Ángulos consecutivos, suplementarios, adyacentes, opuestos por el vértice y complementarios.

Transcripción

1 ÁNGULOS Dadas dos semirrectas de origen común (Ox, Oy), no opuestas ni coincidentes, llamaremos ángulo convexo de vértice O, a la intersección del semiplano de borde la recta sostén de Ox, que contiene a la semirrecta Oy, con el semiplano de borde la recta sostén de Oy que contiene a Ox. Llamamos lados a cada una de las semirrectas que lo determinan y vértice al punto intersección de ellas. Decimos que un punto es interior al ángulo convexo, si pertenece a él, pero no a sus lados. Ángulo cóncavo o no convexo Es el conjunto de puntos del plano, no interiores al ángulo convexo. Definiciones: Llamamos ángulo nulo a aquel cuyos lados coinciden. Llamamos ángulo llano a cada uno de los semiplanos limitados por dos semirrectas opuestas. Ángulo completo es aquel cuyos lados son semirrectas coincidentes. Ángulo recto Es todo ángulo congruente (igual) con sus adyacentes. Ángulo agudo Es todo ángulo menor que un ángulo recto. Ángulo obtuso Es todo ángulo mayor que un recto y menor que un llano. Ángulos consecutivos, suplementarios, adyacentes, opuestos por el vértice y complementarios. Definición de bisectriz. Llamamos bisectriz de un ángulo convexo, a la semirrecta interior al ángulo, con origen en el vértice que lo divide en dos ángulos congruentes. Ángulos determinados por dos rectas con una secante.

2 CIRCUNFERENCIA Dado un punto O y un número real positivo r, llamamos circunferencia de centro O y radio r y anotamos C( O, r ) al conjunto de puntos del plano que distan r unidades de O. También se dice que la circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que distan una distancia igual de otro, llamado centro. Propiedades: Se llama cuerda al segmento determinado por dos puntos cualquiera de la circunferencia. Se llama diámetro a la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Se llama radio al segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. Se llama arco a cada una de las partes en las que una cuerda divide a la circunferencia. Se llama semicircunferencia a cada una de las partes en las que un diámetro divide a la circunferencia. Se llama ángulo al centro al ángulo cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia. La recta diametral perpendicular a una cuerda es mediatriz de la misma, bisectriz del ángulo central correspondiente, y divide al arco en dos arcos iguales. Dos cuerdas iguales, equidistan del centro. Por tres puntos no alineados pasa una circunferencia y sólo una. Llamaremos ángulo inscrito en una circunferencia a todo aquél cuyo vértice está en ella y los lados son secantes. La intersección del ángulo con la circunferencia nos da además del vértice, un arco que diremos está comprendido o abarcado por dicho ángulo. Propiedad: Todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central que comprende el mismo arco. Intenta reconstruir la justificación de la propiedad anterior, ayudándote de las figuras. Otras propiedades: Ángulos inscritos iguales en una circunferencia o en circunferencias iguales, determinan arcos iguales, y recíprocamente arcos iguales determinan ángulos inscritos iguales. Toda mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia y por los puntos medios de los arcos que determina. Llamaremos ángulo semiinscrito en una circunferencia a todo aquél cuyo vértice está en ella y cuyos lados son uno tangente y otro secante a la misma.

3 La intersección del ángulo con la circunferencia nos da un arco que diremos está comprendido o abarcado por dicho ángulo. Propiedad: Todo ángulo semiinscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. Posiciones relativas: Sea C una circunferencia de centro O y radio r. Sea P un punto del plano. Diremos que: P es exterior a la circunferencia si d(p,o) > r P está en la circunferencia si y solo si d(p,o) = r P es interior a la circunferencia si d(p,o) < r Posiciones relativas de una cfa y una recta: Sea C una circunferencia y r una recta del plano. Diremos que la recta es: secante a la circunferencia si su intersección son dos puntos distintos. tangente a la circunferencia si su intersección es un único punto. exterior a una circunferencia si su intersección es el conjunto vacío. Posiciones relativas de dos circunferencias: Definición Llamamos círculo de centro O y radio r, al conjunto de puntos del plano que distan de <O una distancia menor o igual a r. El número pi y la longitud de una circunferencia. El área del círculo, se calcula mediante la fórmula 2 A = πr

