UNIDAD 11. GEOMETRÍA DEL ESPACIO (I).

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1 UNIDAD 11. GEOMETRÍA DEL ESPACIO (I). Al final deberás haber aprendido... El examen tratará sobre... Describir los cuerpos geométricos del espacio e identificar sus elementos. Deducir las fórmulas para el cálculo del área lateral y total de poliedros, de su desarrollo plano. Calcular el volumen de algunos cuerpos geométricos: prismas, pirámides, conociendo los datos necesarios. Aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas y volúmenes de poliedros a situaciones reales. Conocer los elementos cualquier poliedro. Aplicar las fórmulas para calcular áreas y volúmenes de prismas o pirámides. Distinguir y calcular las áreas laterales, totales y volúmenes de los cuerpos geométricos. Resolver problemas de la vida cotidiana derivados de la geometría del espacio. - Unidad 11. Página 1/19 - de

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3 En esta unidad vamos a tratar sobre el cálculo de las áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos con caras planas. Pero empezaremos repasando las ideas que ya se han dado en cursos anteriores. Rectas y planos en el espacio. Hasta ahora hemos estado tratando las rectas como si todas estuvieran sobre la pizarra o sobre el papel, pero no siempre es así. Piensa en una habitación, por ejemplo en el aula. Si nos fijamos en el suelo hay líneas rectas como las que hasta ahora hemos visto, son las de cada baldosa o las formadas por la unión del suelo con cada una de las paredes. Pero hay más rectas en la habitación: las que forman las paredes entre sí, las del techo con cada una de las paredes, las que delimitan las puertas, etc.. Estas últimas no se encuentran en el suelo, es decir, no están en la misma superficie. En este curso trataremos sobre rectas, que ya conoces. Para saber como es de grande la tenemos que medir con un metro, una regla, una cinta métrica; el resultado siempre es una única cantidad y una única unidad, por ejemplo 3 cm, 5 7 dm, etc.. Pero también trataremos sobre planos, que son superficies como las paredes de nuestra aula, en que para medirlas hace falta tomar medidas en dos direcciones: alto y profundo, o alto y ancho, o ancho y profundo; se dice que son cuerpos de dos dimensiones. Sus medidas serán en cm2, m2, mm2, etc.. Y también trataremos de otros cuerpos que no pueden estar contenidos en una recta o en un plano, sino que se salen de los mismos, por ejemplo, las mesas o las sillas. Se dice que están en el espacio. Para tomar sus medidas hacen falta tomarlas en tres direcciones diferentes: alto, ancho y profundo. Son cuerpos tridimensionales. En el espacio dos rectas pueden estar en tres posiciones diferentes: Cortándose, cuando tienen un punto en común (por ejemplo la línea que forma el suelo con la pared del fondo y la que forman la pared del fondo con la de la izquierda. Ambas líneas se cortan en un punto, que es el rincón del fondo abajo a la izquierda). Siendo paralelas, cuando tienen la misma dirección (por ejemplo, las que forman la pared del fondo con el suelo y la que forma la misma pared con el techo).las dos rectas están separadas en todos sus puntos a la misma distancia. Cruzándose, cuando no tienen ningún punto en común pero tampoco son paralelas (por ejemplo, las que forman la pared del fondo con el techo y la que forman el suelo con la pared de la izquierda) - Unidad 11. Página 3/19 -

