CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS PLANAS - IES LA CREUETA 3 RO ESO /15

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1 CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS PLANAS - IES LA CREUETA 3 RO ESO /15 INTRODUCCIÓN Las formas geométricas obedecen a leyes matemáticas. Un trazado geométrico debe ser exacto y preciso para que exprese con claridad las características de una figura. Los trazados geométricos están sujetos, a unas normas establecidas que debemos conocer para poder realizarlos. Es preciso también adquirir destreza en el manejo de instrumentos de dibujo lineal como regla, escuadra, cartabón, compas, etc. MATERIALES Y USO Los materiales influyen, igualmente, en el aspecto final del trazado lineal. El papel para dibujo geométrico ha de ser liso y compacto para que pueda resistir los borrados y raspados. Se utiliza también papel vegetal y papeles pautados para croquis. El formato y tamaño del papel en que se dibuja están normalizados según normas españolas UNE, alemanas DIN o americanas ASA. Los formatos se definen de la siguiente manera: se parte de una hoja rectangular de dimensiones 841 mm y 1189 mm, cuya superficie es 1 m 2. Este formato es el A0. Dividiendo por la mitad esta superficie sucesivamente se obtienen los formatos A1, A2, A3, A4, A5 y A6. El lápiz de grafito presenta distintos niveles de dureza: 3B, 2B, B, HB, H, 2H 3H, etc. Se pueden usar tanto lápices con revestimiento de madera, como portaminas. Tanto la escuadra y el cartabón tienen forma de triángulo rectángulo, por ser uno de sus ángulos de 90 o. En un mismo juego, la hipotenusa de la escuadra debe medir lo mismo que el cateto mayor del cartabón. La regla normalizada debe medir 30 centímetros para poder realizar rectas con comodidad sobre el papel de dibujo. El compás es un instrumento que sirve para dibujar circunferencias. Los más precisos son los que llevan bigotera. Los trazados a tinta se realizan con rotuladores calibrados: las puntas 0,2, 0,4, y 0,8 son las más indicadas. Subdivisiones normalizadas del papel y medidas correspondientes. 1

2 1. TRAZADOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS 1.1. Trazado de paralelas y perpendiculares Existen diferentes procedimientos geométricos para trazar rectas paralelas y perpendiculares. Aquí puedes observar algunos con escuadra y cartabón. El ejercicio consiste en trazar rectas paralelas entre sí usando la escuadra y el cartabón como indica la figura. A continuación, dibujar rectas perpendiculares a las anteriores, cambiando la escuadra de posición División de un segmento AB en partes iguales Existe un procedimiento general para dividir un segmento en partes iguales. Veamos como se puede dividir el segmento AB en cinco partes iguales. Trazamos por A una semirrecta cualquiera s y la dividimos en el número deseado de segmentos iguales (en el ejemplo, cinco partes) y de una longitud arbitraria. Dibujamos seguidamente el segmento 5B y hacemos pasar por los puntos 1, 2, 3 y 4 paralelas a él que cortan al segmento AB en cinco partes iguales. Esta construcción es especialmente importante y se utiliza en dibujo técnico cada vez que el cálculo numérico no es lo bastante preciso (por ejemplo, para dividir un segmento de longitud 10 cm. en once partes iguales) Construcción de la mediatriz de un segmento AB Para construir la mediatriz de un segmento AB se trazan desde cada extremo del segmento arcos de circunferencia con radio mayor que la mitad de dicho segmento. Se obtienen así los puntos P y Q. La recta que pasa por estos puntos es la mediatriz buscada Construcción de la perpendicular a un segmento AB por el extremo A Con centro en A y radio cualquiera, trazamos el arco 1, que corta al segmento en C. Con centro en C y el mismo radio, se traza el arco 2, que corta al 1 en D. Con el mismo radio y con centro en D trazamos un arco 3, que corta al 1 en E. Con centro en E y siempre con el mismo radio trazamos el arco 4 que corta al 3 en F. Uniendo A con F tendremos la perpendicular a AB buscada. 2

