Geometría. Curso 2012/13

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José Antonio Vargas Paz
hace 6 años
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1 Geometría. Curso 0/ Ejercicio. En el siguiente decágono regular hemos trazado algunas diagonales. Calcula el valor de los cinco ángulos marcados. 60 En un decágono regular, el ángulo central que abarca un lado mide = Un ángulo inscrito que abarca un lado medirá = 8 un ángulo inscrito que abarca n lados medirá n 8 8. ( n ) El ángulo α abarca tres lados α = 8 α = 54 El ángulo γ abarca cuatro lados γ = 4 8 γ = 7 El ángulo ρ = 80 α γ, al formar parte del mismo ρ = 54 El ángulo σ = 80 ρ σ = 6 El ángulo β abarca seis lados β = 6 8 β = 08 El ángulo δ abarca dos lados δ = 8 δ = 6 El ángulo ω abarca cuatro lados ω = 4 8 ω = 7 El ángulo µ abarca siete lados µ = 7 8 µ = 6 El ángulo φ = 60 ρ ω µ, al formar parte del mismo cuadrilátero φ = 08 Halla el valor de los seis ángulos señalados en la figura: ˆ 50 ˆ es un ángulo inscrito cuyo ángulo central correspondiente es de = 5 ˆ es un ángulo inscrito cuyo ángulo central correspondiente es de90 ˆ = 45 ˆ El ángulo 80 ˆ, ˆ = al formar parte del mismo ˆ = 0 ˆ4 es un ángulo inscrito cuyo ángulo central correspondiente es de50 ˆ4 = 5 5ˆ es un ángulo inscrito cuyo ángulo central correspondiente es de90 ˆ5 = 45 El ángulo6ˆ 5ˆ = al ser opuestos por el vértice ˆ6 = 0 [] Matemáticas º ESO

2 Geometría. Curso 0/ Ejercicio. Halla la superficie total y el volumen de una pirámide hexagonal, cuyas aristas de la base miden 0 y las aristas laterales 5. total Base de la pirámide: hexágono regular de lado0 Dividimos el hexágono en6 s equiláteros como el de la figura y aplicamos el th. de Pitágoras: 0 = 5 + = 75 = 75 = 5 hexágono a a a 0 5 = = 5 = 6 = 50 Superficie exterior de la pirámide = Área de la base + Área lateral S ( ) Stotal 994,65 = = Caras laterales:6 iguales Triángulo isósceles: aplicamos el th. de Pitágoras: 5 = 5 + x x = 600 x = 600 = = = 50 6 = 6 = 00 6 lateral Volumen pirámide = base h ; tenemos el rectángulo de hipotenusa5 y catetos0 y h. plicamos el th. de Pitágoras: 5 = = 00 + = 55 = 55 = 5 V pirámid h h h h e = 50 5 = = = V 984, pirámide Ejercicio. El BC está inscrito en una circunferencia de tal forma que el lado BC es un diámetro. Sabiendo que la recta r es la mediatriz del lado BC, y que B = y C = 5. Calcula el área del cuadrilátero sombreado. El BC está inscrito en una circunferencia y BC es un diámetro ˆ BC es un rectángulo con = 90 aplicando el th. de pitágoras: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) BC = B + C BC = + 5 BC = 69 BC = La mediatriz r divide el lado BC en dos partes iguales de6,5 cada una, y al BC en un cuadrilátero y otro semejante a él. [] Matemáticas º ESO

Ejercicio 4. cuadrilátero =,9 Con una pieza como la que se muestra se quiere construir un cubo con forma de tronco de cono, al que se le añadirá la base menor.

3 Geometría. Curso 0/ Colocando los s semejantes en la misma posición, tenemos la siguiente relación de proporcionalidad: DE C DE 5 5 6,5 = = DE =,7 DB B 6,5 5, 7 6,5 cuadrilátero = mayor menor cuadrilátero = Ejercicio 4. cuadrilátero =,9 Con una pieza como la que se muestra se quiere construir un cubo con forma de tronco de cono, al que se le añadirá la base menor. Qué radio debe tener la base que hay que añadir? Qué volumen tendrá el cubo? Cuántos m de material se consumirán? Si r es el radio de la base menor π r = 6π r = dm Llamamos R al radio de la base mayor π R = 8π R = 9 dm ( ), " " " " : a h 8 = + h h = 4 h = 8 dm ; = a = = 4 dm 6 6 Vcubo = Vcono completo Vcono cortado = πr h + a πr a calculamos h por Pitágoras y a por semejanza V cubo ( 9 4) π π 96 = π = = 9 π 4 cubo = π 980, V dm litros ( gran cubo) ( π π ) Para hallar la superficie del tronco de cono: S = lateral + base = + π S = 9π dm 4, 05 m ( ) También podemos calcular el área lateral: = = π R 0 + x π r x, como x = 5 dm lateral lateral sector grande sector pequeño = π 9 5 π 5 = 0π dm S = 0π + 9π = 9π dm [] Matemáticas º ESO

4 Geometría. Curso 0/ Ejercicio 5. El BC es equilátero de lado 0. Construida su circunferencia inscrita, se pide el área de la zona sombreada. El centro de la circunferencia inscrita a un se obtiene como corte de las bisectrices de los ángulos, como el es equilátero, esas bisectrices coinciden con las mediatrices, alturas y medianas el incentro, circuncentro, ortocentro y baricentro son el mismo punto y el radio de la cirunferencia inscrita será la distancia del centro al punto medio de un lado r = GD. Como G es el baricentro GD = D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B = BD + D 0 = 5 + D D = 75 D = 5 entonces GD = 5 5 r = π 5 5 π círculo 75 5π hora el área sombreada será = = = = 5,7 9 y Ejercicio 6. En el rectángulo BC de hipotenusa B, tenemos que C=5. Si la altura CH divide a B en los segmentos H y HB con HB=6, calcula el área del BC. Como el BC es rectángulo los s BC, CH y CBH son semejantes, como se puede apreciar en el ( + = ) siguiente dibujo, ya que los ángulos α y β son complementarios α β 90 y tienen ángulos iguales. Colocamos los s BC, CH y CBH en la misma posición y marcamos los lados y los ángulos para evitar confusiones: [4] Matemáticas º ESO

5 Geometría. Curso 0/ plicando el teorema de Thales obtenemos la siguiente proporción: x = = x ( + x) = x + x x + x = x ( ) 6 ± ± 56 6 ± 4 x = 9 x = = =, una vez encontrado el valor x, buscamos el de a. x = 5 a 9 y 6 = a = 44 a = ; también podemos hallar y: = y = 0 6 a = Entonces el área del valdrá: = = 50 u o = 50 u [5] Matemáticas º ESO

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