Polígonos. Triángulos

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1 CLAVES PARA EMPEZAR Cada hora equivale a una abertura de 360 o : o A las 12 h: ángulo 0 o A las 11 h y a la 1 h: ángulo 30 o A las 9 h y a las 3 h: ángulo 90 o A las 7 h y a las 5 h: ángulo 150 o A las h y a las 2 h: ángulo 60 o A las 8 h y a las 4 h: ángulo 120 o A las 6 h: ángulo 180 o Son secantes. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) VIDA COTIDIANA Forman un triángulo rectángulo. Un ángulo recto. RESUELVE EL RETO Tendrá 4 lados. 295

2 Hay triángulos pequeños y luego podemos considerar diferentes uniones de ellos hasta hacer un total de 23 triángulos. Hay varias opciones, pero al final es como dar una vuelta entera, es decir, 360 o. Se han dibujado las alturas de un triángulo rectángulo. ACTIVIDADES D d E c e C A a b B Vértices: A, B, C, D, E Ángulos interiores: Lados: a, b, c, d, e Diagonales: a) Falso. El número de lados y vértices es el mismo. b) Falso. Un polígono es irregular si hay al menos un lado o un ángulo diferente al resto. 296

3 Un polígono de 5 lados tiene 5 diagonales. Un polígono de 6 lados tiene 9 diagonales. Un polígono de 7 lados tiene 14 diagonales. El número de diagonales de un polígono de n lados es igual a. Un polígono de 16 lados tiene 4 diagonales De izquierda a derecha: hexágono, pentágono, octógono y pentágono. Un triángulo regular (equilátero). Un heptágono regular tiene 7 ejes de simetría y un eneágono regular tiene 9 ejes, cada eje pasa por un vértice y la mitad del lado opuesto. 297

4 a) Triángulo equilátero. b) Triángulo rectángulo. c) Triángulo obtusángulo. Tiene un ángulo recto y todos sus ángulos y lados son distintos. a) Sí existe. Un triángulo rectángulo en el que los catetos miden lo mismo. b) No existe. Si un ángulo mide 90 o y otro más de 90 o, entre los dos ya suman más de 180 o y eso no puede ser. c) Sí existe. d) No existe. Si es isósceles, dos lados son iguales; pero si es escaleno, sus tres lados son distintos, de modo que no es posible que se den las dos cosas a la vez. 37 o 53 o 90 o 180 o a) Sí existe. b) No existe. c) No existe. 298

5 90 o 4x x 180 o 5x 90 o x 18 o Los ángulos valen 18 o y 72 o. a) 5,2 7,3 4 7,3 5, ,2 7,3 c) 2 5,2 3,7 5,2 2 3,7 3,7 2 5,2 Sí, forman un triángulo. Sí forman un triángulo. 5,2 cm 4 cm 3,7 cm 2 cm 7,3 cm 5,2 cm b) 5 1,8 3. d) No forman un triángulo. Sí forman un triángulo. 5 cm 6 cm 7 cm a) c) 5 cm 5 cm 8 cm 6 cm 8 cm cm b) d) 3,4 cm 4,6 cm 7,2 cm 5 cm 5,8 cm 9 cm 299

6 2,8 cm 4 cm Polígonos. Triángulos a) 7 4 c c 11 c debe ser mayor que 3 y menor que 11. b) 5 2 c c 7 c debe ser mayor que 3 y menor que 7. a) c) 5,6 cm 5,6 cm 4 cm b) d) 6 cm 6 cm 2,8 cm a) a 4a 5a Estas medidas no forman un triángulo para cualquier valor de a. b) a 2a 2a a a 3a 3a Estas medidas sí forman un triángulo para cualquier valor de a. 300

7 Se obtienen triángulos La suma de los ángulos del octógono es 180 o o Si desde un vértice salen 8 diagonales, se obtienen entonce triángulos, con lo que la suma de los ángulos del polígono es o o. baricentro circuncentro 301

8 circuncentro baricentro circuncentro circuncentro El circuncentro en cualquier triángulo rectángulo está situado en el punto medio del lado opuesto al ángulo recto. 302

9 ortocentro incentro incentro ortocentro a) b) ortocentro incentro En un triángulo equilátero coinciden sus alturas, bisectrices, mediatrices y medianas. 303