3 1.5. Construcción de la recta perpendicular a otra por un punto A exterior Con centro en A, se traza un arco con radio mayor que la distancia del punto a la recta. Este arco corta a la recta r en P y Q. Con centro en P y Q, trazamos dos arcos con radio mayor que al mitad de la distancia entre ellos. La intersección R de los arcos, unida con el punto A, da la perpendicular buscada Construcción de la recta paralela a otra por un punto A exterior Con centro en O, tomado arbitrariamente sobre la recta, trazamos un arco de circunferencia que pase por A y que corta a la recta dada en P y Q. La distancia entre Q y A se lleva, trazando un arco, de P a B, punto de intersección con la circunferencia. La recta BA es la paralela buscada Construcción de la paralela a la recta r a una distancia d Trazadas las perpendiculares a la recta r en sus puntos A y B escogidos arbitrariamente, llevamos con un compás la distancia d sobre ellas, determinando así los puntos 1 y 2 por los que pasa la recta paralela buscada. Nota: para trazar las perpendiculares a r, se aplicará el desarrollo del ejercicio 1.5, interpretando que los puntos A y B por los que pasan las perpendiculares a r, se encuentran incluidos en propia recta. 2. ÁNGULOS, BISECTRICES Y TRIÁNGULOS 2.1. Construcción de la bisectriz de un ángulo dado Con centro en O, vértice del ángulo, se traza un arco cualquiera de circunferencia, obteniéndose los puntos A y B. Con centro en estos puntos, se trazan arcos de radio mayor que la mitad de la distancia entre los puntos A y B. Estos dos arcos se cortan en P, punto de intersección que, unido a O, nos da la bisectriz buscada División de un ángulo recto en tres partes iguales Con centro en O, vértice del ángulo, se traza un arco que corta en A y B a sus lados. Con el mismo radio se trazan arcos con centro en A y en B que cortarán al primero en D y C. Uniendo con semirrectas O con C y O con D se consigue dividir el ángulo de 90º en tres ángulos de 30º. 3

4 2.3. Construcción de un ángulo igual a otro dado Para construir un ángulo igual al AOB, se traza primero el arco AB de radio OA. A continuación se traza una semirrecta de origen O. Con centro en O y radio OA se dibuja el arco, que corta en B a la semirrecta. A su vez, con centro en B y radio AB se traza un arco, que corta al primero en A. Uniendo O con A se obtiene el otro lado del ángulo A O B, igual al AOB dado 2.4. Construcción de la bisectriz de un ángulo cuyo vértice queda fuera de los límites del papel Se traza una recta AB, que corte a las dadas r y s. Se trazan las bisectrices de los ángulos CAE, EAD, FBG y GBH. Las intersecciones de estas bisectrices nos dan los puntos M y N, que unidos definen la bisectriz buscada. 3. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS El triángulo es el polígono con menor número de lados. En un triángulo un lado es siempre menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. La suma de sus tres ángulos vale siempre 180º. Para dibujar un triángulo es necesario conocer tres elementos, que no sean los tres ángulos Construcción de un triángulo equilátero conociendo el lado L Trazamos dos arcos de radio L que tienen, respectivamente, como centro los extremos del lado L. Los dos arcos se cortan en el punto C (figura 1). Se unen los puntos A, B y C equilátero (figura 2) Construcción de un triángulo dados los tres lados Uno de los lados se sitúa como base del triángulo, por ejemplo el a. Con centro en sus extremos C y B se describen dos arcos con las longitudes de los lados b y c. Al unir la intersección A con los puntos C y B, se tiene el triángulo buscado Construcción de un triángulo conocidos dos lados y el ángulo comprendido (entre ambos). Se toma como base uno de los lados conocidos, el a por ejemplo, y sobre uno de sus extremos se coloca el ángulo dado C. Sobre el ángulo C se lleva la longitud del otro lado b. Al unir todos los extremos se obtiene el triángulo buscado 4

5 3.4. Construcción de un triángulo conocidos un lado y los dos ángulos adyacentes Se transportan los ángulos A y B a los extremos del lado c. Al prolongar los lados de los ángulos para que se corten en C, se obtiene el triángulo buscado. 4. CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS REGULARES I Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. La construcción de los distintos cuadriláteros se basa en sus propiedades Construcción del cuadrado dado el lado Una vez dibujado el segmento AB = l se traza una perpendicular por el extremo A. Con centro en A y radio igual a AB trazamos un arco que corta a la perpendicular en el punto 5. Con la abertura indicada y tomando como centros los puntos 5 y B dibujamos los arcos que se cortan en 6, cuarto vértice del cuadrado buscado. 5

