Lados. Posee 4 lados que son representados por los segmentos: AB, Vértice. Posee 4 vértices, a saber: A, Lados opuestos. Son los lados no adyacentes:

Transcripción

1 Identificación de las propiedades de los cuadriláteros Cuadrilátero. Es un polígono de cuatro lados. Se le representa con sus cuatro vértices. Características Dado este cuadrilátero ABCD, se tiene: Clasificación. Los cuadriláteros se pueden dividir de acuerdo a las siguientes características: Trapecio. Cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos. Paralelogramo. Cuadrilátero que tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos. Lados. Posee 4 lados que son representados por los segmentos: AB, BC, CD y DA. Vértice. Posee 4 vértices, a saber: A, B, C y D. Lados opuestos. Son los lados no adyacentes: AB con CD BC con DA Lados adyacentes. Lados que comparten un mismo ángulo. Rectángulo. Cuadrilátero que tiene 4 ángulos rectos y sus lados opuestos iguales. Cuadrado. Cuadrilátero que tiene 4 lados iguales y sus ángulos rectos. Rombo. Cuadrilátero con sus 4 lados iguales. Cálculo de perímetro y área Área. El área de una figura plana es la extensión de la figura plana, medida en unidades cuadradas de longitud. La unidad SI de área es el metro cuadrado (m), que es el área de un cuadrado cuyos lados miden 1 metro. Además se tiene que la diagonal de un cuadrilátero es el segmento que une dos vértices opuestos. Dibuja en la figura las dos diagonales AC y DB. Trapezoide. Cuadrilátero que ningún lado de los 4 es igual. Propiedades: * En un paralelogramo sus diagonales se bisecan mutuamente. * El cuadrado, el rectángulo y el rombo son paralelogramos. * En un paralelogramo dos ángulos consecutivos son suplementarios. * En un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales. * La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es de 360. Perímetro. Es la distancia alrededor de una figura bidimensional. Ejemplo: el perímetro de este rectángulo es: a+b+a+b = (a+b)= a+b. El perímetro de un círculo se llama circunferencia. 1

2 11 cm Fórmulas para el cálculo de perímetro y área. Ejercicios Procedimiento Respuesta a) En el siguiente paralelogramo m ACD = 4, halla CD, ED y m CDB A E B C D b) En el siguiente paralelogramo determina las variables: 7x 6x+y 10y-1 5x+19 c) Calcula el número de ladrillos cuadrados que hay en un salón rectangular de 6 m de largo y 4.5 m de ancho si cada ladrillo mide 30 cm de lado. d) Determina la cantidad de pintura necesaria para pintar la fachada de esta granja, sabiendo que se gastan 0.8 kg de pintura por cada metro cuadrado. cm cm 10 cm 8 cm 5 cm

3 Identificación de las propiedades de los polígonos de más de cuatro lados. Polígono. Figura cerrada limitada por una cantidad finita de segmentos. Estos segmentos se llaman lados del polígono y los puntos donde dos de ellos coinciden son sus ángulos. Por sus ángulos. Se debe a sus ángulos internos que poseen: Convexo. Donde cada ángulo interno es obtuso. m A, m B, m C, m D, m E < 180 Cóncavo. Tiene uno o más ángulos internos mayores a 180 m EDC > 180 Clasificación. Por sus lados Por sus ángulos Por la relación entre sus lados y ángulos Por sus lados. Por el número de sus lados se subdividen en: No. De lados Nombre Tres Triángulo Cuatro Cuadrilátero Cinco Pentágono Seis Hexágono Por la relación entre sus lados y ángulos: Irregular. Tienen sus lados y ángulos diferentes. AB BC CD DE DA m A m B m C m D m E Regular. Tienen sus lados y ángulos iguales. AB = BC = CD = DE = DA m A = m B = m C = m D = m E Siete Ocho Nueve Diez Once Doce Trece Catorce Quince Veinte Heptágono Octágono Eneágono Decágono Undecágono Dodecágono Tridecágono Tetradecágono Pentadecágono Icoságono Elementos asociados a polígonos regulares: Diagonal. Segmento de recta que une vértices no consecutivos del polígono. (d) EB RADIO. Segmento de recta que une el centro del polígono con uno de sus vértices. (r) OD Apotema. Segmento de recta perpendicular que va del centro del polígono a uno de sus lados. (a) OG Ángulo central. Es el ángulo formado por dos radios del polígono. (α) DOC Ángulo interior. Es el ángulo formado por dos lados del polígono. ( β) EAB Ángulo exterior. Es el ángulo formado por un lado y por la prolongación de su lado adyacente en un polígono. (γ) ABF 3