4 Entre una recta y un plano en el espacio también pueden darse tres casos: La recta está contenida en el plano, cuando todos los puntos de la recta son también puntos del plano (en nuestra aula podría ser, por ejemplo, el techo y la recta formada por la pared del fondo con el mismo techo). La recta corta al plano, cuando tienen un único punto en común (por ejemplo, la recta formada por el suelo y la pared de la izquierda y el plano formado por la pared del fondo. Se cortan en el rincón del fondo, abajo a la izquierda). La recta es paralela al plano, cuando no tienen ningún punto en común (sería el caso de la recta formada por el suelo y la pared del fondo y el plano formado por el techo). Por su parte, dos planos entre sí pueden encontrarse en dos situaciones diferentes: Siendo paralelos, si no tienen ningún punto en común (el techo y el suelo, por ejemplo). O cortándose, entonces forman una línea recta (como es el plano del suelo y la pared del fondo). Lo has entendido? Pues todo lo dicho hasta ahora es falso!!. Bueno, bueno... no te pongas así, que lo arreglamos enseguida. Verás, es que en realidad cuando hablábamos de rectas no eran tales, sino segmentos, ya que, como recordarás de años anteriores, las rectas no tienen principio ni fin; no existen en la realidad, sino solamente en el pensamiento. Pero para que sirvan los ejemplos que hemos dado antes debemos imaginarnos que las líneas a las que nos referíamos no acababan en el aula, sino que seguían a ambos extremos. De la misma manera ocurre con los planos, que no acaban en la misma habitación, sino que continúan tras las paredes hasta el infinito. 1.- Hemos numerado las aristas de una caja. Comprueba que los números 1 y 2 se cortan; 2 y 4 son paralelas, y 1 y 8 se cruzan. Di otras dos aristas que se corten, otras dos que sean paralelas y dos que se crucen a) Di si cada una de las rectas 1, 2, 3 y 4 corta al plano de la base, es paralela a ella o está contenida en ella. b) Cuánto mide el ángulo que forma la recta 1 con el plano de la base? Y la recta 3? - Unidad 11. Página 4/

5 Decíamos antes que los planos tampoco tenían límites, como los tienen las paredes de nuestra aula, sino que debemos imaginarnos que las paredes continúan más allá de nuestra clase. Por lo tanto, los planos de dos paredes que se cortan forman, no un rincón, sino cuatro. Lo que vemos en la realidad, nuestros rincones de nuestra clase, son el espacio situado entre dos semiplanos (la mitad de un plano; o sea, un plano limitado por una recta). Cada uno de estos rinciones recibe el nombre de ángulo diedro (significa di= dos, edro=cara). La recta que une los dos semiplanos se llama arista. Los cuerpos limitados por caras planas reciben el nombre de poliedros (poli= muchas, edro= caras). Por ejemplo, una caja de zapatos es un poliedro, ya que tiene muchas caras, en este caso, 6: el fondo, las cuatro laterales y la tapadera. - Unidad 11. Página 5/19 -

6 3.- En esta curiosa caja, cada cara está contenida en un plano. Hemos nombrado del 1 al 6 las caras de las paredes laterales, y con las letras A y B el fondo y la tapa. a) Di si se cortan o si son paralelos cada par de planos siguientes: 1 y 2, 1 y 3, 2 y 5, 2 y B, A y B. b) Di la medida del ángulo que forman 1 con 2, 2 con A y 1 con 3. A B Prismas. Un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos (llamados bases) y varios paralelogramos (llamados caras laterales). Recuerda de cursos anteriores que paralelogramo es un polígono de 4 lados en los que son paralelos dos a dos; o sea, rectángulo, rombo, cuadrado o romboide. En un prisma, la distancia entre las bases se llama altura. Si todas las caras laterales son rectángulos serán perpendiculares a las bases, formarán ángulos rectos. Se tratará de un prisma recto. Por contra, si las caras laterales no son perpendiculares a las bases, se tratará de un prisma oblícuo. Los prismas (ya sean rectos u oblícuos) se clasifican según el polígono de sus bases. Así tendremos el prisma triangular, si las bases son triángulos; prisma cuadrangular, si se trata de cuadrados; prisma pentagonal, si son pentágonos, etc. Los ejemplos más usuales de prismas son las cajas o las torres. Prisma recto cuadrangular Prisma oblícuo cuadrangular - Unidad 11. Página 6/19 -