6 4.2. Construcción de un rombo conocidas sus diagonales Se traza la diagonal AB y determinamos su mediatriz. Sobre ésta se toma la longitud CD en partes iguales a partir del punto O. Uniendo los puntos A, C, B y D se tiene el rombo buscado Construcción de un rombo conocidos un lado y un ángulo Sobre el extremo del lado a se lleva el ángulo B. Sobre el ángulo, se lleva el nuevo lado b con la misma magnitud que el a. Trazando el lado c paralelo al a y el d paralelo al b se tiene el rombo Construcción de un rectángulo conocidos sus lados Por el extremo del lado mayor b se levanta la perpendicular y se transporta sobre ella el lado a. Desde los extremos B y D se trazan rectas paralelas a b y a, respectivamente. El punto C, intersección de ambas rectas, es el otro vértice del rectángulo. 5. POLÍGONOS REGULARES Un polígono es regular cuando tiene los lados y los ángulos iguales. La construcción de un polígono regular puede realizarse conociendo la medida del lado, o conociendo el radio de la circunferencia circunscrita. Nomenclatura: Los vértices se llaman A, B, C... por orden alfabético. Diagonal es la recta que une dos vértices no consecutivos. Cada polígono tiene diagonales de distintos tamaños. Todas las diagonales de igual tamaño definen un polígono estrellado. Apotema es la distancia desde el centro a los lados. Es el radio de la circunferencia inscrita.radio es la distancia desde el centro a los vértices. Es el centro de la circunferencia circunscrita 6

7 5.1. Construcción del pentágono regular dado el lado Por el extremo B del lado a se levanta una perpendicular igual al lado. Se une el punto medio M del lado a con el extremo S de la perpendicular, y con centro en M se abate el radio MS sobre la prolongación del lado AB. La longitud AT es la diagonal del pentágono, por lo que los arcos trazados con centros A y B y radios AT y a dan los vértices C, D y E Construcción del hexágono regular dado el lado y Con centro en A y B, extremos de AB = l, y radio igual a AB, se describen sendos arcos que se cortan en 0, centro de la circunferencia que circunscribe al hexágono. Con centro en 0 y radio 0A se traza dicha circunferencia, que corta a los arcos precedentes en 1 y 2. haciendo centro en ellos con el mismo radio trazamos los arcos que determinan los puntos 3 y 4 sobre la circunferencia. La unión de los puntos B, 1, 3, 4, 2 y A determina la figura Construcción del heptágono regular dado el lado Se eleva una perpendicular por uno de los extremos del lado, el B por ejemplo. Por el extremo A se traza un ángulo de 30º. Se prolonga el lado del ángulo hasta que corte a la perpendicular trazada por B en el punto N. Sobre la mediatriz de AB y con radio AN se determina el punto 0, centro de la circunferencia circunscrita al heptágono. Sobre la circunferencia se traslada la longitud del lado siete veces Octógono dado el lado Con el lado dado construimos un cuadrado regular. trazamos la mediatriz del lado y una diagonal del cuadrado. Donde se cortan ambas rectas obtenemos el centro de la circunferencia circunscrita al mismo. El punto donde dicha circunferencia corta a la mediatriz es el centro de la circunferencia circunscrita al octógono. Haciendo centro en el mismo la trazamos y la subdividimos. 7

8 5.5. Procedimiento general para construir polígonos regulares dado el lado Polígono regular de n lados, siendo su lado el segmento AB Se dibuja AB y se traza su mediatriz. Se traza un arco de centro A y radio AB que corta a la mediatriz en el punto 6. Con centro en 6 se traza el arco AB que corta a la mediatriz en el punto 0. Se divide el segmento 06 en seis partes iguales. Nota: se ha construido como ejemplo un polígono regular de n = 9 lados Se lleva la unidad obtenida, que es igual a la sexta parte de AB, sobre la mediatriz tantas veces como lados tenga el polígono que queramos dibujar. El punto obtenido, en este caso 9, es el centro del polígono buscado. Se traza la circunferencia circunscrita, de radio 9A y centro 9 y se construye el polígono de lado AB correspondiente. 8