4 POLÍGONOS Definición de polígono convexo. Dados en un cierto orden n puntos en un plano, A, B, C, D, E,..., P, (considerando como siguiente del último al primero) de manera tal que tres cualesquiera de ellos no están alineados y que la recta determinada por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano respecto de ella, llámase polígono convexo a la intersección de todos esos semiplanos. Llamamos vértices a cada uno de estos puntos, lados a cada uno de los segmentos determinados por dos puntos consecutivos, y diagonales a cada uno de los segmentos determinados por dos vértices no consecutivos. Otras definiciones de polígono: Una línea poligonal es un conjunto de segmentos concatenados, (cada uno empieza donde acaba el anterior) y pueden ser: abiertas o cerradas. La superficie contenida por una línea poligonal cerrada se llama polígono. Un polígono decimos que es convexo si todos los ángulos interiores son menores de 180º Es una figura plana, cerrada y simple formada por segmentos. Proviene del latín poli que significa muchos y de gonos que significa ángulos, que pudiera traducirse como una figura de muchos ángulos. Obs. El número de lados y de ángulos ha de ser mayor o igual a tres. Clasificación de polígonos Podemos hacer clasificaciones distintas de los polígonos atendiendo a sus distintas características, a los distintos parámetros: Clasificación de los polígonos según la amplitud de sus ángulos. Cóncavos: tienen a menos un ángulo interior de más de 180. Convexos: sus ángulos interiores son todos ellos menores de 180. Clasificación de polígonos según su número de lados: N de lados Nombre N de lados Nombre 3 (tres) Triángulo 8 (ocho) Octógono 4 (cuatro) Cuadrilátero 9 (nueve) Nonágono 5 (cinco) Pentágono 10 (diez) Decágono 6 (seis) Hexágono 11 (once) Eneágono 7 (siete) Heptágono 12 (doce) Dodecágono También se clasifican en regulares e irregulares. Decimos que un polígono es regular si tiene sus lados y sus ángulos iguales. Los algunos de los polígonos regulares son:

5 Suma de los ángulos interiores de un polígono. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a dos ángulos rectos multiplicados por el número de lados menos dos. Suma de los ángulos exteriores de un polígono. La suma de los ángulos exteriores de un polígono es una constante igual a cuatro ángulos rectos. Propiedad: En todo polígono un lado es menor que la suma de los demás. Número de diagonales de un polígono. Un polígono de n lados tiene d n = n (n-3)/2 diagonales. CIRCUNFERENCIA INSCRITA Y CIRCUNSCRITA EN POLÍGONOS. Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices pertenecen a dicha circunferencia. El centro de un polígono inscrito es el centro de la circunferencia circunscrita en él. El radio del polígono inscrito es el radio de la circunferencia circunscrita en él. Decimos que un polígono es inscriptible, si es posible determinar una circunferencia que pase por todos sus vértices. Obs: Todos los triángulos son inscriptibles. El centro de la circunferencia es la intersección de las mediatrices de sus lados. No todos los cuadriláteros son inscriptibles. Un cuadrilátero convexo es inscriptible si y sólo si sus ángulos opuestos son suplementarios. Todos los polígonos regulares son inscriptibles. Un polígono está circunscrito en una circunferencia, si todos los sus lados son tangentes a la circunferencia. Obs: Todos los triángulos son circunscriptibles. El centro de la circunferencia es la intersección de las bisectrices de sus ángulos interiores. No todos los cuadriláteros son circunscriptibles. Un cuadrilátero es circunscriptible si y solo si las sumas de las medidas de sus lados opuestos son iguales. Obtención de las fórmulas para calcular perímetros de polígonos. El perímetro de cualquier polígono se determina calculando la suma de las longitudes de todos sus lados. Veremos cómo de determina su área.

6 Obtención de las fórmulas para calcular áreas de polígonos. En general, podemos intuir y aceptar que para un rectángulo cuya base es b unidades de longitud y cuya altura es h unidades de longitud, su área o superficie será b.h unidades de superficie. Un triángulo es un polígono de tres lados. Es el polígono más simple.

7 Deduciremos la fórmula para el cálculo del área del triángulo a partir de la siguiente figura: Deduciremos también el área del paralelogramo, del trapecio, etc. Se sugiere intentar construir applets en Geogebra que permitan visualizar la deducción de éstas fórmulas. El área de un polígono irregular se puede hallar descomponiendo el polígono en otras figuras cuyas áreas sepamos calcular. Una forma sencilla de hacerlo es triangulando el polígono y sumando las áreas de los triángulos obtenidos, aunque esto no siempre es necesario.

