Saberes BLOQUE. Conocimientos. Reconoce las propiedades de los polígonos

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1 Reconoce las propiedades de los polígonos BLOQUE 4 Saberes Conocimientos Clasifica polígonos: - Regulares e irregulares - Cóncavos y convexos Reconoce las propiedades y elementos de los polígonos: - Radio - Apotema - Diagonales - Número de diagonales desde un vértice y de diagonales totales. Reconoce las relaciones y propiedades de los ángulos en los polígonos regulares: - Central - Interior - Exterior - Suma de ángulos centrales - Suma de ángulos exteriores - Suma de ángulos exteriores

2 que se identifican los elementos de los polígonos, mediante la aplicación de sus propiedades, en la resolución de problemas que se derivan de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de los polígonos. UNIDAD DE COMPETENCIA Construye e interpreta modelos en los SUGERENCIA DE EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE Nombra los distintos tipos de polígonos al reconocer sus elementos. Obtiene la medida de ángulos de polígonos, o la suma de éstos y cuantifica segmentos importantes en ellos. Aplica las propiedades de polígonos referentes a ángulos y segmentos para solucionar problemas teóricos o prácticos. Habilidades Distingue los diferentes tipos de polígonos. Utiliza las propiedades y relaciones de los polígonos para calcular la medida de ángulos o sumas de ángulos, así como la cantidad de segmentos relevantes en los mismos. Aplica las propiedades y relaciones de los polígonos para la resolución de problemas. Actitudes y valores Valora la importancia de reconocer los distintos tipos de polígonos. Actúa de manera propositiva al resolver los ejercicios planteados.

3 B4 INTRODUCCIÓN En este bloque analizaremos las propiedades y características de las figuras geométricas llamadas polígonos, en particular, los polígonos regulares. Estudiaremos el caso de los polígonos irregulares y analizaremos el caso de los cuadriláteros llamados paralelogramos. Estas figuras juegan un papel importante dentro de la geometría, pues muchas de ellas las encontramos en la naturaleza; por ejemplo, las celdas de los panales de las abejas tienen forma hexagonal, la distribución de los pétalos de algunas flores siguen un papel pentagonal, la sección transversal de muchas frutas tienen figuras poligonales. Evaluación diagnóstica Resuelve los siguientes ejercicios. 1. Si los cinco triángulos son congruentes, halla el valor del ángulo α.. En la siguiente figura, O es el centro de la semicircunferencia. Calcula el valor del ángulo ABC. 3. Halla el área del hexágono de la siguiente figura. 4. Calcula el área del siguiente octágono irregular. 110

4 Reconoce las propiedades de los polígonos DEFINCIÓN DE POLÍGONOS Como mencionamos anteriormente, en la naturaleza se manifiestan de manera implícita diversas formas geométricas, cuyas características el hombre ha tratado de comprender para aplicarlas en todos los contextos de su vida: el arte, la decoración, la tecnología, etcétera. Polígonos en nuestra realidad La siguiente actividad nos muestra ejemplos de lo que acabamos de mencionar. Actividad I. Observa las siguientes imágenes. 111

5 B4 a) Qué figuras geométricas reconoces? b) De ellas, cuáles son polígonos? II. Observa las siguientes figuras. a) Describe brevemente cada una de ellas. b) Qué similitudes encuentras entre ellas? c) Qué diferencias? III. En el bloque anterior vimos que un triángulo puede inscribirse o circunscribirse a una circunferencia al calcular su circuncentro o su incentro. a) Es posible que pueda hacerse lo mismo con cada una de las figuras anteriores? b) Con cuáles sí y con cuáles no? Explica tus respuestas. CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS Como pudimos observar en la actividad anterior, la misma naturaleza nos proporciona infinidad de formas geométricas que podemos reproducir; por ejemplo, la forma hexagonal de las celdas de los panales de abejas, la forma pentagonal de la 11