9 6. TANGENCIAS Las líneas rectas y curvas dibujadas sobre un plano pueden ocupar posiciones diferentes entre ellas. Una recta es exterior a una curva cuando no la toca en ningún punto. Cuando la recta corta a la curva se llama secante, y si la recta toca a la curva en un punto, se llama tangente. Las tangencias son trazados que permiten solucionar numerosos problemas geométricos, realizar diseños de gran utilidad y dibujos decorativos de gran valor plástico. Para comenzar a estudiar las tangencias es preciso tener en cuenta algunas premisas: Una recta es tangente a una circunferencia cuando tiene con ella solamente un punto común (figura 1) Para que una recta sea tangente a una circunferencia en un punto de la misma ha de ser perpendicular al radio en dicho punto (figura 2) El punto de tangencia de dos circunferencias está situado en la recta que une sus dos centros (figura 3) Figura 1 Figura 2 Figura 3 Recta tangente a una circunferencia por un punto P de dicha circunferencia Unimos el punto P con O, centro de la circunferencia, y prolongamos hasta O, siendo OP = OP. La mediatriz de OO es la tangente a la circunferencia Tangente a una circunferencia de centro O desde un punto P exterior a ella Unimos el punto P con el centro O y hallamos el punto medio, 1, del segmento OP. Con centro en 1 y radio O1, trazamos el arco que corta a la circunferencia en los puntos 2 y 3. las semirrectas que nacen en P y pasan por 2 y por 3 son las tangentes buscadas. 9

10 6.2. Circunferencia de radio dado tangente a una recta en un punto P de dicha recta Se levanta una perpendicular en P y se corta ésta con una paralela a la recta dada a una distancia R del radio dado. Se halla O, que es el centro de la circunferencia buscada Circunferencias de radio dado, que pasan por un punto P y son tangentes a una recta Se traza una paralela a la recta a una distancia R, igual al radio dado. Desde P se dibuja una circunferencia de radio R. Las intersecciones de la recta con la circunferencia son los centros de las dos circunferencias buscadas Construcción de tangentes exteriores a dos circunferencias de distinto radio Unidos los centros 0 y 0 de las dos circunferencias, dibujamos otra circunferencia, de centro 0 y radio igual a la diferencia de los dos radios dados (figura 4), trazando a continuación sus tangentes* en los puntos 2 y 3 desde 0. *Este paso, lo realizaremos aplicando el ejercicio anterior Las prolongaciones de los radios 02 y 03 determinan en la circunferencia mayor los puntos 4 y 5: las paralelas a dichos radios por 0 determinan a su vez los puntos 6 y 7 sobre la circunferencia menor. Las tangentes buscadas pasan por 4 y 6 y por 5 y Construcción de rectas tangentes interiores a dos circunferencias de distinto radio Se unen los puntos O y O y se determina el punto medio de OO, M. Con centro en M y radio MO se dibuja una circunferencia. Con centro en O (siempre en la mayor de las circunferencias) y radio R + r se dibuja otra circunferencia, ésta corta a la anterior en los puntos S y P. Uniendo el punto S con O y O, y el punto P con O y O, quedan determinados los puntos de tangencia V, U, T y Z. Basta trazar las rectas que pasan, respectivamente, por V y Z, T y U para tener las tangentes interiores t 1 y t 2. 10

11 6.6. Construcción de una circunferencia de radio conocido tangente a dos rectas concurrentes Se traza la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas t y s. Se dibuja una recta a paralela a s, separada de ella la distancia del radio conocido. La intersección de la bisectriz del ángulo formado por las rectas t y s con la recta a determina el centro O de la circunferencia pedida. Los puntos de tangencia son los pies de las perpendiculares trazadas desde O a las rectas concurrentes Construcción de una circunferencia de radio conocido tangente a otra circunferencia dada y a una recta Se traza un arco de centro O y radio el de la circunferencia dada más el radio conocido. Se traza una recta paralela a la dada distante de ella la medida del radio conocido. La intersección del arco con esta paralela es el centro O 1 de la circunferencia pedida Construcción de tres circunferencias de radio conocido tangentes entre sí Se construye un triángulo con lados iguales a la suma de los radios, tomados de dos en dos. Los vértices de los triángulos son los centros de las tres circunferencias Construcción de una circunferencia de radio R tangente a otra dada y que pasa por un punto P exterior Se dibuja un arco de la circunferencia concéntrica a la dada, de radio r + R. Con centro en P y radio R, se traza un arco que corta a la circunferencia concéntrica en O. Este punto es el centro de la circunferencia buscada. 11