8 TRIÁNGULOS Un triángulo es un polígono de tres vértices (y tres lados). También lo podemos definir de forma independiente a la definición de polígono de la siguiente manera: Dados tres puntos no alineados que llamaremos vértices, llamamos triángulo a la intersección de tres semiplanos, cada uno de ellos determinado por la recta que pasa por dos de sus vértices, y que contiene al tercero. Llamamos lados a cada uno de los segmentos determinados por dos vértices Un triángulo no tiene diagonales. Condición de existencia de triángulos: cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Propiedades de los triángulos: 1) En todo triángulo no equilátero, a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente. 2) Un lado de un triángulo, es menor que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia. 3) Angulo externo de un triángulo es un adyacente a un interno. Es igual a la suma de los dos internos no adyacentes con él. 4) La paralela a un lado de un triángulo por el punto medio de otro, corta al tercer lado en su punto medio. 5) El segmento determinado por los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado y su medida es igual a la mitad de la del mismo. Suma de ángulos interiores y exteriores La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180. La amplitud de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a él. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360º En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo. Teorema del ángulo exterior Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS Según sus lados: Equilátero, sus tres lados son iguales. Isósceles, tiene dos lados iguales. Escaleno sus tres lados son desiguales. Según sus ángulos: Acutángulo: todos su ángulos son agudos Rectángulo: un ángulo recto Obtusángulo: un ángulo obtuso

9 ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO En un triángulo se definen cuatro tipos de líneas denominadas, genéricamente, elementos o rectas notables (si bien no todas son rectas). Esas son: Mediatriz: recta perpendicular a un lado trazada por su punto medio. Bisectriz: semirrecta con origen en un vértice, interior al ángulo interno que lo divide en dos ángulos iguales. Altura de un triángulo es el segmento determinado por un vértice y su proyección ortogonal sobre la recta que contiene al lado opuesto. Mediana de un triángulo es el segmento determinado por un vértice y el punto medio del lado opuesto. En un triángulo tendremos tres rectas de cada tipo. Los puntos de intersección de dichas rectas se denominan puntos notables y son: Circuncentro de un triángulo es el punto de intersección de las mediatrices de los lados del triángulo. Equidista de los tres vértices por lo que es el centro de la circunferencia que pasa por ellos llamada circunferencia circunscrita al triángulo. Incentro de un triángulo es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos internos del triángulo. Equidista de los tres lados por lo que es el centro de la circunferencia tangente a ellos llamada circunferencia inscrita al triángulo. Ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las rectas que contienen a las alturas de un triángulo. Baricentro de un triángulo es el punto de intersección de las medianas. Dista de cada vértice el doble de lo que dista del punto medio del lado opuesto. JUSTIFICACIÓN DE LA CONSTRUCCIÓN TRADICIONAL DE LA MEDIATRIZ JUSTIFICACIÓN DE LA CONSTRUCCIÓN TRADICIONAL DE LA BISECTRIZ. PARALELA MEDIA DE UN TRIÁNGULO. PROPIEDAD. El segmento que une los puntos medios de un triángulo es paralelo al ercer lado y mide la mitad de éste. PERÍMETRO Y ÁREA DEL TRIÁNGULO. (ya visto)

10 CRITERIOS DE IGUALDAD O CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Primer criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales, son iguales. Segundo criterio: Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales, son iguales. Tercer criterio: Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente iguales, son iguales. Cuarto criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor respectivamente iguales, son iguales. PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Recíprocamente, si en un triángulo se verifica que el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es rectángulo (el ángulo recto es el ángulo opuesto al lado mayor) Propiedades: El punto medio de la hipotenusa es el circuncentro del triángulo. La mediana relativa a la hipotenusa es congruente con la mitad de ésta. PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CON UN ÁNGULO DE 60º: El cateto adyacente al ángulo de 60º, es congruente con la mitad de la hipotenusa.