7 Si tratamos de desarmar una caja de cartón, seguramente observaremos que está formada por una única pieza de cartón doblada oportunamente. Por tanto, podremos armar o construir una caja a partir de un trozo de cartón o cartulina, pero, claro está, debemos saber cpmo cortar y por donde doblar y pegar. Esto es hacer el desarrollo del prisma. Es bueno aprender como es el desarrollo de los prismas, ya que nos ayudará a entender las fórmulas para calcular la superficie de los mismos. Prisma recto hexagonal Desarrollo del prisma recto hexagonal 4.- Di qué tipo de prisma es cada uno de los siguientes. Indica cuáles son regulares. Dibuja el desarrollo del primero de ellos. a) b) c) d) 5.- Una pirámide de Egipto es un poliedro? Por qué? 6.- Dibuja el desarrollo de: a) Un tetraedro regular de 3 cm de arista. b) Un cubo de 3 cm de arista - Unidad 11. Página 7/19 -

8 Superficie de un prisma. En muchas ocasiones es necesario calcular la superficie de un determinado prisma, por ejemplo cuando un pintor debe dar el presupuesto para pintar una habitación debe saber cuánto miden sus paredes, ya que si tienen más superficie, más pintura y tiempo empleará, por lo que la cantidad que debe cobrar debe ser mayor. Pero claro está, dependiendo del caso, unas veces será necesario calcular la superficie de las paredes solamente, otras de las paredes y el techo, otras de las paredes y techo menos los huecos de las ventanas y puertas de la habitación (como sería el caso de nuestro pintor), etc. Contemplaremos dos casos genéricos: Calcular sólo la superficie de las paredes (el área lateral) o todas las paredes además de las dos bases (el área total). Para buscar unas fórmulas que nos sirvan para facilitarnos estas tareas (una vez aprendidas de memoria) hemos de fijarnos en el desarrollo del prisma anterior, por ejemplo. Observaremos que todas las caras laterales juntas conforman un rectángulo en el que su base coincide con el valor del perímetro de la base del prisma, y su altura es igual que una de las aristas laterales. Por lo tanto, Área lateral = Perímetro de la base altura Para calcular el área total tan sólo habremos de sumar a la lateral la superficie de las dos bases, que como son iguales, quedaría así: Área total = Área lateral + 2 Área de la base Trataremos a continuación la medida de los áreas de algunas figuras. Paralelepípedo. Con esta palabra tan extraña se conoce a una serie de cuerpos geométricos que son prismas, pero que tienen una característica especial: que todas sus caras son paralelogramos; es decir, polígonos de 4 lados paralelos dos a dos (cuadrados, rectángulos, rombos o romboides). Para calcular sus áreas se aplican las fórmulas dadas en el apartado anterior: Área lateral = Perímetro de la base altura Área total = Área lateral + 2 Área de la base Por ser los más utilizados, estudiaremos con cierto detenimiento a dos tipos de paralelepípedos: los que sus caras son rectángulos y los que son cuadrados. - Unidad 11. Página 8/19 -

