GEOMETRÍA POLÍGONOS - 1

Transcripción

1 GEOMETRÍA POLÍGONOS - 1 TRIÁNGULOS Los triángulos son figuras planas formadas por tres puntos no alineados y por tres segmentos que los unen dos a dos (los tres puntos son los vértices y los tres segmentos los lados). Los vértices se designan con letras mayúsculas y los lados opuestos a los ángulos con las mismas letras minúsculas. Triángulo ABC A b c C a B Para construir un triángulo son necesarios tres datos, que pueden referirse a lados, ángulos, rectas notables, etc. Propiedades fundamentales 1. "La suma de los ángulos interiores vale 180 " 2. "Cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia" 3. "A mayor lado se opone mayor ángulo". Clasificación de triángulos. Los triángulos se pueden clasificar en función a sus lados y en función a sus ángulos. En función a sus ángulos pueden ser: Acutángulos (3 ángulos agudos) Rectángulos (1 ángulo recto) Obtusángulos (1 ángulo obtuso) En función a sus lados pueden ser: Equiláteros (3 lados iguales) 3 ángulos iguales Isósceles (2 lados iguales) 2 ángulos iguales, 1 desigual Escaleno (ningún lado igual) 3 ángulos desiguales

2 GEOMETRÍA POLÍGONOS - 2 CUADRILÁTEROS Los cuadriláteros son polígonos, es decir, figuras geométricas planas limitadas por líneas rectas, que tienen los siguientes elementos: cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos interiores y cuatro ángulos exteriores. Además, la suma de todos sus ángulos interiores es de 360º. Pueden clasificarse en base a sus ángulos en dos tipos: Cuadriláteros cóncavos: Cuando uno de sus ángulos interiores mide más de 180. También puedes darte cuenta si es cóncavo, cuando al trazar una recta sobre él, la recta lo corta en más de dos lados. Cuadriláteros convexos: Cuando todos sus ángulos interiores son menores a 180. También puedes darte cuenta si es convexo, cuando al trazar una recta sobre él, la recta lo corta sólo en dos lados. Además, decimos que los lados de un cuadrilátero pueden ser: consecutivos, cuando tienen un vértice en común, lados a y d, u opuestos, cuando no tienen ningún vértice común, lados a y c. Las diagonales son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Un cuadrilátero tiene 2 diagonales, AC y BD. Considerando la condición de paralelismo entre sus lados se pueden clasificar de la siguiente forma: PARALELOGRAMOS. Tienen dos pares de lados paralelos. Tienen los lados opuestos paralelos dos a dos. 4 lados iguales Cuadrado 4 ángulos iguales de 90º Diagonales iguales perpendiculares entre sí Rectángulo Rombo Romboide Lados iguales 2 a 2 4 ángulos iguales de 90º Diagonales iguales oblicuas 4 lados iguales Ángulos iguales 2 a 2 Diagonales diferentes perpendiculares entre sí Lados iguales 2 a 2 Ángulos iguales 2 a 2 Diagonales diferentes oblicuas TRAPECIOS. Tienen un par de lados paralelos de distinta longitud que se denominan bases. Trapecio rectángulo Trapecio isósceles 2 ángulos de 90º Diagonales diferentes y oblicuas Los 2 lados que no son las bases son iguales Ángulos iguales dos a dos. Diagonales iguales y oblicuas Trapecio escaleno Todo trapecio que no sea isósceles ni rectángulo TRAPEZOIDES. Ningún par de lados paralelos, solo cumplen la propiedad de tener cuatro lados.

