POLÍGONOS POLÍGONOS. APM Página 1

Transcripción

1 POLÍGONOS 1. Polígonos Elementos de un polígono Suma de los ángulos interiores de un polígono Diagonales de un polígono Clasificación de los polígonos. 2. Polígonos regulares. Elementos. 3. Construcción de polígonos regulares utilizando regla y compás Construcción de un triángulo equilátero cualquiera Construcción de un triángulo equilátero conocida la longitud del lado Construcción de un cuadrado cualquiera Construcción de un cuadrado conocida la longitud del lado Construcción de un pentágono regular conocido el lado Construcción de un hexágono regular cualquiera Construcción de un hexágono regular conocido el lado Construcción de un octógono regular cualquiera Construcción de un octógono regular conocido el lado. 4. Cuadriláteros. Clasificación. Los contenidos que vamos a aprender en este tema se ajustan a los contenidos del Bloque de Geometría de 1º ESO citados en el Decreto 69/2007, de , por el que se ordena el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha (DOCM ) Clasificación de cuadriláteros a partir de diferentes criterios. Estudio de algunas propiedades y relaciones entre estos polígonos. Medida y cálculo de ángulos de figuras planas. Polígonos regulares. Construcción de polígonos regulares con los instrumento de dibujo habituales. Uso de herramientas informáticas para construir, simular e investigar relaciones entre elementos geométricos. APM Página 1

2 1. POLÍGONOS. Una línea poligonal es una secuencia de segmentos unidos por los extremos. Un polígono es la región delimitada por una línea poligonal cerrada. El término polígono no hace referencia a los lados, sino a los ángulos. Proviene del griego polys que significa muchos y gonia que quiere decir ángulo. Por tanto, polígono = muchos ángulos 1.1. Elementos de un polígono. Lados: son los segmentos que limitan la superficie. Vértices: son los puntos de unión de los segmentos. Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Ángulos: Interiores: son las regiones, dentro de la línea poligonal, creadas por dos lados consecutivos. Exteriores: son las regiones, fuera de la línea poligonal, limitadas por dos lados consecutivos. APM Página 2

3 1.2. Suma de los ángulos interiores de un polígono. Vamos a observar los siguientes polígonos: Hemos trazado las diagonales desde uno de los vértices de cada uno de estos polígonos: cuadrilátero, pentágono y hexágono. Podemos observar que quedan divididos en triángulos. Como ya sabemos del tema de los triángulos, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Por tanto, la suma de los ángulos de un polígono es: 180º x número de triángulos. El cuadrilátero queda dividido en dos triángulos, por tanto: 2 x 180º = 360º. El pentágono queda dividido en tres triángulos, luego: 3 x 180º = 540º. El hexágono queda dividido en cuatro triángulos, así: 4 x 180º = 720º. Qué observas? Haz algún dibujo más y comprobarás que en cada polígono, el número de triángulos en los que queda dividido es 2 unidades menor que el número de lados que tiene. La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 1.3. Diagonales de un polígono. La diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos. Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados? Vamos a dibujar distintos polígonos y sus diagonales. Después tendremos que ir rellenando el siguiente cuadro. APM Página 3

4 Polígono Nº Lados Nº Diagonales Triángulo 3 d 3 = 0 Cuadrilátero 4 d 4 =2 Pentágono 5 d 5 = 2+3=5 Hexágono 6 d 6 = 2+3+4=9 Heptágono 7 d 7 = =14.. Polígono n (n-2) Ejercicio: Aplicando esta expresión, calcula el número de diagonales de un decágono. Cuántas diagonales tiene un polígono de 20 lados? 1.4. Clasificación de los polígonos. Podemos clasificar los polígonos de tres formas. a) Clasificación de los polígonos según la igualdad de sus lados y ángulos. Polígonos regulares: Tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales. Polígonos irregulares: Tienen al menos un lado o un ángulo distinto al resto. b) Clasificación de los polígonos por sus ángulos interiores. Diremos que un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores de 180º. Diremos que un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores es mayor de 180º. c) Clasificación de los polígonos por el número de lados. Triángulos: tienen tres lados. Cuadriláteros: tienen cuatro lados. Pentágonos: tienen cinco lados. APM Página 4