9 Ortoedro. Con este nombre se conocen a los paralelepípedos cuyas caras son rectángulos. En este tipo de cuerpos, cada cara tiene otra que es paralela a ella y es exactamente igual. Un ejemplo claro y habitual de este tipo de figura son las cajas de zapatos. Para calcular el área de estos paralelepípedos podríamos actuar como si fuera un prisma normal, pero hay otra manera más fácil. Vamos allá. Todos los ortoedros quedan perfectamente determinados conociendo las medidas de las tres aristas que coinciden en un mismo vértice. A estas medidas se les llaman dimensiones. Pues bien, si a las dimensiones del ortoedro se les nombran como a, b y c respectivamente, el área de una de sus caras sería a b, otra cara sería a c y otra distinta, b c. Y como el ortoedro está formado por tres pares de caras, su área en total sería: 2 ab + 2 ac + 2 bc. Si sacamos factor común quedaría: Área total = 2 (ab + ac + bc) 7.- Las bases de un prisma recto son rombos cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm. La altura del prisma es 10 cm. Dibuja su desarrollo y halla su área total. 8.- Las bases de un prisma recto son triángulos rectángulos cuyos catetos miden 12 dm y 5 dm. La altura del prisma es 6 dm. Dibuja su desarrollo y halla el área total. 9.- Las dimensiones de un ortoedro son 6 cm, 11 cm y 10 cm. Halla su área Halla el área de un cubo cuya arista tiene una longitud de 10 cm El área de un cubo es 294 cm2. Halla su arista El área de un ortoedro es de 242 dm2. Dos de sus dimensiones son 3 dm y 7 dm. Cuál es su tercera dimensión? Pero hay ocasiones en lo que nos interesa es calcular la mayor longitud existente en un determinado ortoedro. La mayor distancia es la diagonal, que es la línea que une un vértice y su opuesto. En el dibujo siguiente la hemos llamado d. Con el nombre de l aparece la diagonal de la base y con a, b y c, las diferentes dimensiones - Unidad 11. Página 9/19 -

10 Para calcular la medida de la diagonal del ortoedro precisamos acordarnos del Teorema de Pitágoras, que era el que relacionaba los tres lados de un triángulo rectángulo, de manera que el cuadrado de la hipotenusa era igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Pues bien, si nos fijamos en la base del ortoedro se ha formado un triángulo rectángulo con dos de sus lados y su diagonal. Aplicando el Teorema de Pitágoras podemos calcular el valor de la diagonal de la base: Si volvemos a mirar en el dibujo de antes, la diagonal del ortoedro (d) forma otro triángulo rectángulo junto con la diagonal de la base (l) y la otra arista. Si volvemos a aplicar el Teorema de Pitágoras y despejar d obtendremos la fórmula para el cálculo de la diagonal de un ortoedro: - Unidad 11. Página 10/19 -

11 13.- Halla el área total y la longitud de la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son 6 cm, 2 cm y 3 cm Las dimensiones de una caja de cartón son 40 cm, 25 cm y 20 cm. Se puede guardar en su interior una varilla de medio metro de larga? Cubo. Es un ortoedro en el que todas sus caras son cuadrados, por lo tanto mide igual de largo, que de ancho y alto. Para el cálculo de su área o de su diagonal, lo único que tendremos que hacer es repetir el mismo valor en cada una de las dimensiones. Veámoslo en general: Área total = 2ab + 2ac + 2bc = (como todas las dimensiones son iguales, quedaría...) 2aa + 2aa + 2aa = 6aa = 6a2 Área total = 6a Un cubo tiene 20 cm de arista. Halla su área total y la longitud de su diagonal. Pirámide. Dejamos ya los paralelepípedos y nos encontramos ahora con otro tipo de cuerpo geométrico que consta de una sola base y caras laterales que son triángulos que coinciden en un único vértice, son las pirámides. Al igual que los prismas, las pirámides pueden ser rectas, si sus caras laterales son triángulos isósceles, es decir, que todas sus aristas laterales son iguales; o bien - Unidad 11. Página 11/19 -

12 pueden ser oblícuas, si no son isósceles los triángulos que forman sus caras laterales. También se pueden clasificar según su base en pirámide triangular (si es un triángulo), cuadrangular (si es un cuadrado), pentagonal (si es un pentágono), etc. Y aún más, hay que tener en cuenta que la base sea un polígono regular, en el que todos sus lados son iguales (entonces la pirámide se dice que es regular) o no (entonces se tratará de una pirámide irregular). En las pirámides, además de los lados de la base y de las medidas de las aristas laterales, interesa conocer la altura, que no es más que la distancia desde el vértice de la pirámide hasta la base de la misma; y la apotema, que es la línea que une el vértice de la pirámide con el punto medio de un lado de la base. Lo veremos mejor en un dibujo: El desarrollo de esta figura consta de la base y tantos triángulos como lados tenga dicha base. En nuestro caso: - Unidad 11. Página 12/19 -