10 a) Es un triángulo obtusángulo. b) Es un triángulo acutángulo. c) Es un triángulo rectángulo. Triángulo grande: a 13 b 12 c 5 a b 2 c Se cumple. Triángulo pequeño: a 5 b 4 c 3 a 2 25 b 2 c Se cumple. a 25 b 8 c 7 a b 2 c No es rectángulo porque no cumple el teorema de Pitágoras. a 8 b c 5 a 2 64 b 2 c No existe ningún triángulo rectángulo con esas medidas porque no cumple el teorema de Pitágoras. TRIÁNGULO 1 a 5 b 2,6 a 2 b 2 c ,76 c 2 c 2 18,24 c c 4,27 TRIÁNGULO 2 a b 8 a 2 b 2 c c 2 c 2 36 c c 6 TRIÁNGULO 3 a 9,5 b 7,4 a 2 b 2 c 2 90,25 54,76 c 2 c 2 35,49 c c 5,96 304

11 a) a 2 b 2 c c 2 c 16 b) a 2 b 2 c 2 a a 35 a) a 2 b 2 c 2 a a a,82 El lado mide,82 cm. b) a 2 b 2 c 2 a 2 12,96 24,01 a a 6,08 El lado mide 6,08 cm. c) a 2 b 2 c 2 a ,44 a a 6,89 El lado mide 6,89 cm. d) a 2 b 2 c 2 a 2 28,09 49 a a 8,78 El lado mide 8,78 cm. a) a 2 b 2 c 2 a a a 5,66 b) a 2 b 2 c 2 a 2 26,01 26,01 a a 7,21 c) a 2 b 2 c 2 a 2 56,25 56,25 a a,61 d) a 2 b 2 c 2 a 2 158,76 158,76 a a 17,82 La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos. Si tomamos uno de ellos, la diagonal es la hipotenusa y los dos catetos son los dos lados del cuadrado: b c 2,82 Aplicamos el teorema de Pitágoras: a 2 b 2 c 2 a 2 7,9524 7,9524 a a 3,99 La diagonal del cuadrado mide 3,99 cm. La diagonal divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos iguales. Si tomamos uno de ellos, la diagonal es la hipotenusa y cada cateto equivale a cada lado del rectángulo: b 7,4, c 5. Aplicando el teorema de Pitágoras: a 2 b 2 c 2 a 2 54,76 25 a a 8,93 La diagonal del cuadrado mide 8,93 cm. 305

12 La altura en un triángulo isósceles divide al triángulo en otros dos triángulos rectángulos iguales cuya hipotenusa es uno de los lados iguales, un cateto es la altura y el otro es la mitad del lado desigual. a 6 b 7,7 : 2 3,85 Aplicando el teorema de Pitágoras: a 2 b 2 c ,8225 c 2 c 2 21,1775 c c 4,6 La altura del triángulo mide 4,6 cm. ACTIVIDADES FINALES a) c) ángulos interiores lado lado diagonales ángulos interiores diagonales b) d) diagonal lados ángulos interiores ángulos interiores diagonales El de la izquierda es un eneágono; el de la derecha, endecágono. 306

13 a) b) c) G F E D E D C F E D C H C A B G -A B A B No existe ningún polígono con una única diagonal. El triángulo no tiene diagonales. No, no puede, porque si fuera posible existiría al menos un par de vértices no unidos por un lado. Los polígonos tienen el mismo número de vértices y de lados. No, porque por cada vértice, hay un ángulo interior, con lo que un polígono tiene el mismo número de lados, que de vértices y que de ángulos interiores. El mínimo de lados de un polígono es 3, el triángulo. El de ángulos también 3. El triángulo no tiene diagonales. 307

14 a) b) c) d) e) a) 3 ejes (pasan por cada vértice y la mitad del lado opuesto). b) 1 eje (de la mitad del lado desigual al vértice opuesto). c) 1 eje (bisectriz del ángulo recto). d) 4 ejes (las dos diagonales y las dos rectas que pasan por el medio de un lado y el medio del lado opuesto). e) 2 ejes (las dos rectas que pasan por el medio de un lado y el medio del lado opuesto). f) 2 ejes (las 2 diagonales). g) No tiene. 308

