a) Halla los dos vectores unitarios que son ortogonales al vector w = ( 3, ) w = 3, ; un vector perpendicular a w será u =,3, puesto que u w = 0 u = u u = + = un vector unitario con la dirección de u será u puesto que u = u = : 3 u =, u w, u = 3 3 Por tanto, los dos vectores pedidos son : 3 u =, u w, u = 3 3. b) Sabiendo que u = 3, v = 4 y ang u, v = 0º 3. calcula el valor de v u y ( u + v) ( u v) ( u = 3, v = 4 y ang u, v = 0º u v = u v cos u, v ) = 3 4 = 6 v u = v u v u = v v v u u v + 4u u = v 4u v + 4 u = = 76 = 9 u + 3v u v = u u u v + 6v u 3v v = u + 5u v 3 v = = 60 Ejercicio. De un rombo conocemos dos vértices consecutivos A (,3) y ( 4,5) B y la ecuación de una de sus diagonales d x y + = 0. Halla las coordenadas de los otros vértices y las ecuaciones de las rectas que contienen a sus lados. El punto A verifica la ecuación de d Las diagonales de un rombo son perpendiculares dirección del vector v = ( ) = (, ) (, ) B estará en la diagonal d d tendrá la punto B 4,5 x + 4 y 5 d d = d x + y = 0 vector v Llamamos M al punto de corte de las diagonales M = d d x y + = 0 d d M x + y = 0 ( 0,) [] Matemáticas I

2 Examen de Geometría analítica del plano Curso 05/6 Ahora, M será el punto medio de los vértices opuestos A y C + x A 0 (, 3 = ) + x 3 + y M =, C (, ) C ( x, y) 3 + y = Podríamos encontrar el vértice D de igual forma pero, ya que debemos calcular las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados del rombo, lo haremos de otra manera. = ( 6, ) o u = ( 3, ) punto A,3 x y 3 Sea r la recta que pasa por A y B r r = vector AB 3 r x + 3y = 0 r es la recta que contiene al segmento CD, es paralela a r r x + 3y + k = 0, ecuación k = 0 k = 5 ; r x + 3y + 5 = 0 como C r verifica su x + 3y + 5 = 0 x = 4 D = r d x + y = 0 y = 3 D ( 4, 3) Nos queda encontrar las ecuaciones de las rectas que contienen a los otros dos lados. punto A,3 x y 3 r3 es la recta que contiene al segmento AD r3 r3 = vector AD = (, 6) o u3 = (, 3) 3 r 3x + y 9 = 0 3 r es la recta que contiene al segmento BC, es paralela a r r 3x + y + k = 0, como C r verifica su ecuación k = 0 k = 7 ; r 3x + y + 7 = [] Matemáticas I

3 Examen de Geometría analítica del plano Curso 05/6 Ejercicio 3. Los puntos A( 3,3 ) ; B( 4, ) ; C (, ) están sobre la misma circunferencia. Encuentra las rectas tangentes a dicha circunferencia en los puntos de corte con el eje OX y calcula el ángulo que forman. Buscamos la ecuación de la circunferencia que pasa por A, B y C El centro O será el corte de las mediatrices m y m de los segmentos AB y BC respectivamente. 7 5 punto M,, punto medio de A y B m vector v = (, ) ; v AB 7 5 x + y m = m x + y + = 0 5 punto M,, punto medio de B y C m vector v = (, ) ; v BC 5 m x + = y m x y + 3 = 0 x + y + = 0 El centro de la circunferencia O = m m O O x y + 3 = 0 El radio R = OA, OA =, OA = + = 5, entonces R = y la ecuación de la circunferencia será : ( x ) ( y ) + + = 5 (,) 5 También podíamos obtenerla así : La ecuación de la circunferencia es de la forma x + y + Dx + Ey + F = 0, los puntos A, B y C verifican su ecuación por tanto : D + 3E + F = 0 3D + 3E + F = 8 D = D + E + F = 0 4D + E + F = 0 ( por Gauss) E = D E F 0 D E + F = + + = F = 0 la ecuación de la circunferencia es : x + y + x y 4 = 0 El eje OX es la recta y = 0 los puntos de corte de la circunferencia con el eje OX los obtenemos como solución ( 0,0) (,0) x + y + 4x y = 0 x = 0 P del sistema : x + 4x = 0 y = 0 x = 4 P 4 Ahora las rectas tangentes a la cicunferencia en los puntos P y P tienen direcciones perpendiculares a OP y OP respectivamente. [3] Matemáticas I

