MSC J. Fco. Jafet Pérez L. Conceptos Geométricos Objetos Básicos

Transcripción

1 Gráficos por Computadora MSC J. Fco. Jafet Pérez L. Conceptos Geométricos Objetos Básicos

2 Objetos básicos

3 Punto, Línea, Plano y Espacio Punto: Ubicación, sin longitud, anchura ni altura. (El punto representa solo posición y no tiene dimensión, es decir, largo cero, ancho cero y altura cero). Línea: Sucesión de puntos. Si unimos diferentes puntos, obtendremos líneas que pueden ser curvas, rectas, mixtas o poligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas direcciones; rectas, si llevan la misma dirección; mixtas, si mezclan ambas; y poligonales, si están formadas solamente por trozos de rectas.

4 Plano: Tiene ancho y largo, sin altura ni grosor. Un plano es una superficie en dos dimensiones, se puede pensar como un conjunto de puntos infinitos en dos dimensiones. Espacio: El espacio geométrico puede considerarse como el conjunto de todos los puntos del universo físico. Así, todo punto, recta y plano está en el espacio.

5 Recta y segmento de recta Recta: Es una línea continua que esta formada por infinitos puntos en la misma dirección, la recta no tiene inicio ni fin. (Podemos imaginar una recta como la línea mas delgada que se puede dibujar, una recta es una idea o abstracción)

6 Segmento de recta: Si tomamos 2 puntos en una recta (T y S), el segmento de recta será el conjunto de puntos comprendidos entre T y S. Es una porción o parte de una recta. Es la menor distancia posible entre dos puntos. Tiene un principio y un final, por ende es susceptible de ser medido.

7 Objetos geométricos planos Triángulo. Un triángulo ABC es una figura plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos, determinando los segmentos AB, AC y BC que son los lados del triángulo. Para que tres segmentos formen un triángulo ABC es necesario que cada uno de ellos sea menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. La suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180º.

8 Nomenclatura de los triángulos Los triángulos se nombran por sus vértices, A, B y C. El lado opuesto a cada vértice se llama como él, en minúscula: el vértice A es opuesto al lado a, el B al b y el C al c. Los ángulos pueden llamarse como el vértice:, con la letra griega o indicando ordenadamente, donde A es el vértice. Los triángulos que tienen los tres lados iguales se llaman equiláteros. Esto implica que tengan tres ángulos iguales y tres ejes de simetría. Los triángulos que tienen dos lados iguales se llaman isósceles. En este caso los lados iguales se llaman lados y el lado desigual se llama base. Los ángulos que tienen a la base como lado son iguales. Los triángulos isósceles sólo tienen un eje de simetría. Los triángulos que no tienen lados iguales se llaman escalenos, sus ángulos son desiguales y no tienen ningún eje de simetría. Los triángulos que tienen los ángulos agudos se llaman acutángulos. Los triángulos que tienen un ángulo recto de llaman rectángulos. Los lados del ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Los triángulos que tienen un ángulo obtuso se llaman obtusángulos.

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10 Paralelogramo. Un paralelogramo es un cuadrilátero que tienen los lados paralelos dos a dos.

11 Se clasifican en: Cuadrados. Un cuadrado es un paralelogramo que tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos. Rectángulos. Un rectángulo es un paralelogramo que tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos. x.

12 Rombos. Un rombo es un paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales y ángulos iguales dos a dos. Romboides. Un romboide es un paralelogramo que tiene los lados y ángulos iguales dos a dos

13 Cónicas. Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo. La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas. El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices. Las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución. Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas

14 Tipos de superficies Cónicas.

15 Elipse. La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz. α < β <90º La elipse es una curva cerrada.

16 Circunferencia. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. β = 90º La circunferencia es un caso particular de elipse.

17 Parábola. La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz. α = β La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito..

18 Hipérbola. La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica. α > β La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.

19 Polígonos. Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos. Elementos de un polígono Lados. Los lados de un polígono son los segmentos que lo limitan. Vértices. Los vértices de un polígono son los puntos donde concurren dos lados. Ángulos interiores de un polígono. Los ángulos interiores de un polígono están determinados por dos lados consecutivos.

20 Suma de ángulos interiores de un polígono n = número de lados de un polígono. S = (n 2) 180 Diagonal. Las diagonales de un polígono son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Número de diagonales de un polígono n = número de lados de un polígono. Número de diagonales = n (n 3) : 2.

21 Tipos de Polígonos. Regulares. Irregulares. Inscritos. Circunscritos. Estrellados.

22 Los polígonos regulares tiene sus lados y ángulos iguales. Los polígonos regulares están inscritos en una circunferencia. Elementos de un polígono regular Centro. El centro es el punto interior que equidista de cada vértice. Radio. El radio es el segmento que va del centro a cada vértice. Apotema. La apotema es la distancia del centro al punto medio de un lado.

23 Los polígonos irregulares no tiene todos sus lados iguales. Sus vértices no están inscritos en una circunferencia. Se clasifican atendiendo al número de lados: Triángulos Cuadriláteros Pentágonos

24 Un polígono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices son puntos de la circunferencia y todos sus lados están incluidos dentro del círculo que ésta define. Todo polígono regular está inscrito en una circunferencia. El centro de un polígono inscrito es el centro de la circunferencia circunscrita en él. El radio del polígono inscrito es el radio de la circunferencia circunscrita en él. Un polígono está circunscrito en una circunferencia, si sus vértices están situados fuera de la circunferencia, y sus lados son tangentes a la circunferencia. El polígono circunscrito toca en el punto medio de cada lado a la circunferencia inscrita. El centro de la circunferencia inscrita equidista de todos los lados del polígono circunscrito. La apotema del polígono circunscrito es el radio de la circunferencia inscrita.

25 Un polígono regular estrellado se construye uniendo los vértices no consecutivos, de un polígono regular convexo, de forma continua.

26 Sólidos Poliedros Un poliedro es un sólido que tiene todas las caras planas.

27 Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos. Caras. Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro. Aristas. Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.

28 Vértices. Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice. Ángulos diedros. Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común. Ángulos poliédricos. Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común. Diagonales. Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

29 Tipos de poliedros Poliedro convexo. En un poliedro convexo una recta sólo pueda cortar a su superficie en dos puntos. Relación de Euler. En todos los poliedros convexos se verifica siempre que: Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2. Poliedro cóncavo. En un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante.

30 Poliedros regulares Un poliedro regular tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos regulares iguales. Sólo existen cinco poliedros regulares: Tetraedro (4 caras) Hexaedro(cubo, 6 caras) Octaedro (8 caras) Dodecaedro(12 caras) Icosaedro (20 caras)

31 Poliedros irregulares Un poliedro irregular está definido por polígonos que no son todos iguales.

32 Poliedros irregulares - Prismas Prismas son los poliedros que están limitados por dos bases que son polígonos iguales y por caras laterales que son paralelogramos. Los prismas se nombran según el polígono de la base: prisma triangular prisma cuadrangular prisma pentagonal prisma hexagonal

33 Poliedros irregulares Prismas ortoedros El prisma cuyas caras son todas rectangulares se llama ortoedro. Tiene seis caras planas y todos sus ángulos son rectos. (El nombre "ortoedro" viene de orto-, que significa "recto", y -edro, que significa "cara".) Si todas las aristas de un ortoedro tienen la misma longitud, entonces se trata de un cubo (y es un poliedro regular). Todas sus caras son cuadrados iguales.

34 Prisma recto es el que tiene las aristas laterales perpendiculares a las bases. En el prisma oblicuo las aristas laterales no son perpendiculares a las bases. Prismas regulares: son los prismas cuyas bases son polígonos regulares. Prismas irregulares: son los prismas cuyas bases son polígonos irregulares. Hay un prisma regular, el cubo, que también es un poliedro regular. Los demás prismas regulares son poliedros irregulares.

35 Poliedros irregulares Pirámide. Los elementos fundamentales de una pirámide son caras, aristas y vétices. Las caras pueden ser: - Base de la pirámide, que es un polígono cualquiera. - Caras laterales de la pirámide, que son triángulos. Las aristas pueden ser: - Aristas básicas, que son los lados de la base. - Aristas laterales, que son los lados de las caras laterales que no son aristas básicas. Los vértices pueden ser: - Vértices de la base, que son los vértices del polígono de la base. - Vértice o cúspide de la pirámide, que es el punto en el que se encuentran las aristas laterales. La altura es la distancia del vértice a la base.

36 Poliedros irregulares Clases de Pirámides. Las pirámides se puede clasificar de forma análoga a los prismas. Una pirámide es recta si todas sus caras laterales son triángulos isósceles. Si no es así, decimos que es oblicua. Decimos que una pirámide es regular si es recta y tiene por base un polígono regular. Si no cumple estas condiciones, se denomina irregular. En una pirámide regular, las caras laterales son triángulos isósceles iguales. Hay una pirámide regular, el tetraedro, que es también un poliedro regular. Las demás pirámides regulares son poliedros irregulares.

37 Pirámide recta Pirámide oblicua Pirámide regular Pirámide irregular

38 Según el número de lados del polígono de la base, la pirámide será triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.

39 Tronco de pirámide Si cortamos una pirámide por un plano, obtenemos un tronco de pirámide, que será recto u oblicuo, según que el plano sea o no paralelo a la base. Fíjate en que las caras laterales de un tronco de pirámide son trapecios y cuando éste es regular, entonces los trapecios son isósceles iguales y su altura coincide con la apotema del tronco de pirámide. Por otra parte, las bases son polígonos semejantes.

40 No poliedros Un poliedro es un sólido que tiene todas las caras planas. Algunos sólidos tienen superficies curvas (todas o sólo algunas) así que no son poliedros.

41 No poliedros - Cono El cono es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. (Es un sólido de revolución) El cono tiene una cara basal plana y una cara lateral curva. Posee una arista basal y un vértice llamado cúspide.

42 Elementos de un cono recto: Eje: es el cateto AC. Alrededor de él gira el triángulo rectángulo. Base: es el círculo que genera la rotación del otro cateto, AB. Por lo tanto AB es el radio del cono. La base se simboliza: O (A, AB). Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región lateral conocida como manto del cono. Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del círculo con la cúspide siendo perpendicular a la base.

43 Tipos Si la altura coincide con su eje, el cono es recto. Si el eje y la altura no coinciden, el cono es oblicuo.

44 No poliedros - Cilindro El cilindro es el cuerpo geométrico generado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados (Es un sólido de revolución). El cilindro tiene 2 caras basales planas, paralelas y congruentes. 1 cara lateral que es curva y 2 aristas basales.

45 Elementos de un cilindro: Eje: lado AD, alrededor del cual gira el rectángulo. Bases: son los círculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados AB y CD del rectángulo. Cada uno de estos lados es el radio de su círculo y también, el radio del cilindro. Altura: corresponde al mismo eje AD; es perpendicular a las bases y llega al centro de ellas. Esta es la razón por la que el cilindro es recto. Generatriz: es el lado BC, congruente con el lado AD, y que al girar forma la cara lateral o manto del cilindro.

46 No poliedros - Esfera La esfera es el sólido generado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro (Es un sólido de revolución). La esfera tiene una sola cara curva. Todos los puntos que forman la superficie esférica equidistan de uno fijo llamado centro, y que corresponde al centro de la semicircunferencia que gira.

47 Elementos de una esfera: Centro. Punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera. Radio. Distancia del centro a un punto de la superficie de la esfera. Cuerda. Segmento que une dos puntos de la superficie esférica. Diámetro. Cuerda que pasa por el centro. Polos. Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

48 Circunferencias en una esfera Paralelos. Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos perpendiculares al eje de revolución. Ecuador. Circunferencia obtenida al cortar la superficie esférica con el plano perpendicular al eje de revolución que contiene al centro de la esfera. Meridianos. Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos que contienen el eje de revolución.