5 Hexágonos: tienen seis lados. Heptágonos: tienen siete lados. Octógonos: tienen ocho lados. Eneágonos: tienen nueve lados. Decágonos: tienen diez lados. Undecágonos: tienen once lados. Dodecágonos: tienen doce lados. Para nombrar el resto de polígonos, simplemente se indica el número de lados. Por ejemplo, polígono de treinta lados, polígono de catorce lados 2. POLÍGONOS REGULARES. ELEMENTOS. regular. Un polígono que tiene los lados iguales y los ángulos iguales se llama polígono Sus elementos son los siguientes: Centro: Punto que equidista de los vértices. Radio. Cualquier segmento que une el centro con un vértice. Apotema: Cualquier segmento que une el centro con el punto medio de un lado. APM Página 5

6 Fíjate que en todos los polígonos regulares se puede dibujar un triángulo rectángulo con la apotema, el radio y la mitad del lado. Por tanto, por el teorema de Pitágoras se cumple que: Veamos un ejemplo práctico. Calcula la apotema de un pentágono regular cuyo radio de la circunferencia circunscrita mide 8 cm y el lado mide 9,4 cm. l = 9,4 l/2 = 9,4 : 2 = 4,7 8 2 = a 2 + 4, = a ,09 a 2 = 64 22,09 a 2 = 41,91 Por tanto, la apotema mide 6,47 cm. Ángulo central: cualquier ángulo determinado por dos radios. La amplitud de un ángulo central de un polígono regular de n lados es: APM Página 6

7 Por ejemplo, el ángulo central de un octógono regular es: º En todo polígono regular podemos dibujar su circunferencia circunscrita cuyo centro coincide con el del polígono y que pasa por sus vértices. En este caso el polígono se llama polígono inscrito. 3. CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES UTILIZANDO REGLA Y COMPÁS Construcción de un triángulo equilátero. Para construir un triángulo equilátero cualquiera, seguimos los siguientes pasos: 1. Construimos una circunferencia de radio r. 2. Desde cualquier punto A de la circunferencia trazamos dos arcos de la longitud del radio. Estos arcos se cortan en otros puntos B y C. 3. Desde B trazamos un arco que corta la circunferencia en D. Desde D trazamos otro que corta la circunferencia en E y desde E el arco que la corta en F. 4. Construimos los segmentos AD, DF y FA y obtenemos el triángulo equilátero inscrito en la circunferencia de radio r. APM Página 7

8 3.2. Construcción de un triángulo equilátero dado el lado. Dado el segmento AB, que será el lado del triangulo. Basta con trazar dos circunferencias C y C' con centros en A y B, de radio el valor del lado. El tercer vértice, C, queda determinado por la intersección de las circunferencias Construcción de un cuadrado cualquiera. Como en el caso del triángulo, lo construimos inscrito en una circunferencia y el dato que nos interesa es el radio. Veamos los pasos: 1. Construimos una circunferencia de radio r. 2. Desde el punto A de la circunferencia trazamos un diámetro d 1 de la misma. A continuación construimos un segundo diámetro d 2 perpendicular a d 1, con escuadra y cartabón. 3. Podemos observar que tenemos cuatro puntos de corte generados por los dos diámetros. Estos puntos A, B, C y D son los vértices del cuadrado y, por tanto, solo tenemos que unirlos para obtener el cuadrado inscrito en la circunferencia de radio r. APM Página 8

9 3.4. Construcción de un cuadrado dado el lado. Sea el segmento AB, que será el lado de nuestro cuadrado. Dibujamos el segmento AB y dos rectas perpendiculares al segmento por A y B, respectivamente. A continuación se dibuja una circunferencia de centro A y radio AB y otra de centro B y radio AB. Estas circunferencias cortan a las rectas anteriores en dos puntos, respectivamente. Esos puntos serán los dos vértices que faltan del cuadrado Construcción de un pentágono regular conocido el lado. Se procede del siguiente modo. Sea AB el segmento dado. 1. Dibujamos el segmento AB. 2. Se traza la recta perpendicular a AB en B. 3. Se traza la mediatriz del segmento AB. Llamamos O al punto medio del segmento AB. 4. Con centro en B se traza la circunferencia C 1 de radio AB, y se obtiene el punto M. 5. Con centro en O se traza la circunferencia C 2 de radio OM, y obtienes S. 6. Trazamos la circunferencia de centro A y radio AS, obteniendo C como corte con C 1. Esta circunferencia corta en D a la mediatriz AB. 7. Podemos obtener E como simétrico de C respecto a la mediatriz de A. 8. El pentágono regular queda determinado por A, B, C, D y E. APM Página 9

