TEMA 1. TRAZADOS GEOMÉTRICOS ELEMENTALES

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1 TEMA 1. TRAZADOS GEOMÉTRICOS ELEMENTALES GEOMETRÍA: Rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las figuras geométricas, incluyendo puntos, rectas, planos Proviene del Griego GEO (tierra) METRÍA (medida). GEOMETRÍA PLANA: Estudia las propiedades de elementos con una o dos dimensiones, superficies y figuras en el plano. También se conoce como geometría euclídea (el matemático griego Euclides fue el primero en estudiarla en el siglo IV a.c.) GEOMETRÍA ESPACIAL: Estudia las técnicas geométricas que permiten representar el espacio tridimensional sobre un plano (el papel), que tiene únicamente dos dimensiones ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA PUNTO: Geométricamente podemos definirlo como la intersección de dos rectas o de una recta con un plano. No tiene dimensión. Describe una posición en el plano o en el espacio respecto a un sistema de coordenadas preestablecido. Se suelen representar con una pequeña cruz (+) y nombrar con una letra mayúscula (A, B, C, ). RECTA: Es una sucesión infinita de puntos en una misma dirección. Una recta puede ser definida geométricamente por dos puntos (geometría plana) o por dos planos que se cortan (geometría descriptiva). Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios. Se suele representar con una letra minúscula. SEMIRRECTA: Es una porción de recta delimitada por un punto. Ese punto se considera su inicio u origen y a partir de éste la sucesión de puntos es infinita en el sentido indicado. SEGMENTO: Un segmento es una porción de recta delimitada por dos puntos. Para dibujar un segmento se suelen marcar y nombrar sus extremos con dos letras mayúsculas. + A B C r O s 1.2. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO PARALELAS: Nunca se cortan. No tienen ningún punto en común. SECANTES: Se cortan en un punto. OBLICUAS: Se cortan sin formar ángulos rectos. COINCIDENTES: Todos sus puntos son comunes. PERPENDICULARES: Se cortan formando cuatro ángulos rectos. Este concepto está relacionado con el adjetivo ortogonal (forma ángulos rectos). Paralelas Secantes Oblicuas Perpendiculares 1

2 1.3. TRAZADOS GEOMÉTRICOS ELEMENTALES PERPENDICULARIDAD Mediatriz de un segmento Dado un segmento AB, hallar la mediatriz. 1. Traza dos arcos de igual radio con centro en ambos extremos A y B. Obtienes así los puntos C y D donde ambos arcos se cortan. 2. Une los puntos C y D para obtener la mediatriz Perpendicular a una recta por uno de sus puntos Dada una recta r, trazar la perpendicular por el punto P, en la recta. 1. Con centro en P, traza dos arcos que corten a la recta en los puntos A y B. 2. Con centro en los puntos A y B, traza dos arcos de radio mayor a la mitad de la distancia entre ellos. Donde ambos arcos se cortan obtienes el punto C. 3. Une el punto C y el punto P para dibujar la perpendicular pedida Perpendicular a una recta por un punto exterior Dada una recta r, trazar la perpendicular por el punto E, exterior a la recta. 1. Con centro en E, traza un arco que corte a la recta en los puntos A y B. 2. Con centro en los puntos A y B, traza dos arcos de radio mayor a la mitad de la distancia entre ellos. Donde ambos arcos se cortan obtenemos el punto C. 3. Uniendo el punto C con el punto E obtendrás la perpendicular. 2