6 Reconoce las propiedades de los polígonos estrella de mar o de muchas flores. La telaraña o la tierra partida por el sol nos recuerda la forma de un polígono regular, etcétera. Literalmente, un polígono es una figura plana cerrada que tiene muchos ángulos y, consecuentemente, muchos lados. En general, utilizaremos el término polígono para referirnos a las figuras planas regulares de cinco o más lados. Los polígonos pueden clasificarse, teniendo como referencia la longitud de sus lados, como regulares e irregulares, y por la medida de sus ángulos, en cóncavos y convexos. Los polígonos regulares son aquellos que tienen sus lados y ángulos iguales (por ejemplo, el triángulo equilátero o el hexágono); y los irregulares son los que tienen, por lo menos, dos de sus lados de diferente medida. Los polígonos convexos se caracterizan por tener todos sus ángulos internos menores de 180º, y los cóncavos, por lo menos un ángulo interno mayor de 180º. En este bloque analizaremos, principalmente, los polígonos convexos y regulares. De los irregulares, sólo veremos algunos cuadriláteros particulares como el rectángulo, el rombo, el romboide, o el trapecio. El análisis de los polígonos cóncavos no entra dentro de los planes de trabajo del presente libro de texto. PROPIEDADES Y ELEMENTOS DE LOS POLÍGONOS Los elementos básicos de un polígono son: Los lados, que son los segmentos de recta iguales que limitan la superficie del polígono y cuyo número determina el nombre del polígono, pues si tiene cinco lados se llama pentágono, si tiene seis, hexágono, etcétera. El centro de un polígono es el punto que equidista de sus vértices. Los vértices son los puntos donde se unen dos lados. Un polígono tiene tantos vértices como número de lados. El radio del polígono es la distancia del centro a cada uno de los vértices del polígono. Es, además, el radio de la circunferencia circunscrita. 113

7 B4 El apotema es la longitud del segmento perpendicular que va del centro del polígono al punto medio de cada uno de sus lados. Diagonal es un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono. Un ángulo central es el ángulo con vértice en el centro y cuyos lados son dos radios consecutivos. Un ángulo interior es un ángulo formado por dos lados consecutivos del polígono. Un ángulo externo o exterior es formado por la prolongación de un lado y su lado contiguo. Es el suplemento de su ángulo interior. Una de las características más importantes de los polígonos es que pueden inscribirse o circunscribirse a una circunferencia; es decir, dado un polígono regular de n lados, existen dos circunferencias concéntricas (comparten el centro) de tal forma que: a) Una de ellas pasa por todos los vértices del polígono, y su radio coincide con el radio del polígono. A esta circunferencia de le llama circunscrita. b) La otra es tangente a cada uno de los lados del polígono. Su radio es la apotema del polígono. A esta circunferencia se le llama inscrita. El centro de ambas circunferencias coincide con el centro del polígono. Perímetro y área Como cualquier figura plana, a los polígonos se les puede calcular tanto el perímetro como el área. El perímetro está formado por la suma de todos sus lados, es decir: P = nl donde n es el número de lados del polígono, y l, la longitud de su lado. Puesto que los radios dividen al polígono en n triángulos congruentes, y cada uno tiene una superficie igual a: la S =, donde a es el apotema del polígono, en- tonces la superficie del polígono es: 114

8 Reconoce las propiedades de los polígonos la nla A= n = Pero como P = nl, entonces: A = pa RELACIONES ENTRE LOS ÁNGULOS DE UN POLÍGONO Y NÚMERO DE DIAGONALES Los polígonos tienen elementos angulares básicos y características especiales que analizaremos a través de la siguiente actividad. Actividad I. Une el centro del polígono con cada uno de los vértices. a) Cuánto vale la suma de los ángulos centrales de este polígono? b) De acuerdo con lo anterior, cuál es el valor de cada uno de los ángulos centrales? c) En general, cómo puede calcularse el valor de un ángulo central de un polígono? d) Expresa el resultado anterior por medio de una fórmula. 115

9 B4 II. Observa el pentágono de la figura anterior y responde lo que se te indica. a) Cómo se obtiene el valor de cada uno de los ángulos interiores del polígono? b) Cuánto vale la suma de los ángulos interiores del polígono? c) En general, cómo se obtiene la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono? d) Encuentra una fórmula para ello. III. De acuerdo a lo que observaste en el pentágono de la figura anterior responde brevemente lo que se te indica. a) Cómo puede calcularse el valor de cada uno de los ángulos exteriores? b) Cuál es el valor de la suma de los ángulos externos del polígono de la figura? c) Encuentra una fórmula para obtener la suma de los ángulos externos de cualquier polígono. IV. Traza las diagonales por el vértice marcado de cada una de las siguientes figuras. 116