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5 Ejercicios: Finalidad. Determinar el área de poligonos irregulares con el método de DESCOMPOSICIÓN EN TRIÁNGULOS O TRIANGULACIÓN. Consiste. En dividir el polígono en diferentes triángulos conocidos para determinar el área de cada uno y así, al sumarlos, obtener el área total del polígono. Esta división se hace mediante líneas. De cuántas formas se hará la división? Cuando se realiza la triangulación de un polígono de n lados desde un solo vértice con el uso de diagonales, la cantidad de triángulos divisores es de n-. Finalidad. Determinar el área de poligonos irregulares con el empleo de DIAGONALES. Cómo determinar el # de diagonales? Cuando se realiza el trazo de diagonales de un POLÍGONO REGULAR de n lados desde un solo vértice o las diagonales totales que se pueden trazar desde todos los vértices, la cantidad de diagonales divisores es de n-3, así como los valores de sus ángulos internos y externos y la suma de estos. Cuando el polígono es irregular de n lados, entonces: * Número de diagonales d que se pueden trazar desde un vértice es: d=n-3 * El numero de diagonales D que se pueden trazar en total desde todos los vértices es de D= n(n 3) * El valor de cada ángulo central c es m c = 360 n * El valor de cada ángulo externo i es m e = 360 n * El valor de cada ángulo interno i es m i = 180 (n ) n * Se satisface que e + i = 180 5

6 Ejercicio 1. En un pentágono determina: a) La cantidad de diagonales de un sólo vértice Ejercicio. A qué polígono regular se le puede trazar un total de 104 diagonales? Tip: usar la fórmula general: Cálculo de perímetro y área. b) La cantidad total de diagonales que se pueden trazar c) El valor del ángulo central d) El valor del ángulo interno Lado: 3cm Apotema:.6 cm Perimetro: 6 lados*3cm Donde: P: perímetro = nl n = lados a = apotema A: área = P (a) Ejercicio 1. La empresa Super ventas fabrica sombrillas de playa, y requiere usar tela cortada en forma de polígono regular. Entonces, Qué cantidad de tela se necesita para fabricar 150 sombrillas en forma de decágono? Cada lado mide 18.cm y apotema 8cm Ejercicio. La torre de una antigua fortificación es de planta hexagonal. Se ha medido el área de la planta inferior y se ha obtenido un resultado de m. Si cada una de sus paredes mide 8 m de anchura, Cuánto mide la apotema de su planta? 6

7 Identificación de los elementos y de las propiedades del círculo Círculo. Porción de plano delimitado por una circunferencia Circunferencia. Curva cerrada cuyos puntos equidistan de un punto fijo llamado centro. Entonces el perímetro del círculo es la circunferencia y el círculo es un área. Elementos: Tarea. Investigar la definición de cada uno de los elementos mencionados anteriormente y pegar en apunte. Círculos concéntricos. Aquellos con el mismo centro. Segmento circular. Porción delimitada por el arco intersecado y la cuerda comprendida. Ángulos en la circunferencia CENTRAL. Se forma entre dos radios. Su valor es igual al del arco intersecado. SEMIINSCRITO. Se forma con una cuerda y una tangente que se cortan en un solo punto de la circunferencia. Su valor es la mitad del arco intersecado. INSCRITO. Es el que se forma con dos cuerdas que se cortan en un mismo punto de la circunferencia. Su valor es la mitad del arco intersecado. m ACB= AB EXINSCRITO. Formado por una cuerda y una secante que se cortan en un mismo punto de la circunferencia. Su valor es el supemento del ángulo inscrito formado. m AOB = AB m BOA= BO m ABD = m ABC 7

8 INTERIOR. Formado por dos cuerdas que se intersecan. Su valor es la mitad de la suma de sus dos arcos intersecados. EXTERIOR. Existen tres opciones: * Es el que se forma por secantes que se intersecan exteriormente. * Es el que se forma con una secnate y una tangente que se intersecan exteriormente. * Es el que se forma con dos tangentes que se intersecan exteriormente. Su valor es la mitad de la resta de los arcos intersecados m ACD= AD EB m ADB= ACB AB m ADC= AC AB EJEMPLO EJERCICIO EJERCICIO CÁLCULO DE PERÍMETRO Y ÁREA Ejemplo Ejercicio El Perímetro P de la circunferencia de radio r es: P=πr El Área A de un círculo de radio r es: A = πr 8