13 Para calcular su área lateral se puede hacer de dos maneras: o bien averiguar el área de uno de los triángulos laterales y multiplicarlo por la cantidad de caras que tenga la pirámide, o bien, aplicando la siguiente fórmula: Para buscar el área total habría que sumarle a la lateral la de la base. Recuerda que el área de cualquier polígono regular se obtiene multiplicando su perímetro por su apotema y dividiendo todo entre dos. Por eso, quedaría así: 16.- Halla el área total de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 10 cm de lado y cuya altura es de 12 cm La base de una pirámide es un pentágono de 16 dm de lado y 11 dm de apotema. La altura de la pirámide es de 26 4 dm. Halla su área total Halla el área total de la siguiente pirámide... 6 dm 3 dm 3 dm Hemos visto cómo calcular el área lateral y total de las figuras elementales. Si nos encontramos con una figura diferente deberemos actuar de la misma manera, es decir, - Unidad 11. Página 13/19 -

14 calculando el área de cada una de las caras y sumándolas Halla el área de las siguientes figuras: 2 1 dm 4 cm 6 dm 11 cm 3 dm 10 cm 8 cm 20.- A una carpintería le han encargado fabricar papeleras con forma de tronco de pirámide de bases cuadradas, con las dimensiones que se indican en la figura. Qué superficie de madera necesita para fabricar una papelera? 60 cm 45 cm 40 cm Volúmenes. Todo cuerpo ocupa un lugar en el espacio. A ese lugar se le llama volumen. Esta magnitud se mide en metros cúbicos (m3), que es el lugar que ocupa un cubo cuyos lados midan 1 metro. Como todas las unidades, el m3 tiene unos múltiplos y unos divisores, con la particularidad de que cada uno de ellos contiene 1000 unidades inferiores. Es decir, que un metro cúbico, por ejemplo, contiene 1000 decímetros cúbicos. Por lo tanto, para pasar de unas unidades grandes a otras menores habrá que pasar la coma a la derecha tres lugares decimales por cada unidad que descendamos en la escalera. Y, al contrario, si tenemos que pasar de una unidad a otra mayor, tendremos que desplazar la coma hacia la izquierda tres lugares por cada unidad que ascendamos en la escalera. - Unidad 11. Página 14/19 -

15 Recuerda que en este tipo de medidas pueden darse de forma compleja (con varias unidades) o incompleja (con una sola unidad). Veamos algunos ejemplos: Pasar a m3: 3 hm3 253 dam3 124 m3 450 dm3. Habría que pasar cada una de las partes a m3 y después sumarlas todas: 3 hm3 = m3 = m3 253 dam3 = m3 = m3 124 m3 = 124 m3 450 dm3 = 450 : 1000 m3 = 0'450 m3 TOTAL '450 m3 Pasar a complejo 0'07469 km3 Si pasamos la coma hacia la derecha de tres en tres lugares iremos pasando a unidades inferiores. Iremos haciéndolo y escribiendo la parte entera que nos vaya quedando, ya que en los números complejos no se escriben decimales. Los decimales que no vamos escribiendo tendremos que ir pasándolos a unidades aún más inferiores: 0'07469 km3 = 74'69 hm3 = 74 hm3 y 0'69 hm3 : 0'69 hm3 = 690 dam3 Por tanto: 0'07469 km3 = 74 hm3 690 dam3 En muchas ocasiones los cuerpos se construyen para que contengan cosas. Como ejemplo de lo que decimos es el envase de la leche; normalmente es un prisma rectangular. En estos casos no nos interesa lo que ocupe el envase, sino lo que pueda caber dentro de él, a esto se le llama capacidad, que se mide con el litro y sus correspondientes múltiplos y divisores, que van de 10 en 10, no de 1000 en 1000 como el volumen. - Unidad 11. Página 15/19 -