10 Reconoce las propiedades de los polígonos V. Traza todas las diagonales en cada una de las figuras anteriores y responde lo que se te pide. a) Completa la siguiente tabla. Polígono Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Eneágono Decágono Núm. de vértices Diagonales distintas Por vértice Total b) Encuentra una expresión para calcular el número de diagonales distintas que pueden trazarse en un polígono. En la siguiente figura podemos observar que se trata de un pentágono, es decir, un polígono regular, de cinco lados cuyos ángulos centrales son iguales y adyacentes conjugados. Entonces: α + α + α + α + α = 360º, de donde: 5α = 360º, por lo tanto: 360 α = 5 α = 7 En general, podemos calcular el valor de un ángulo central de cualquier polígono regular dividiendo 360º entre el número de lados, es decir: α= 360 n Veamos ahora qué ocurre con los ángulos interiores. Como el triángulo AOB es isósceles, OAB y OBA son iguales por ser los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles. Una situación análoga se presenta en el triángulo AOE. Entonces, en el triángulo AOB tenemos: γ+ α= 180. Pero como α = 7º, entonces: 117

11 B4 γ = γ = γ = 54 Ahora, si β es cualquiera de los ángulos interiores de un polígono regular, entonces: β= γ Pero como: γ+ α= 180 y α= 360 n, entonces: 360 γ= 180 de donde, simplificando: n 180 n ( n ) γ= = n n Es decir, todo ángulo interior de un polígono es igual a: ( ) 180 n β= n Ahora, como todo polígono de n lados tiene n ángulos internos, entonces, la suma de los ángulos interiores (S i ) es: 180 n Si = n n S = 180 n i O bien, Si = nβ ( ) ( ) Veamos ahora qué sucede con los ángulos exteriores. Observamos en la figura que cualquier ángulo exterior (δ) es el suplemento de su ángulo interior, entonces: δ = 180º β, de donde: ( ) 180 n δ= 180 n 118

12 Reconoce las propiedades de los polígonos Simplificando, obtenemos: ( ) 180 n 180 n δ = n 180 n 180 n+ 360 δ = n 360 δ = n De lo anterior, podemos concluir que la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono regular es 360º, pues si S es dicha suma, entonces: 360 S= n n S = 360 Veamos ahora lo que ocurre con las diagonales de los polígonos. El primer polígono regular que admite diagonales es el cuadrado y sólo se puede trazar una por cada vértice. En el caso del pentágono, por cada vértice sólo ; en el hexágono sólo 3; en el heptágono sólo 4, etc.; es decir, por cada vértice se trazan (n 3) diagonales. Analizaremos a continuación, de manera particular, el número total de diagonales para el caso del hexágono, resultando que podemos generalizar a los demás polígonos. Por cada vértice del hexágono se pueden trazar (6 3) = 3 diagonales, y como tenemos 6 vértices, entonces tendremos en total 6(3) = 18 diagonales. Pero, al considerarlas de esta manera, las estamos contando dos veces, por ejemplo, la diagonal AE es la misma que la EA, o bien, la diagonal BF es la misma que la FB; por lo tanto, el número real de diagonales del hexágono es 18 Generalizando, tenemos que el número de diagonales, N d, es: N d = ( ) nn 3 =

13 B4 I. Considera un dodecágono regular cuyo radio es 0 cm y cuyo lado mide 1 cm. Calcula: a) El valor de su ángulo central. b) El valor de su ángulo interior. c) La suma de sus ángulos interiores. d) El valor de su ángulo exterior. e) El número de diagonales. f) Su perímetro. g) Su área. Solución: Puesto que el dodecágono tiene 1 lados: a) El valor de su ángulo central es: α= = = 30 n 1 b) El valor de su ángulo interior es: 180 ( n ) β = = n β = = ( ) = ( ) c) La suma de sus ángulos interiores es: Si = 180 ( n )= S = i ( )= ( ) El valor de su ángulo exterior coincide con el de su ángulo central, por lo que: d) El número de diagonales es: N d = ( ) 1 = ( 1 3) 1 = ( 9) = nn 3 e) Su perímetro es: P = nl = 1(1 cm) = 144 cm 54 diagonales f) Para calcular su área necesitamos primero el valor del apotema, mismo que calcularemos utilizando el Teorema de Pitágoras. En la figura observamos que: a + (6 cm) = (0 cm) 10