12 7. TRAZADO DE ENLACES El trazado de enlaces entre curvas y rectas o de curvas entre sí es indispensable para el diseño de objetos y utensilios, diseños gráficos y dibujos artísticos de tipo geométrico. Al igual que en las tangencias, en el trazado de enlaces es necesaria una gran precisión en la construcción de estos dibujos, un grueso contraste de las líneas y enlaces limpios y ajustados. Esta selección de trazados sobre enlaces te ayudará a construir diversas figuras decorativas Enlace de arcos de circunferencias sobre una línea poligonal Se dibuja la mediatriz de AB, y en un punto cualquiera de ésta se sitúa el punto O, centro del primer arco. Se une el punto B con O; BO corta a la mediatriz del siguiente segmento BC en O 1. Con centro en este punto se dibuja el segundo arco. Este procedimiento se repite hasta terminar el enlace de los arcos sobre la línea poligonal Enlaces de dos rectas perpendiculares Con centro en el vértice V que forman las dos perpendiculares, y con el radio dado R se hallan los puntos A y B. Con centros en estos puntos y radio R trazamos dos arcos. Su intersección O será el centro del arco de enlace entre A y B Enlace de dos rectas que no son perpendiculares Se trazan rectas paralelas a las dos dadas a una distancia igual al radio dado. En su intersección encontraremos el punto O, centro del arco de enlace entre las dos rectas. Los puntos de enlace estarán siempre en la perpendicular desde O a las rectas. 12

13 7.4. Enlace de una circunferencia de radio dado y una recta Trazamos una circunferencia de radio R + r, concéntrica a la de centro O, y una paralela a la recta dada a distancia R. En la intersección de ambas tendremos O 1, centro del arco de enlace entre recta y circunferencia. 8. ÓVALOS El óvalo es una figura geométrica formada por arcos de circunferencia enlazados. Existen diferentes trazados, pero todos ellos parten de dos ejes perpendiculares. En estos ejemplos puedes estudiar la ejecución de algunos óvalos con los que podrás realizar diseños decorativos Óvalo de tres partes Dividimos el segmento AB en tres partes iguales: AE = EF = FB. Con centro en E y radio EF se traza una circunferencia, y con centro en F y radio FE se traza otra circunferencia. Sus intersecciones nos dan los puntos P y Q, que son centros de dos circunferencias de radio igual al diámetro AF o EB. El óvalo se forma marcando los arcos correspondientes a las cuatro circunferencias. 9. Ovoide Construimos una circunferencia de centro O. Se unen los extremos de su diámetro AB con el punto C, que es el punto de corte entre la circunferencia y el eje vertical. Con centro primero en A y luego en B y radio AB trazamos los arcos BF y AD. Con centro en C y radio CD marcamos el arco DF. 10. ESPIRALES La espiral es una línea curva que crece de manera ordenada en torno a un núcleo central. Al igual que los óvalos y las figuras con enlaces y tangencias, la espiral es una forma muy utilizada en el diseño y en el arte. También podemos ver espirales en la naturaleza, por ejemplo galaxias, caracoles, helechos y algunos cuernos de animales. En estos ejemplos puedes ver alguno de los trazados de espirales más sencillos. 13

14 10.1. Espiral de dos centros Trazamos una recta y sobre ella dos puntos, el 1 y el 2. con centro en 1 y radio 1-2 dibujamos la primera semicircunferencia. Con centro en 2 y radio 2-B dibujamos el segundo arco. Con centro en 1 y radio 2-B dibujamos el segundo arco. Con centro en 1 y radio 1-C volvemos a trazar el tercer arco, y así sucesivamente Espiral de tres centros Trazamos un triángulo equilátero y las prolongaciones de sus lados. Con centro en 1 y radio 1-3 dibujamos el primer arco. Con centro en 2 y radio 2-A dibujamos el segundo arco. Con centro en 3 y con radio 3-B construimos el tercer arco, y así sucesivamente Espiral de cuatro centros Dibujamos un cuadrado y prolongamos sus lados. Con centro en 1 y radio 1-4 trazamos el primer arco. Con centro en 2 y tsfio 2-A dibujamos el segundo arco. Con centro en 3 y radio 3-B construimos el tercer arco, y así sucesivamente. 14