16 Como es fácil de entender, hay una correspondencia entre lo que ocupa el cuerpo (el volumen) y lo que cabe dentro de él (su capacidad). Así, 1 litro cabe dentro de 1 dm3; decimos en consecuencia que 1 litro equivale a 1 dm3. Sabiendo esto podemos hacer distintas conversiones entre volumen y capacidad, para lo que te puedes servir de la siguiente tabla, en la que se indican las unidades de una y otra correspondiéndose Expresa en dm3: a) 3 hm3 253 dam3 124 m3 450 dm3 b) cm3 c) (580 cm3800 mm3) d) 2 km3 150 dam3 25 dm3 780 mm Expresa en distintas unidades (pasa a forma compleja): a) dm3 b) ( cm3) c) hm Expresa en litros: a) 36 dam3 43 m3 114 dm3 500 cm3 b) mm3 c) hl 24.- Expresa en unidades de volumen (forma compleja): a) ( dl) 40 b) ( kl) Cuántas botellas de 3/4 de litro se pueden llenar con 0 4 dam3? 26.- Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado en hectolitros: a) 0 46 dam m m3 b) km hm dam3 c) dam3 315 m3 800 dm Completa las siguientes igualdades: a) 1 hm3 =... hl b) 1 dam3 =... dal c) 1 m3 =... l d) 1 dm3 =... dl e) 1 cm3 =... cl f) 1 mm3 =... ml Ahora tendremos que afrontar la tarea de calcular el volumen de los cuerpos geométricos que hemos tratado anteriormente. Vamos allá! - Unidad 11. Página 16/19 -

17 Volumen de un ortoedro. Se calcula multiplicando las medidas de las tres dimensiones. Pero cuidado, deben estar expresadas las tres en la misma unidad Aplicando la fórmula para calcular el volumen de un ortoedro, averigua el volumen de este objeto: 1 2 m 1 3 m 1 5 m 1 8 m 1 1 m 3 5 m 29.- Calcula el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son 3 cm x 5 cm x 11 cm. Volumen del cubo. Al ser el cubo un ortoedro en el que todas las dimensiones son iguales, su fórmula quedaría así: V = a La suma de todas las aristas de un cubo es de 60 cm. Halla su volumen Cuál es el volumen de un cubo de 12 cm de arista? - Unidad 11. Página 17/19 -

18 Volumen de un prisma. Sea como sea el prisma (recto u oblícuo, pentagonal, triangular, etc.) para calcular su volumen hay que emplear la siguiente fórmula: V = Área de la base altura 32.- La base de un paralelepípedo es un rombo de diagonales 10 cm y 20 cm. Su altura es de 15 cm. Halla su volumen. 15 cm 10 cm 20 cm 33.- La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 11 3 cm y 6 8 cm. La altura del prisma es de 2 dm. Halla su volumen Halla el volumen de esta figura: BASES 14 cm 3 dm 11 cm 20 cm Volumen de la pirámide. Al igual que en los prismas, sea como sea la pirámide, la fórmula a emplear es: V= 1 3 Área de la base altura - Unidad 11. Página 18/19 -

19 35.- La gran pirámide de Keops es una pirámide cuadrangular regular. El lado de la base mide 240 m y la altura alcanza los 160 metros. Calcula cuántos hectómetros cúbicos tiene su volumen Calcula el volumen de esta pirámide: 9 cm 5 cm 37.- Calcula el volumen de una pirámide recta de base hexagonal regular sabiendo que el lado de la base mide 30 cm, su apotema es de 26 cm y su altura es de 80 cm Halla el volumen de la siguiente figura: 6 cm 12 cm 8 cm - Unidad 11. Página 19/19 -