3 GEOMETRÍA POLÍGONOS - 3 POLÍGONOS REGULARES Un polígono es una figura plana limitada por una línea poligonal cerrada. Una línea poligonal es una línea quebrada compuesta por diversos segmentos que cambian bruscamente de dirección. Los segmentos de la poligonal se llaman lados y los lados se cortan en puntos denominados vértices. Los vértices se nombran con letras mayúsculas y los lados con letras minúsculas. Se denomina perímetro a la suma de las longitudes de todos sus lados. Los ángulos de un polígono son las porciones de plano limitadas por dos lados consecutivos, siendo los ángulos interiores los formados en el interior del polígono entre dos lados adyacentes y los ángulos exteriores son los formados por un lado cualquiera y la prolongación de un lado adyacente. Las diagonales de los polígonos son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Los polígonos pueden ser cóncavos o convexos, para determinar si un polígono es cóncavo o convexo basta con prolongar cada uno de sus lados. Si alguna de las rectas que pasa por estos divide al polígono en dos partes, el polígono es cóncavo. Si en todos los casos el polígono queda a un mismo lado de la recta, el polígono es convexo. Según su número de lados, los polígonos pueden clasificarse en: triángulos (3 lados), cuadriláteros (4), pentágonos (5), hexágonos (6), heptágonos (7), octógonos (8), eneágonos (9), decágonos (10), undecágonos (11), dodecágonos (12), polígonos de 13 lados, Si un polígono tiene todos sus lados iguales se dice que es equilátero, y si tiene iguales todos sus ángulos, equiángulos. Llamamos polígonos regulares a aquellos que cumplen ambas condiciones, ser equiláteros y equiángulos. A medida que crece el número de lados de un polígono regular, su apariencia se asemeja cada vez más a la de un círculo. En los polígonos regulares, y solo en éstos, aparecen otros nuevos elementos: el centro que es un punto interior equidistante de todos los vértices del polígono. Apotema, que es el segmento que une el centro y la mitad de cada lado del polígono, es decir, la perpendicular trazada desde el centro a cualquiera de sus lados. El radio, segmento que une el centro con cualquiera de sus vértices. La circunferencia circunscrita es aquella que pasa por todos sus vértices y tiene por centro y radio, el centro y radio del polígono. Se dice que el polígono está inscrito en ella. La circunferencia inscrita, situada dentro del polígono y pasa por los puntos medios de todos sus lados, que son tangentes a ella. Tiene por centro el centro del polígono y por radio el apotema. Se dice que el polígono está circunscrito a ella. Circunferencia circunscrita a un pentágono regular Pentágono regular inscrito en una circunferencia Circunferencia inscrita en un pentágono regular Pentágono regular circunscrito a una circunferencia CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS EN LA CIRCUNFERENCIA La construcción de polígonos inscritos en una circunferencia dada, se basan en la división de dicha circunferencia en un número partes iguales. En ocasiones, el trazado pasa por la obtención de la cuerda correspondiente a cada uno de esos arcos, es decir el lado del polígono, y otras ocasiones pasa por la obtención del ángulo central del polígono correspondiente. Cuando en una construcción obtenemos el lado del polígono, y hemos de llevarlo sucesivas veces a lo largo de la circunferencia, se aconseja no llevar todos los lados sucesivamente en un solo sentido de la circunferencia, sino, que partiendo de un vértice se lleve la mitad de los lados en una dirección y la otra

4 GEOMETRÍA POLÍGONOS - 4 mitad en sentido contrario, con objeto de minimizar los errores de construcción, inherentes al instrumental o al procedimiento. Para construir un polígono de doble número de lados que uno dado solo tendremos que trazar las bisectrices de los ángulos centrales del polígono dado, y estas nos determinarán, sobre la circunferencia circunscrita, los vértices necesarios para la construcción. TRIÁNGULO, HEXÁGONO Y DODECÁGONO. División de la circunferencia en 3, 6,12,... partes iguales (construcción exacta) Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí. Transportando cuerdas iguales al radio de la circunferencia se obtienen los seis vértices del hexágono regular. Uniendo alternativamente, triángulos equiláteros. Si se prolongan las apotemas del hexágono (mediatrices de los lados) se obtienen, sobre la circunferencia, el resto de los vértices que definen el dodecágono regular y así sucesivamente. CUADRADO Y OCTÓGONO. División de la circunferencia en 4, 8, 16,... partes iguales (construcción exacta) Los extremos de dos diámetros perpendiculares dibujan, sobre la circunferencia, un cuadrado inscrito. Sus bisectrices determinan otros cuatro puntos para inscribir el octágono regular. El trazado de nuevas bisectrices determina los polígonos de 16, 32,... lados. PENTÁGONO Y DECÁGONO. División de la circunferencia en 5, 10, 20,... partes iguales (construcción exacta) Con centro M, punto medio de un radio (obtenido en la construcción anterior), y radio MA se determina el punto P. La magnitud AP es el lado (l5) del pentágono regular inscrito. La magnitud PO define el lado (l10) del decágono regular inscrito en la circunferencia. HEPTÁGONO. División de la circunferencia en 7, 14, 28,... partes iguales (construcción aproximada) La mediatriz de un radio cualquiera (OR) determina, con la circunferencia, la magnitud MN que define el lado del heptágono regular. El transporte de esta magnitud (l7), desde un punto cualquiera de la circunferencia a modo de cuerda, determina el polígono regular de siete lados. Como en construcciones anteriores, las apotemas cortarán a la circunferencia en los puntos medios de los arcos; lo que define el polígono regular de 14 lados y, así, sucesivamente. Como puede apreciarse en la construcción, el lado del heptágono inscrito en una circunferencia, es igual a la mitad del lado del triángulo inscrito.