3 Perpendicular a una semirrecta por su extremo Dada una semirrecta s, trazar la perpendicular por su origen O. 1. Con centro en O, traza un arco (casi una semicircunferencia) que corta a la semirrecta en el punto A. 2. Con centro en A, traza otro arco con el mismo radio que corta al anterior en el punto B. 3. Con centro en B y el mismo radio, traza otro arco que corte al primero en el punto C. 4. Con centro en C, traza otro arco, de mismo radio, que corte al último en el punto D. 5. Une el punto D con el punto A y obtendrás la perpendicular PARALELISMO Paralela a una recta por un punto exterior (Método 1) Dada una recta r un punto M exterior a ésta. 1. Elige un punto O en la recta como centro y traza una semicircunferencia de radio OM que la corte en los puntos A y B. 2. Con centro en A toma el radio AM y desde el punto B traza un arco que corte al primero en el punto N. 3. Uniendo el punto M con N y obtendrás la paralela a la recta dada que pasa por M Paralela a una recta por un punto exterior (Método 2) Dada una recta r un punto M exterior a ésta. 1. Toma dos puntos aleatorios de la recta dada r y llámalos A y B. 2. Con centro en M y con radio AB, dibuja una circunferencia. 3. Haz centro en B y con radio AM traza un arco que corte a la primera circunferencia en N. 4. Uniendo M con N obtienes la paralela a la recta dada que pasa por M. 3

4 ÁNGULOS Copiar un ángulo con compás y regla Dado un ángulo V, trazar otro ángulo igual V' 1. Dibuja una semirrecta y señala V', que será el vértice del nuevo ángulo copiado. 2. Con centro en el punto V, traza un arco de radio cualquiera que corte los lados del ángulo en los puntos A y B. 3. Con centro en V', traza un arco de igual radio que cortará al lado ya dibujado en el punto B'. 4. Desde el punto B del ángulo dado, mide con el compás la distancia desde A hasta B. 5. En el nuevo ángulo copiado, con centro en B', traza un arco que corte al anterior en A'. 6. Une V' con A' para completar la copia del ángulo Bisectriz conocido el vértice Dado un ángulo V, trazar su bisectriz 1. Con centro en el vértice y un radio cualquiera (suficientemente amplio), traza un arco que corte a ambos lados del ángulo en los puntos A y B. 2. Con centros en los puntos A y B, traza dos arcos de igual radio (mayor a la mitad de la distancia entre A y B) que se corten en el punto C. 3. Une el punto C con el vértice del ángulo dado para dibujar la bisectriz Bisectriz con el vértice fuera del papel Dados los dos lados a y b de un ángulo cuyo vértice es inaccesible 1. Dibuja una recta cualquiera r, que corte a los dos lados del ángulo. 2. Obtén las bisectrices de los cuatro ángulos internos formados, que se cortarán en dos puntos C y D. 3. Une los puntos C y D y obtendrás la bisectriz del ángulo cuyo vértice queda fuera de los límites del dibujo. 4

5 TEMA 2. POLÍGONOS REGULARES POLÍGONO: Superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. POLÍGONO REGULAR: Tiene todos sus lados y ángulos iguales. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO: LADOS: Son los segmentos que forman el polígono. VÉRTICES: Son las intersecciones o los extremos de los lados. DIAGONALES: Segmentos determinados por cada dos vértices no consecutivos. CIRCUNFERENCIA INSCRITA: Es interior y tangente a todos los lados del polígono. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA: Pasa por todos los vértices del polígono y lo contiene completamente en su interior 2.1. TRIÁNGULO EQUILÁTERO Triángulo equilátero conociendo el radio Dado el radio del triángulo equilátero (3 cm) 2. Traza un diámetro AD. Oriéntalo verticalmente. 3. Con centro en D y con radio el de la circunferencia, dibuja un arco que corte a la circunferencia en B y C. 4. Uniendo A, B y C obtendrás el triángulo equilátero Triángulo equilátero conociendo el lado Dado el lado del triángulo equilátero (5 cm) 1. Sobre una recta r cualquiera se coloca la base AB. 2. Con centro en los puntos A y B, traza dos arcos de radio 5 cm. que se corten en el punto C. 3. Uniendo A y B con C obtendrás el triángulo equilátero. 5