15 a) c) e) b) d) f) Respuesta abierta. Por ejemplo: Respuesta abierta. a) Triángulo isósceles b) Rectángulo c) Cuadrado a) Triángulo equilátero. b) Triángulo rectángulo isósceles. c) Triángulo escaleno. 309

16 F G f e E g A d a D B b C c En los polígonos cóncavos, al menos una de las diagonales es exterior. a) Hexágono convexo irregular. b) Cuadrilátero convexo irregular. c) Dodecágono cóncavo irregular. d) Cuadrilátero convexo irregular. e) Pentágono convexo irregular. f) Triángulo convexo irregular. Los menores de 180 o están en azul claro y los mayores en azul oscuro. No. Un polígono regular tiene todos sus ángulos iguales, con lo que si es cóncavo, todos los ángulos deberían medir más de 180 o, algo no posible. 3

17 Respuesta abierta. a) Equilátero b) Isósceles rectángulo c) Escaleno d) Isósceles a) c) e) g) b) d) f) 311

18 a) d) 30 o 50 o b) e) 30 o 30 o c) f) 80 o 45 o a) Se puede dibujar. 4 cm 5 cm 7 cm 312

19 b) Se puede dibujar. 4 cm 6 cm 9 cm c) No se puede dibujar. d) 6 2 No se puede dibujar. e) Se puede dibujar. 4 cm 4 cm 7 cm f) Se puede dibujar. 4 cm 3 cm 5 cm 5 cm a) Miden todos 60 o. b) Sí, todos los ángulos de cualquier triángulo equilátero miden 60 o. 313

20 a) 70 o 50 o 70 o 40 o 80 o 50 o b) En un triángulo isósceles dos de los ángulos miden lo mismo. a) c) 45 o 20 o 6 cm b) d) 120 o 30 o 5 cm 60 o 30 o 7,5 cm 50 o 50 o 8 cm 314

21 5 cm 60 o 70 o 4 cm 70 o a) b) a a) b) c) cm cm 60 o 6 cm 90 o 6 cm 6 cm 120 o cm 315

22 80 o 85 o 15 o 60 o 20 o Al ser rectángulo, uno de sus ángulos mide 90 o y el otro 180 (40 90) 50 o. a) 180 (90 20) 70 o b) 180 (90 35) 55 o c) 90 : 2 45 o a) Es un triángulo isósceles, con lo que esos dos ángulos son iguales: (180 42) : 2 69 o mide cada ángulo. b) Es un triángulo isósceles, con lo que esos dos ángulos son iguales: ( ) : 2 27 o mide cada ángulo. 316

23 a) o 180 (75 62) 43 o El ángulo coloreado mide 43 o. b) o 180 (70 70) 40 o El ángulo coloreado mide 40 o. a) El otro ángulo contiguo al lado dado es 180 (60 40) 80 o 60 o 80 o 4 cm 40 o b) El otro ángulo contiguo al lado dado es 180 ( 0 30) 50 o 30 o 0 o 7 cm 50 o Como es rectángulo, uno de los ángulos (el opuesto a la hipotenusa que nos dan) mide 90 o y como es isósceles, los otros dos ángulos miden igual: (180 90) : 2 45 o 90 o 45 o 45 o 4 cm 317

24 a) Los otros dos ángulos miden ( ) : 2 28 o. 124 o 28 o 28 o 6 cm b) Su ángulo diferente miden 180 (20 20) 140 o. 20 o 20 o 7 cm 140 o 7 cm a) Altura. b) Mediana. c) Bisectriz. d) Mediatriz. a) Es un triángulo rectángulo. Cumple el teorema de Pitágoras: cm 6 cm Hipotenusa cm 318

25 b) Su circuncentro está en el punto medio de la hipotenusa. circunferencia circunscrita mediatriz circuncentro baricentro 319