4 Examen de Geometría analítica del plano Curso 05/6 ( 0,0) = (,) ( ) v = (, ) punto P x y OP = (, ) v OP, v = (, ) t t = t x y = 0 vector v punto P 4,0 x + 4 y OP = (, ) v OP, v = (, ) t t = vector t x + y + 8 = 0 El ángulo α que forman las rectas tangentes es el ángulo agudo que forman sus vectores directores ( cosα > ) 0. v v = v v cosα cosα = v v v v v =, v = + = 5 v =, = + = 5 v cosα = = α = cos entonces α = 53,3 Ejercicio 4. { } Sea B = a = ( 3, ) ; b = (, 5) y = (, 4) una base del espacio vectorial, cuyas coordenadas están expresadas en la base B. Se pide: Calcula el ángulo que forman los vectores x e y. Calcula las coordenadas de x e y en la base canónica { e, e } Calcula las coordenadas de z = e + e en la base B.. V, y los vectores x = ( 3, ) a = 3e e B = { a = ( 3, ) ; b = (,5 )} base de V siendo { e, e } la base canónica ( ortonormal) de V = + b e 5e Vamos a necesitar los siguientes productos escalares : a a = 3 3+ = 3 ; b b = = 6 ; a b = = 3 Para calcular el ángulo que forman x e y, usamos la definición de producto escalar : x y = x y cos ( x, y), [4] Matemáticas I

5 Examen de Geometría analítica del plano Curso 05/6 x y = ( 3a b ) ( a + 4b ) = 6a a + 0a b 4b b = ( 3) 4 6 = 56 x = ( 3, ) en B x = 3a b x = x x = ( 3a b ) ( 3a b ) = 9a a 6a b + b b = y = (,4) en B y = a + 4b y = y y = ( a + 4b ) ( a + 4b ) = 4a a + 6a b + 6b b = 60 x y 56 6 ( 6 cos x, y = = = x, y) = cos = 30, 6 x y Busquemos las coordenadas de x en la base e x = 3a b = 3 3e e e + 5e = 9e = y = a + 4b = 3e e + 4 e + 5e = e e e + e = e + e {, e} ( ) ( ) e e e 0e e x = ( 0, ) en la base { e, e} y = (,6) en la base { e, e } Ahora debemos encontrar las coordenadas de z = e + e en la base B = { a, b} z = α a + β b = α ( 3e e ) + β ( e + 5e ) = 3α e α e βe + 5βe = ( 3α β ) e + ( α + 5 β ) e ; tenemos que : z = e + e 3α β = 7 8 α =, β = z = ( 3α β ) e + ( α + 5β ) e α + 5β = z = a + b z =, en la base B Ejercicio 5. En un triángulo isósceles conocemos las coordenadas del vértice A (,0), las del baricentro (,5) G y las 0 del ortocentro O, 3. Encuentra las coordenadas de los vértices B y C y el área del triángulo. 3 Como el triángulo es isósceles, la recta que pasa por O y G es mediatriz, mediana, bisectriz y altura sobre el lado desigual. Llamamos m a la recta que pasa por O y G (,5) G m 4 3 OG =, u = (,3 ), u = OG 3 x y 5 m = m 3x + y 6 = 0 3 Como A,0 no verifica la ecuación de m, A es un vértice del lado desigual y B será el simétrico de A con respecto a la recta m. Calculamos la recta r, perpendicular a m y pasa por A punto A,0 x y r r = vector v u, v = ( 3,) 3 r x 3y = 0 [5] Matemáticas I

6 Examen de Geometría analítica del plano Curso 05/6 M = m r, M será el punto medio entre los vértices A y B. + x A(,0 = x = x + y = x = ) + x y M M ( 4, ) ; M =, x 3y y = = B( x, y) y = y = 4 B ( 7,4) Ahora, la recta s, que contiene al lado BC, es perpendicular a la recta que pasa por A y por el ortocentro O. " Por el ortocentro pasan todas las alturas del triángulo" ( 7,4) punto B x 7 y 4 s 7 s = s 7x + 9y 85 = 0 vector w AO, AO =, 3 w = ( 9,7) x + y = 6 x = Entonces, el vértice C será el corte de las rectas r y s ; C C, 7x + 9y = 85 y = AB CM AB d C r El área podemos calcularla como Área = por ser un triángulo isósceles. También, Área = (, ) AB = ( 6, 4) AB = = 5 = 3 r x 3y = 0 ( ) 3 39 d ( C, r) = = C (,) + ( 3) 3 3 Área = 39 3 = 39 u [6] Matemáticas I