10 3.6. Construcción de un hexágono regular cualquiera. En este caso da igual que nos den el lado o el radio de la circunferencia circunscrita, ya que ambos coinciden. Vamos a seguir los siguientes pasos: 1. Construimos una circunferencia de radio r. 2. Desde un punto A de la circunferencia, trazamos un arco de la longitud del radio. Este arco corta la circunferencia en los puntos B y C. 3. Desde B volvemos a trazar un arco que corte a la circunferencia en el punto D. Desde D trazamos otro arco que corte en E y desde E otro que corta en F. 4. Construimos los segmentos AB, BD, DE, EF, FC y CA. Ya tenemos el hexágono de lado r. APM Página 10

11 3.7. Construcción de un hexágono regular, conocido el lado. Dado el lado AB, basta con construir el triángulo equilátero ABO mediante las circunferencias C 1 y C 2. Llamamos O al centro del hexágono. Se construye la circunferencia C, de centro O y radio OA, determinando C y D. Por simetría, o llevando la medida AB sobre la circunferencia se calculan E y F Construcción de un octógono regular cualquiera. Lo construimos inscrito en una circunferencia de radio r. Vamos a seguir los siguientes pasos: 1. Construimos una circunferencia de radio r. 2. Desde un punto A de la circunferencia, trazamos un diámetro d 1 de la misma. A continuación construimos un segundo diámetro d 2 perpendicular a d 1 con escuadra y cartabón. 3. Podemos observar que tenemos cuatro puntos de corte generados por los diámetros d 1 y d 2. Estos puntos A, B, C y D son los vértices del cuadrado inscrito en la circunferencia de radio r. 4. Por los puntos medios de los lados AB y BC construimos los diámetros d 3 y d 4. APM Página 11

12 5. Tenemos ocho puntos de corte, A, A 1, B, B 1, C, C 1, D y D 1. Estos son los puntos que delimitan el octógono Construcción de un octógono regular, conocido el lado. Sea AB el lado del octógono. Se construye el cuadrado de lado AB y su circunferencia circunscrita. La intersección de esta circunferencia con la mediatriz de AB determina el centro del octógono. Basta con construir la circunferencia circunscrita al octógono y llevar AB sobre ella. APM Página 12

13 4. CUADRILÁTEROS. CLASIFICACIÓN. Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Los cuadriláteros se clasifican en: a) Paralelogramos: Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Dentro de los paralelogramos se encuentran: Cuadrado: Paralelogramo con los cuatro ángulos interiores iguales (rectos) y los cuatro lados iguales. Es un cuadrilátero regular. Tiene la propiedad de que sus diagonales son iguales y perpendiculares. Rectángulo: Paralelogramo con los cuatro ángulos interiores iguales (rectos) y los lados iguales dos a dos. Tiene la propiedad de que sus diagonales son iguales. Rombo: Paralelogramo con los cuatro lados iguales y los ángulos interiores iguales dos a dos. Tiene la propiedad de que sus diagonales son perpendiculares y son bisectrices de los ángulos. Romboide: Paralelogramo con los lados y los ángulos iguales dos a dos. El romboide es un paralelogramo que no es ni cuadrado, ni rectángulo, ni rombo. OBSERVACIÓN: El cuadrado es un rectángulo y un rombo a la vez, porque verifica las condiciones que los definen. b) No paralelogramos: Cuadriláteros que no tienen los lados paralelos dos a dos. Trapecio: Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y dos no paralelos. A los lados paralelos les llamamos bases y la distancia entre las bases es la altura del trapecio. Podemos distinguir entre: Trapecios rectángulos: Son los que tienen dos ángulos rectos. Trapecios isósceles: Son los que tienen iguales los lados no paralelos. Trapecios escalenos: Los lados no paralelos son distintos. Trapezoide: Son cuadriláteros que no tienen lados paralelos. APM Página 13

14 Veamos el siguiente cuadro-resumen, que ayudará a aprender los conceptos básicos. PARALELOGRAMO: Lados paralelos dos a dos. Paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales los cuatro y ángulos C CUADRADO iguales. Cuadrilátero regular. U A D R RECTÁNGULO ROMBO ROMBOIDE Paralelogramo que tiene los cuatro ángulos rectos. Paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales. Paralelogramo que tiene lados iguales dos a dos y ángulos iguales dos a dos. I L Á T E R O S T R A P E C I O S NO PARALELOGRAMOS: Los lados no son paralelos dos a dos TRAPECIO Dos de sus lados (llamados bases) son paralelos. TRAPECIO RECTÁNGULO TRAPECIO ISÓSCELES TRAPECIO ESCALENO TRAPEZOIDE Un lado perpendicular a las bases. O bien, tiene dos ángulos rectos. Los lados no paralelos son de igual longitud. Podemos encontrar esta nomenclatura para referirse a los no son ni rectángulos ni isósceles. Cuadriláteros que no tienen lados paralelos. APM Página 14