5 GEOMETRÍA POLÍGONOS - 5 PROCEDIMIENTO GENERAL. División de la circunferencia en n partes iguales (construcción aproximada) Este procedimiento se utilizará solo cuando el polígono buscado no tenga una construcción particular, ni pueda obtenerse como múltiplo de otro, dado que este procedimiento lleva inherente una gran imprecisión. Comenzaremos con el trazado del diámetro A-B, que dividiremos, mediante el Teorema de Tales en tantas partes iguales como lados tenga el polígono que deseamos trazar, en nuestro caso 11 Con centro en A y B trazaremos dos arcos de radio AB, los cuales se interceptarán en los puntos C y D. Uniendo dichos puntos con las divisiones alternadas del diámetro AB, obtendremos sobre la circunferencia, los puntos P, Q, R,.., vértices del polígono. Igualmente se procedería con el punto D, uniéndolo con los puntos 2, 4, etc., y obteniendo así el resto de los vértices del polígono. También lo podríamos hacer hallando únicamente el punto C, o el D, y uniendo éste con la marca o división segunda 2 del diámetro, prolongando dicha recta hasta que corte a la circunferencia en el punto P. La cuerda AP = ln transportada a lo largo de la circunferencia divide a esta en n partes iguales. CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES DADO EL LADO TRIÁNGULO. Basta con trazar dos arcos de circunferencia con centros en A y B, de radio el valor del lado, que se cortarán en el tercer vértice del triángulo. CUADRADO. Por uno de los extremos del segmento AB, trazamos una perpendicular al mismo, con el compás llevamos la magnitud del lado sobre ella y lo acabamos trazando paralelas.

6 GEOMETRÍA POLÍGONOS - 6 PENTÁGONO. Para construirlo aplicaremos la proporción áurea, ya que el lado de un pentágono regular es el segmento áureo de su diagonal. HEXÁGONO. Trazaremos dos arcos de circunferencia con centros en A y B, de radio el valor del lado, que se cortarán en el un punto, centro de la circunferencia circunscrita al hexágono regular. PROCEDIMIENTO GENERAL POR SEMEJANZA, DADO EL LADO. Se comienza por trazar una circunferencia de centro O y radio arbitrario. A continuación se divide la circunferencia en tantas partes iguales como lados tiene el polígono que se pretende dibujar; para ello aplicaremos alguno de los procedimientos vistos anteriormente para la construcción de polígonos dada la circunferencia circunscrita. Una vez dibujado el polígono semejante al buscado, llevaremos sobre uno de sus lados la magnitud del lado del polígono buscado, AB = l5. Trazando paralelas a los demás lados y usando las diagonales, obtendremos el polígono buscado, en este caso, un pentágono. También podemos definir el radio de la circunferencia concéntrica que ha de contener al polígono solución, semejante al trazado. Se trata pues, de encajar el segmento dado AB = l11, en el ángulo central MOQ. Para ello, se traslada el dato l11 = MR sobre la recta MQ, a partir del punto M, y por R se traza la paralela al diámetro MN, que corta a la prolongación del radio OQ en el punto B, resultando encajado el segmento AB = l11 La distancia OB = OA determina el radio de la circunferencia circunscrita al polígono buscado; transportando el lado dado se consigue, en este caso, el undecágono deseado.

7 GEOMETRÍA POLÍGONOS - 7 POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS Partiendo de un polígono regular, y únicamente cambiando el orden de la unión de sus vértices, se construyen otros polígonos diferentes llamados estrellados o cóncavos, cuyos lados y ángulos son iguales. Un polígono regular estrellado se construye uniendo los vértices no consecutivos, de un polígono regular convexo, de forma continua. La alternancia en la unión de los vértices o lados no consecutivos es lo que se denomina paso de un polígono estrellado. EI polígono se cierra en el mismo vértice que se comenzó: su trazado puede hacerse sin levantar el lápiz del papel. Por ejemplo, si partimos de un pentágono regular convexo y unimos sus vértices saltando de dos en dos (con paso 2), se obtiene una estrella pentagonal. Se denotan por N/M, siendo N el número de vértices del polígono regular convexo y M el salto entre vértices. N/M ha de ser fracción irreducible. Es fácil ver que N/M es el mismo polígono que N/(N-M), ya que el polígono que se obtiene uniendo vértices en un sentido y en el contrario es el mismo. Así que se podrán construir polígonos estrellados considerando los números menores que N/2, que sean primos con N. En este tipo de polígonos cóncavos existen dos términos que identifican a cada forma estrellada: - EI genero: número de cuerdas utilizadas (igual al número de puntas o vértices). - La especie: numero de vueltas completas para cerrar la forma (igual al paso). Se denomina falso estrellado, también llamado polígono compuesto o estrella, aquel que resulta de construir varios polígonos convexos girados un mismo ángulo, es el caso del falso estrellado del hexágono, hexagrama, compuesto por dos triángulos girados entre sí 60º, o del falso estrellado del octógono compuesto por dos cuadrados.