26 baricentro La distancia del baricentro a cada de uno de los vértices mide 4 cm a) Todos los puntos notables (baricentro, ortocentro, incentro y circuncentro) coinciden. b) Todas las rectas coinciden: mediatrices, bisectrices, medianas y alturas. En los triángulos rectángulos el ortocentro coincide con el vértice opuesto a la hipotenusa. a) a 2 b 2 c No forman un triángulo rectángulo porque no cumplen el teorema de Pitágoras. b) a 2 b 2 c 2 64, (redondeando a las tres cifras decimales dadas en el enunciado) Forman un triángulo rectángulo porque cumplen el teorema de Pitágoras. 320

27 c) a 2 b 2 c 2 89, (redondeando a las tres cifras decimales dadas en el enunciado) Forman un triángulo rectángulo porque cumplen el teorema de Pitágoras. d) a 2 b 2 c 2 60, (redondeando a las dos cifras decimales dadas en el enunciado) No forman un triángulo rectángulo porque no cumplen el teorema de Pitágoras. a) a 9,3 b 7,1 c 5 a 2 b 2 c 2 86,49 50,41 25 No corresponden a un triángulo rectángulo porque no cumplen el teorema de Pitágoras. b) a 3,5 b 3 c 1,8 a 2 b 2 c 2 12,25 9 3,24 Corresponden a un triángulo rectángulo porque cumplen el teorema de Pitágoras. c) a 5 b 4,25 c 2,45 a 2 b 2 c ,0625 6,0025 No corresponden a un triángulo rectángulo porque no cumplen el teorema de Pitágoras. a) ,8 c) 7,4 2 5,2 2 27,72 5,26 b) ,33 d) 6,5 2 4,8 2 19,21 4, a) : 2 144,5 12,02 cm b) : ,97 cm 321

28 a) : ,49 cm b) 9,3 2 86,49 86,49 : 2 43,245 6,58 cm c) : 2 112,5,61 cm Considerando el triángulo formado al unir las localizaciones (vértices) de cada uno, el lugar que equidista de los vértices es el circuncentro, punto de corte de las mediatrices. La diagonal divide el cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales que tienen como catetos dos lados del cuadrado y como hipotenusa la propia diagonal. Esas tres medidas cumplen el teorema de Pitágoras. a) a a a 16,97 La diagonal mide 16,97 cm. b) a 2 6,7 2 6,7 2 89,78 a a 9,47 La diagonal mide 9,48 cm. c) a 2 8,02 2 8, ,6408 a a 11,34 La diagonal mide 11,34 cm. 322

29 La diagonal divide a un rectángulo en dos triángulos rectángulos que tienen como catetos dos lados distintos del rectángulo y como hipotenusa la propia diagonal. Esas tres medidas cumplen el teorema de Pitágoras. a) a a a 8,06 La diagonal mide 8,06 cm. b) a 2 3,8 2 4, ,2425 a a 5,85 La diagonal mide 5,85 cm. La base es uno de los catetos del triángulo rectángulo formado por la diagonal y dos lados desiguales. b b b 28,28 La base del rectángulo mide 28,28 cm. La diagonal, base y altura forman un triángulo rectángulo, con lo que cumplen el teorema de Pitágoras. a a a 19,97 La diagonal del rectángulo mide 19,97 cm. Los lados de un cuadrado y la diagonal forman un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos son los lados del cuadrado y la hipotenusa es la diagonal. Cumplen el teorema de Pitágoras. a) (13,435) 2 180, , : 2 90, ,5 El lado mide 9,5 cm. b) (11,22) 2 125, ,8884 : 2 62,9442 7,93 El lado del cuadrado mide 7,93 cm. c) (8,7) 2 75,69 75,69 : 2 37,845 6,15 El lado del cuadrado mide 6,15 cm. La diagonal, base y altura forman un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la diagonal, con lo que cumplen el teorema de Pitágoras. b 2 (8,2) 2 (4,1) 2 50,43 b b 7,1 La altura del rectángulo mide 7,1 cm. 323