11 CUADRILÁTEROS Llamamos cuadrilátero a todo polígono de cuatro vértices (y cuatro lados) Existen distintas clasificaciones de los cuadriláteros, según qué característica del mismo se tenga en cuenta. Los clasificaremos en una primera instancia en Convexos, si cada uno de sus ángulos interiores es menor que un ángulo llano No convexos o cóncavos, si uno de sus ángulos es mayor que un llano. Los cuadriláteros convexos, a su vez se pueden clasificar, atendiendo al paralelismo de sus lados en: Paralelogramos, si tienen dos pares de lados paralelos. Trapecios, si tienen un par de lados paralelos y los otros dos lados no paralelos Trapezoides, si no tienen ningún par de lados paralelos Dentro de los paralelogramos, identificamos algunos especiales, atendiendo a la igualdad o no de sus lados y sus ángulos: Cuadrado: paralelogramo con cuatro lados y cuatro ángulos iguales Rombo: paralelogramo con cuatro lados iguales Rectángulo: paralelogramo con cuatro ángulos iguales Paralelogramo (también llamado paralelogramo tipo o romboide): paralelogramo que no está incluido en ninguna de los casos especiales antes considerados. Obs: según esta clasificación por ejemplo un rectángulo es un paralelogramo y un cuadrado es un rectángulo y también un rombo. Dentro de los trapecios, identificamos algunos especiales, atendiendo a la igualdad o no de sus lados y sus ángulos: Trapecio rectángulo: trapecio que tiene dos ángulos rectos Trapecio isósceles: trapecio cuyos lados no paralelos son de igual longitud Trapecio: trapecio que no está incluido en ninguno de los casos especiales antes considerados. Propiedades de los Paralelogramos En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales y los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios. En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales. En todo paralelogramo las diagonales se cortan mutuamente en su punto medio. Un cuadrilátero con dos lados opuestos paralelos e iguales es un paralelogramo Un cuadrilátero con dos pares de lados opuestos e iguales es un paralelogramo Un cuadrilátero con dos pares de ángulos opuestos e iguales es un paralelogramo Propiedades de los rectángulos Por ser un paralelogramo, son válidas todas las propiedades de los paralelogramos. Además tienen las siguientes propiedades características: Los ángulos interiores son todos congruentes Las diagonales son iguales y se cortan en su punto medio. Si un paralelogramo tiene sus diagonales iguales, entonces es un rectángulo.

12 Propiedades de los rombos. Por ser también paralelogramos, los rombos cumplen todas las propiedades de los mismos. Además tienen las siguientes propiedades características: Los cuatro lados son iguales Sus ángulos opuestos son congruentes Las diagonales son perpendiculares entre sí y bisectrices de sus ángulos. Las diagonales se cortan en su punto medio Si un paralelogramo tiene dos lados consecutivos iguales, entonces es un rombo. Propiedades de los cuadrados. Por ser también rectángulos y paralelogramos, los cuadrados cumplen todas las propiedades de los mismos. Además tienen las siguientes propiedades características: Sus cuatro lados son iguales Sus cuatro ángulos son iguales Las diagonales son perpendiculares e iguales y se cortan en su punto medio. Las diagonales son bisectrices de los ángulos interiores Si un paralelogramo tiene sus diagonales perpendiculares e iguales, entonces es un cuadrado Llamaremos bases medias de un cuadrilátero a los segmentos determinados por los puntos medios de cada par de lados opuestos. Paralela media de un paralelogramo. Propiedad. En todo paralelogramo, la base media determinada por los puntos medios de un par de lados opuestos es paralela y congruente a los otros dos lados. Propiedades de los Trapecios. El segmento determinado por los puntos medios de los lados no paralelos se llama base media principal del trapecio. En todo trapecio, la base media principal es paralela a las bases e igual a su semisuma. Si consideramos el punto medio de los lados no paralelos, el segmento determinado por ambos es paralelo a la base y su longitud es el promedio de las bases del trapecio. En todo trapecio isósceles la base media determinada por los puntos medios de los lados paralelos es perpendicular a dichos lados. En todo trapecio isósceles las bases medias son perpendiculares. Trapezoides. Propiedades. Los puntos medios de un trapezoide unidos de forma consecutiva determinan un paralelogramo. Resumen de fórmulas para calcular perímetros y áreas de cuadriláteros.

13 Bibliografía: GEOMETRÍA del ESPACIO Prof. Etda Rodríguez Octubre 2005 Geometría métrica - Prof Walter Fernández Val Guia para el exámen. Profesorado de Matemática- Profesor Sergio Peralta -Año ASICOS.pdf