CENAFE MATEMÁTICAS POLÍGONOS

Transcripción

1 POLÍGONOS Es la porción del plano comprendida dentro de una línea poligonal cerrada. Es la superficie del plano limitada por una línea poligonal. La medida de un polígono es su área. Criterios de clasificación: Según número de lados. Según su regularidad. Según la amplitud de sus ángulos. Según el número de lados tenemos: Los elementos de un polígono son: vértice, lado, diagonal, ángulo interior, ángulo exterior, radio, apotema, centro. Los polígonos que tienen todos sus lados y ángulos iguales son polígonos regulares. El centro de un polígono regular equidista de los vértices.

2 FIGURAS PLANAS FUNDAMENTALES 1. Triángulo Un triángulo es una poligonal cerrada con tres lados y tres ángulos. La suma de sus ángulos es 180º. Cada uno de los lados es menor que la suma de los otros dos, esto es a < b + c b < a + c c < a + b De la afirmación anterior se deduce que la diferencia de dos lados es menor que el tercero. Clasificación de triángulos Atendiendo a sus lados tenemos: Triángulos equiláteros Triángulos isósceles Triángulo escaleno Los tres lados son iguales Dos lados son iguales y el tercero es desigual Los tres lados son desiguales

3 Atendiendo a sus ángulos: Acutángulo Rectángulo Obtusángulo Los tres ángulos son agudos Un ángulo es recto(90º) Un ángulo es obtuso (>90º) PERÍMETRO Y ÁREA DEL TRIÁNGULO Perímetro de un triángulo El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados. Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Escaleno Área de un triángulo rectángulo El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido por 2.

4 Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm. 2. CUADRILATEROS: Polígonos de 4 lados. La clasificación más importante de los cuadriláteros atiende al número de pares de lados paralelos. 1. Paralelogramos: los dos pares de lados sean paralelos. Cuadrados, rectángulos, rombos y romboides. a) Rectángulos, que tienen los cuatro ángulos rectos.. b) Romboides, con lados iguales dos a dos y ángulos iguales dos a dos. c) Rombos, con los cuatro lados iguales y los ángulos iguales dos a dos.

5 Cuadrado Perímetro= lado 4 Área= lado al cuadrado o l l Calcular el área y el perímetro de un cuadrado de 5 cm de lado. A = 5 2 = 25 cm 2 Rectángulo Perímetro= h 2 + b 2 Área= b h Calcular el área y el perímetro de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura. P = 2 (10 + 6) = 32 cm A = 10 6 = 60 cm 2 Rombo Perímetro= lado 4 Área= (D d)/2 Calcular el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su lado mide 17 cm. P = 4 17 = 68 cm

6 Área del romboide P = 2 (a + b) A = b h Calcular el área y el perímetro de un romboide de 4 y 4.5 cm de lados y 4 cm de altura. P = 2 ( ) = 17 cm A = 4 4 = 16 cm 2 Área del trapecio Perímetro= lado+ lado + lado+lado Área= Calcular el área y el perímetro del siguiente trapecio:

7 TEOREMA DE PITÁGORAS Pitágoras ( c²=a²+b² ) El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto) Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a 2 + b 2 = c 2 Seguro...? Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar. Veamos si las áreas son la misma: = 5 2 Calculando obtenemos: = 25 sí, funciona! Por qué es útil esto? Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. ( Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)

8 Cómo lo uso? Escríbelo como una ecuación: a 2 + b 2 = c 2 Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos: a 2 + b 2 = c = c = 169 c 2 = 169 c = 169 c = 13 a 2 + b 2 = c b 2 = b 2 = 225 Resta 81 a ambos lados b 2 = 144 b = 144 b = 12

9 Nombre Dibujo Área Perímetro Triángulo P = Suma de los lados P = b + c + d p = semiperímero Cuadrado A = a 2 P = 4 a Rectángulo A = b a P = 2(b + a) Rombo P = 4 a Romboide A = b a P = 2(b + c) Trapecio P = B + c + b + d Trapezoide A = Suma de las áreas de los dos triángulos P = a + b + c + d Polígono regular

10 EJERCICIOS 1. Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura. Calcular: 1Las hectáreas que tiene. 2El precio del campo si el metro cuadrado cuesta Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m de base y 3 m de altura. 3Hallar el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados miden 10 cm cada uno. 4El perímetro de un triángulo equilátero mide 0.9 dm y la altura mide cm. Calcula el área del triángulo. 5Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho si cada planta necesita para desarrollarse 4 m². 6El área de un trapecio es 120 m², la altura 8 m, y la base menor mide 10 m. Cuánto mide la otra base? 7Calcular el área de un paralelogramo cuya altura mide 2 cm y su base mide 3 veces más que su altura. 8Calcula el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya diagonal menor es la mitad de la mayor. 9En el centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una piscina también cuadrada, de 25 m de largo. Calcula el área del jardín. 10Calcula el área del cuadrado que resulta de unir los puntos medios de los lados de un rectángulo cuya base y altura miden 8 y 6 cm. 11Cuánto vale el área de la parte subrayada de la figura, si el área del hexágono es de 96 cm². 12Una zona boscosa tiene forma de trapecio, cuyas bases miden 128 m y 92 m. La anchura de la zona mide 40 m. Se construye un paseo de 4 m de ancho perpendicular a las dos bases. Calcula el área de la zona arbolada que queda. 13Un jardín rectangular tiene por dimensiones 30 m y 20 m. El jardín está atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz. Uno tiene un ancho de 8 dm y el otro 7 dm. Calcula el área del jardín. 14Dado el cuadrado ABCD, de 4 m de lado, se une E, punto medio del segmento BC, con el vértice D. Calcular el área del trapecio formado. 15Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la fachada de este edificio sabiendo que se gastan 0.5 kg de pintura por m 2.

11 16Hallar el perímetro y el área de la figura: