geometría 2008 cbc taller de dibujo cátedra arq. víctor murgia

Transcripción

1 geometría 2008 cbc taller de dibujo cátedra arq. víctor murgia

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3 CBC TALLER DE DIBUJO Cátedra Arq. VÍCTOR MURGIA INTRODUCCIÓN AL LENGUAJE GEOMÉTRICO línea recta Este texto trata sobre conceptos básicos relacionados con las figuras en el plano y en el espacio, la manera de medirlas y las propiedades que refieren tanto a esas figuras como a los modos en que se miden. línea curva PUNTO, LÍNEA, PLANO y VOLUMEN Para comenzar, definiremos el punto como la unidad visual mínima, unidad más simple en el universo visual. línea quebrada... algo que no tiene ni tamaño, ni longitud, ni anchura, ni grosor, y, sin embargo, es principio y final de todas las cosas materiales que se pueden hacer o que podemos idear con nuestro pensamiento, para plasmar mediante el dibujo. Si unimos, por lo menos, dos puntos, tendremos una línea, la que determinará una longitud aunque, a su vez, esté conformada por una sucesión infinita de puntos. Se clasifica a la línea de muchas maneras. Diferenciaremos en primer término la línea recta de la línea curva; también su propuesta de lectura: en horizontal, en vertical o en diagonal. Si tenemos más de una línea, podemos clasificarlas en líneas paralelas porque están siempre a la misma distancia una de otra o líneas perpendiculares que se cruzan formando un ángulo de 90º. línea en espiral Un plano será la unión de tres puntos o más no alineados o de una línea que se cierra sobre su origen, conformando así una forma entera y delimitando un adentro y un afuera. El plano no sólo tendrá longitud, sino también altura. Las formas planas pueden clasificarse en figuras regulares o irregulares. Las figuras regulares básicas son el cuadrado, el triángulo y el círculo; de su combinación derivan todas las demás figuras. líneas paralelas Cuando las figuras no sólo proponen una lectura de altura y longitud, sino que le sumamos la anchura, estaremos hablando de volumen. También la clasificación para las figuras volumétricas distingue volúmenes regulares de volúmenes irregulares. líneas perpendiculares

4 CBC TALLER DE DIBUJO Cátedra Arq. VÍCTOR MURGIA FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL PLANO O POLÍGONOS cuadrado diagonal del cuadrado mediatrices del cuadrado rombo rectángulo paralelogramo trapecio isósceles trapezoide triángulo escaleno triángulo isósceles triángulo equilátero triángulo rectángulo triángulo equilátero circunscripto en un círculo círculo tangente a cada lado del triángulo circunferencia o círculo diámetro del círculo radio del círculo representación de la tierra mediante un círculo

5 CBC TALLER DE DIBUJO Cátedra Arq. VÍCTOR MURGIA POLÍGONOS CON MÁS DE CUATRO LADOS pentágono hexágono octógono dodecágono CUADRILÁTEROS Son polígonos que tienen cuatro lados. Su propiedad fundamental es que la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Se clasifican en: Paralelogramos: Son cuadriláteros que tienen sus lados paralelos. Son paralelogramos el rectángulo, el cuadrado y el rombo. Trapecio: es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos. Se clasifican en: Los trapecios rectángulos que tienen dos ángulos rectos. Los trapecios isósceles, cuyos lados no paralelos tienen la misma longitud. Los trapecios escalenos, que tiene todos sus lados de distinta medida. Trapezoide: un cuadrilátero que no tiene lados paralelos y pueden ser simétricos o asimétricos. TRIÁNGULOS Es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es muy frecuente clasificar los triángulos por los lados (equilátero, si tiene los tres lados iguales, isósceles, dos lados iguales y escaleno, ningún lado igual)

6 CBC TALLER DE DIBUJO Cátedra Arq. VÍCTOR MURGIA y por los ángulos (rectángulo si tiene un ángulo de 90º, acutángulo si todos los ángulos son menores de 90º y obtusángulo si tiene un ángulo mayor de 90º). Mediana: Es la recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto. En el triángulo, hay tres medianas y las tres se cortan en un punto que se llama centro de gravedad (o baricentro) del triángulo. CIRCUNFERENCIA Es una línea cerrada que tiene la propiedad de que todos los puntos de esa línea están a la misma distancia de un punto fijo (centro). El segmento de recta que va desde el centro hasta la circunferencia se llama radio. El segmento de recta que va desde un punto de la circunferencia a otro pasando por el centro se llama diámetro. POLIEDROS El poliedro es un cuerpo con todas sus caras planas. Un prisma es un poliedro cuyas bases son polígonos iguales y cada una de sus caras es un paralelogramo. Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos. Una pirámide es un poliedro cuya base es un polígono y cada una de sus caras es un triángulo. Una pirámide es regular si la base es un polígono regular y la altura pasa por el centro. CUERPOS CON ALGUNA CARA CURVA espirales generadas a partir de distintas figuras regulares Cilindro: Es el cuerpo que se genera cuando un segmento se desplaza apoyándose en dos circunferencias iguales y paralelas, las cuales corresponden a su base. Cono: Es el cuerpo que se genera cuando un segmento se desplaza apoyándose en una circunferencia (su base) y en un punto (situado en un plano opuesto a la circunferencia). Esfera: Es un cuerpo cuya superficie tiene la propiedad de que todos los puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro). ARISTA, VÉRTICE El segmento común a dos caras de un poliedro se llama arista. El vértice es el punto de unión de dos aristas (en los cuerpos). El punto donde se unen dos lados se llama vértice (en los polígonos).

7 CBC TALLER DE DIBUJO Cátedra Arq. VÍCTOR MURGIA X X X X CUERPOS GEOMÉTRICOS X POLIEDROS tetraedro o pirámide cubo X hexaedro o cubo pirámide de base cuadrada octaedro dodecaedro octaedro hexaedro piramidal icosaedro prisma de diez caras o decagonal CUERPOS CON ALGUNA CARA CURVA cilindro cono cono truncado esferas / diferentes maneras de segmentar su superficie cara curva del cono truncado desplegada en un plano

8 CBC TALLER DE DIBUJO Cátedra Arq. VÍCTOR MURGIA VOCABLOS GEOMÉTRICOS Vocablos extraídos del libro La divina proporción, de Luca Pacioli, Hay ciertos vocablos que los sabios usan en las disciplinas matemáticas para mejor inteligencia de sus partes, con el fin de que en ninguna de ellas haya lugar a error, vocablos que resultarían dificultosos para quien no sea muy experto en tales disciplinas y que con frecuencia hemos utilizado en nuestro tratado, como habréis comprobado al leerlo.... Por hipotenusa se entiende, sobre todo en las figuras rectilíneas, la línea que se opone al ángulo mayor de éstas. Pero, más propiamente, se acostumbra a entender por este término el lado opuesto al ángulo recto en los triángulos rectángulos u ortogonales, que así se llaman en el arte, y que necesariamente son siempre la mitad de la figura cuadrada o del tetrágono alargado o figura rectangular de cuatro lados más larga que ancha.... Cono de la pirámide quiere decir el punto superior de la cima, donde concurren las líneas que parten de su base.... Cuerda pentagónica o pentagonal, o del ángulo pentagonal, es una recta trazada en la figura pentagonal desde uno cualquiera de sus ángulos hasta el opuesto, como otras veces se ha hecho.... La perpendicular es una línea recta elevada o situada sobre otra a escuadra, de manera que forme uno o más ángulos rectos en torno a sí; y así también dicha línea, en el modo señalado, se sitúe sobre una superficie plana. Se acostumbra a hallarla en los triángulos para medirlos, como dijimos en su momento en nuestra obra mencionada.... Cateto significa lo mismo que la perpendicular y vulgarmente suele llamarse en los triángulos saeta del triángulo, término que deriva del vocablo griego.... Por diámetro se entiende en el círculo una línea recta que pasa por su centro y que con sus extremos toca por ambas partes la circunferencia, dividiendo el círculo en dos partes iguales. Pero también se acostumbra a decir diámetro a propósito de los cuadrados, por lo cual, para que no haya error, se dice diámetro del círculo y diámetro del cuadrado, diferenciando uno del otro.... Centro del círculo es, propiamente, el punto medio en el que se afirma el pie inmóvil del compás para que, al girar el otro pie, quede descrito el círculo con la línea llamada circunferencia o periferia. Todas las líneas trazadas desde ese punto a la circunferencia son iguales entre sí. Pero se acostumbra también a llamar centro en las otras figuras rectilíneas al punto medio de sus superficies, como en los triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos y otras figuras equiláteras y equiángulas; las rectas trazadas desde cada uno de sus ángulos a dicho punto serán también iguales entre sí.

9 CBC TALLER DE DIBUJO Cátedra Arq. VÍCTOR MURGIA representaciones del globo terráqueo esfera desplegada en un plano

10 CBC TALLER DE DIBUJO Cátedra Arq. VÍCTOR MURGIA TRAZADO DE UNA BISECTRIZ La bisectriz es la recta que divide un ángulo en dos partes iguales. En un triángulo equilátero, hay tres bisectrices y se cortan en un punto de intersección que tiene la particularidad de que a partir de él podemos dibujar una circunferencia interior al triángulo y que es tangente a los tres lados del triángulo. Para encontrar la bisectriz de un ángulo: 1. Abrir el compás a partir del vértice B y trazar una curva que corte los lados A y C. 2. En la intersección de la curva con el lado A, apoyar el compás hasta generar la curva 2. Con el mismo radio, apoyar el compás en la intersección de la curva 1 con el lado C y trazar la curva 3. Desde el vértice B hasta la intersección de las curvas 2 y 3 se forma la bisectriz del ángulo. CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADA LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA La construcción de polígonos inscritos en una circunferencia dada se basan en la división de dicha circunferencia en un número de partes iguales. A veces el trazado pasa por la obtención del lado del polígono correspondiente a cada uno de sus arcos, y otras veces pasa por la obtención del ángulo central del polígono al que corresponde. TRIÁNGULO, HEXÁGONO Y DODECÁGONO Trazaremos dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4, respectivamente. A continuación, con centro en 1 y 4 trazaremos dos arcos, de radio igual al de la circunferencia dada, que nos determinarán, sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y 5. Luego, con centro en B trazaremos un arco del mismo radio, que nos determinará el punto C sobre la circunferencia dada. Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el triángulo inscrito. Uniendo los punto 1, 2, 3, 4, 5 y 6, obtendremos el hexágono inscrito. Y uniendo los puntos 3 y C, obtendremos el lado del dodecágono inscrito; para su total construcción solo tendríamos que llevar este lado, 12 veces sobre la circunferencia. Todas las construcciones de este ejercicio se realizan con una misma abertura del compás, igual al radio de la circunferencia dada.

11 CBC TALLER DE DIBUJO Cátedra Arq. VÍCTOR MURGIA CUADRADO Y OCTÓGONO Trazaremos dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos 1-5 y 3-7 respectivamente. A continuación, se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos de 90º, formados por la diagonales trazadas. Dichas bisectrices nos determinarán sobre la circunferencia los puntos 2, 4, 6 y 8. Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7 obtendremos el cuadrado inscrito. Y uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 obtendremos el octógono inscrito. De esta construcción podemos deducir la forma de construir un polígono de doble número de lados al ya dado. Sólo tendremos que trazar las bisectrices de los ángulos centrales del polígono dado, y éstas nos determinarán, sobre la circunferencia circunscrita, los vértices necesarios para su construcción. PENTÁGONO Y DECÁGONO Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que determinarán sobre la circunferencia dada los puntos A- B y 1-C, respectivamente. Con el mismo radio de la circunferencia trazaremos un arco de centro en A, que nos determinará los puntos D y E sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos obtendremos el punto F, punto medio del radio A-O. Con centro en F trazaremos un arco de radio F-1, que determinará el punto G sobre la diagonal A-B. La distancia 1-G es el lado de pentágono inscrito, mientras que la distancia O-G es el lado del decágono inscrito. Para la construcción del pentágono y el decágono, solo resta llevar dichos lados, 5 y 10 veces respectivamente, a lo largo de la circunferencia. HEPTÁGONO (construcción aproximada) Trazamos una diagonal de la circunferencia dada, que nos determinará sobre ella los puntos A y B. A continuación, con centro en A, trazaremos el arco de radio A-O, que nos determinará, sobre la circunferencia, los puntos 1 y C. Uniendo dichos puntos obtendremos el punto D, punto medio del radio A-O. En 1-D habremos obtenido el lado del heptágono inscrito. Solo resta llevar dicho lado, 7 veces sobre la circunferencia, para obtener el heptágono buscado. La construcción del heptágono es aproximada, por lo que se recomienda comenzar con la partición de la circunferencia llevando los lados tanto a derecha como a izquierda.

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