30 a) a 16 b 16 : 2 8 c c 13,86 La altura del triángulo mide 13,86 cm. b) a 9,4 b 9,4 : 2 4,7 c 2 9,4 2 4,7 2 66,27 c 8,14 La altura del triángulo mide 8,14 cm. c) a 6,82 b 6,82 : 2 3,41 c 2 6,82 2 3, ,8843 c 5,91 La altura del triángulo mide 5,91 cm. a ,5 2 22,75 a 4,77 La escalera llega a una altura de 4,77 m. Si se bordea el jardín, se recorren: m d d 9,43 El niño recorre 9,43 m. Se ahorra 13 9,43 3,57 m. d1 2 3, ,25 d1 1,8 Para llegar a la farola de altura 3 m el pie de la escalera se debe colocar a 1,8 m de distancia de la farola. d2 2 3,5 2 2,68 2 5,0676 d2 2,25 Para llegar a la farola de altura 2,68 m el pie de la escalera se debe colocar a 2,25 m de distancia de la farola. Cuerda de la izquierda: b ,5 2 18,25 b Cuerda de la derecha: c 2 5, ,64 c 4,27 m 7,05 m 324

31 a) La línea recta en diagonal más grande posible es la diagonal del rectángulo que forman los bordes de la hoja. d 2 29, ,09 d 36,37 cm La línea es más grande que su regla, con lo que no podrá trazarla. b) El tamaño mínimo es la longitud de la diagonal: 36,37 cm DEBES SABER HACER a) Regular. c) Irregular ya que tiene lados diferentes. b) Regular. d) Irregular, ya que tiene ángulos diferentes. Número de diagonales 8 (8 3) : 2 20 a) 8 6 4, ,3 4, , ,3 4,3 8 6 Sí es posible. b) Sí es posible. c) No es posible porque los ángulos suman más de 180 o. d) Sí es posible. 325

32 4,3 cm 6 cm 65 o 64 o 72 o 8 cm 7 cm 5,5 cm Sí, la hipotenusa sería el lado desigual. a a 35 cm Debe cumplir el teorema de Pitágoras. Imaginemos que falta la hipotenusa: a a El lado que falta mide 19,21 cm. 19,21 cm. Si el lado que falta es un cateto: b b El lado que falta mide 9 cm. 9 cm. La hipotenusa mide 35 cm. Hay dos posibilidades: Si 15 cm y 12 cm son las medidas de los catetos, la hipotenusa mide: Si 15 cm es la medida de la hipotenusa, un cateto mide 12 cm y el otro: cm. cm. d 2 1,35 2 1,35 2 3,645 d 1,91 m El listón mide 1,91 metros. 326

33 COMPETENCIA MATEMÁTICA. En la vida cotidiana a) Sea x el segmento vertical rojo a la izquierda. Sea y el segmento vertical rojo. Aplicando el teorema de Pitágoras: x 2 0,13 2 0,5 2 0,2669 x y ,8 2 1,64 y 1,28 km 0,52 km La longitud de la pasarela es 0,52 1,7 1,28 3,5 km b) Sea B el ángulo del triángulo que se forma en la parte superior izquierda del cuadrilátero. Sea A del triángulo que se forma en la parte superior derecha del cuadrilátero. 180 (90 23) 67 o 180 (90 32,3) 57,7 o 327

34 FORMAS DE PENSAR. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO En el caso del polígono de 3 lados no es posible, porque si tiene todos sus ángulos iguales, sus lados han de ser también iguales. En el resto de polígonos sí es posible; basta con tomar una recta paralela a uno de los lados de un polígono regular y sustituirla por el lado correspondiente, alargando o acortando los adyacentes. Construimos un segmento de 6 cm. Trazamos otro segmento de 6 cm perpendicular al anterior y que se corte en sus puntos medios. Los extremos de los segmentos son los vértices del cuadrado. Teniendo en cuanta la proporcionalidad que se cumple: x x 2 cm 328

35 PRUEBAS PISA Al comprobar si está en escuadra, verá que los ángulos que forma la pared son de 90 o y, por tanto, es cuadrada. Para comprobarlo con las cuerdas que tiene, el jefe de obra debe colocar la de 4 m ocupando uno de los lados, la de 3 m, en un lado contiguo y con la de 5 m medir la distancia que hay entre los extremos de las otras cuerdas. Si no sobra ni falta longitud, se cumple el teorema de Pitágoras ( ), con lo que el triángulo es rectángulo y el ángulo entre las paredes es de 90 o (son perpendiculares). Si sobra o falta longitud en la cuerda de 5 m, significa que la habitación no está en escuadra. Lo debe comprobar en cada una de las cuatro paredes. 329

36 La figura D. 330