6 2.2. CUADRADO Cuadrado conociendo el radio Dado el radio del cuadrado (3 cm) 2. Traza el diámetro AC. 3. Levanta la mediatriz BD de AC y dividirás la circunferencia en cuatro partes iguales. 4. Une los cuatro puntos señalados y conseguirás el cuadrado pedido Cuadrado conociendo el lado Dado el lado del cuadrado (4 cm) 1. Sobre una recta r cualquiera se coloca la base AB. 2. Construye dos perpendiculares al segmento desde sus extremos. 3. Lleva la medida del segmento sobre las dos perpendiculares, obteniendo los puntos C y D. 4. Une mediante segmentos los puntos A, B, C y D y obtendrás el cuadrado pedido PENTÁGONO Pentágono conociendo el radio Dado el radio del pentágono (3 cm) 2. Traza dos diámetros perpendiculares AC y BD. 3. Halla el punto medio E del radio OC, mediante la mediatriz FG. 4. Desde E, dibuja un arco BH, con radio EB. 5. La cuerda BH es el lado del pentágono regular pedido. Constrúyelo con ella. 6

7 Pentágono conociendo el lado Dado el lado del pentágono (3,5 cm) 1. Sobre una recta r cualquiera se coloca la base AB. 2. Traza la mediatriz del lado AB para determinar su punto medio M. 3. A partir de un extremo, se traza una perpendicular y lleva el lado AB. Obtienes N. 4. Con centro en M y radio MN, traza un arco. Hallas O 5. Con radio AO traza arcos desde A y B. Obtienes D. 6. Desde D, traza dos arcos de radio AB. Obtienes E y C. 7. Une los puntos A, B, C, D y E y conseguirás el pentágono HEXÁGONO Hexágono conociendo el radio Dado el radio del hexágono (3 cm) 1. Dibuja una circunferencia de radio 3 cm. 2. Traza un diámetro AD orientado verticalmente. 3. Con centro en A y radio el de la circunferencia, traza un arco que corte a la circunferencia en B y F. 4. Con centro en D y el mismo radio, traza un arco que corte a la circunferencia en C y E. 5. Une los seis puntos y obtendrás el hexágono HEPTÁGONO Heptágono conociendo el radio Dado el radio del heptágono (3 cm) 2. Traza dos diámetros perpendiculares AC y BD. 3. Halla el punto medio E del radio OC, mediante la mediatriz FG. 4. El segmento EF es la medida del lado del heptágono. Utilízalo para su construcción. 7

8 Heptágono conociendo el lado Dado el lado del heptágono (2,5 cm) 1. Sobre una recta r cualquiera se coloca la base AB 2. Con el radio AB traza un arco desde A y otro desde B que se corten en el punto M. 3. Por M y por B dibuja dos perpendiculares a r. 4. Traza la bisectriz del ángulo MAB, que corta a la perpendicular en N. 5. Con el radio AN traza un arco hasta cortar a la perpendicular r, obteniendo el punto O. 6. Desde O, con un radio AO, traza una circunferencia. A partir de B lleva siete veces el lado AB. 7. Une todos los puntos y obtendrás el heptágono OCTÓGONO Octógono conociendo el radio Dado el radio del octógono (3 cm) 2. Traza dos diámetros perpendiculares AC y BD. 3. Halla las bisectrices de los cuatro ángulos obtenidos y dividirás la circunferencia en ocho partes. 4. Une los puntos y obtendrás el octógono pedido Octógono conociendo el lado Dado el lado del octógono (2,5 cm) 1. Sobre una recta r cualquiera coloca el lado AB y traza su mediatriz. 2. Dibuja una perpendicular en el punto B y lleva el lado AB, obteniendo M. 3. Une A con M. Corta a la mediatriz en N. 4. Con centro en N y con radio MN, traza un arco y obtienes O. 5. Con centro en O, y radio OA, dibuja la circunferencia. Sobre ésta lleva el lado AB ocho veces. 6. Une todos los puntos y conseguirás el octógono pedido. 8