14 Reconoce las propiedades de los polígonos De donde despejando y simplificando 1 : a = 400cm 36cm = 364cm a = 364cm = 4( 91) cm a = 91cm Por lo tanto, el área es: A = pa 14cm 91cm = A = 14 91cm ( ) II. Si un polígono regular tiene un ángulo externo de 40º, calcula: a) El número de lados del polígono. b) El valor de su ángulo central. c) El valor de su ángulo interior. d) La suma de sus ángulos interiores. e) El número de diagonales. Solución: a) Puesto que el ángulo exterior se obtiene mediante la relación δ= entonces: n = = 40 = 9 δ Por lo tanto, el polígono es un eneágono. 360 n, b) Puesto que el ángulo central coincide con el ángulo exterior, entonces: a = 40º c) El valor de su ángulo interior es: ( ) = ( ) 180 = ( 7) = n β= n 9 La suma de sus ángulos interiores es, por tanto: Si = nb = 9(140º) = 1,60º 9 1 No es necesario que se calcule la raíz cuadrada, ya que ésta es sólo una aproximación. Es mejor simplificar aplicando las leyes de los exponentes y radicales, pues es lo que se utiliza para resolver este tipo de ejercicios en los exámenes de admisión al nivel superior. 11

15 B4 d) El número de diagonales es: N d = ( ) 9 = ( 9 3) 9 = ( 6) = nn 3 III. Determina el perímetro y el área de un hexágono que tiene un radio de 30 cm. Solución: Puesto que el polígono es un hexágono, su ángulo central es de 60º, pero como el triángulo OAB es isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales deben ser iguales, es decir, la suma de ellos debe ser el suplemento del ángulo central, 10º y, por lo tanto, cada uno de los ángulos iguales es la mitad de 10º, es decir 60º. Así, el triángulo AOB es equilátero y, por lo tanto, las medidas de su radio y su lado coinciden. El perímetro del hexágono es, por lo tanto: P = nl = 6(30 cm) = 180 cm Para calcular el área, primero calculamos la apotema que, de acuerdo con la figura, es: + ( ) = ( ) a 15cm 30cm a = 900cm 5cm a = 675cm = 5( 3) cm a = 15 3cm Por lo tanto, el área es: ( ) = A = pa 180cm 15 3cm = cm 7 Polígonos irregulares: Cuadriláteros Ahora, analizaremos algunas características de los polígonos irregulares, particularmente de los cuadriláteros. Desde el antiguo Partenón griego y las construcciones renacentistas, hasta los modernos edifi- 1

16 Reconoce las propiedades de los polígonos cios rascacielos, los cuadriláteros (rectángulo y cuadrado principalmente) están presentes en su diseño y construcción. De hecho, el rectángulo áureo se utilizó en el diseño del Partenón, en el arte se usa para plasmar las pinturas. En la siguiente actividad conoceremos las características y elementos de los cuadriláteros. Actividad I. Observa los siguientes cuadriláteros y en tu libreta de apuntes realiza lo que se te pide. a) Coloca el nombre de cada uno de los cuadriláteros. b) Describe brevemente cada uno de los cuadriláteros. c) Qué características tienen en común? d) Qué diferencias? II. Traza las diagonales de cada uno de ellos. a) Qué características comunes tienen las diagonales de cada uno de ellos? b) Qué diferencias? c) En algún caso, las diagonales de un cuadrilátero son iguales? En cuál? d) En algún caso, las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares? En cuál? III. Sin medir los ángulos, verifica que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º, y que la suma de los ángulos externos de un cuadrilátero (uno por lado) es, también, 360º. 13

17 B4 De la actividad anterior, podemos observar que existen cuadriláteros que tienen pares de lados opuestos iguales y paralelos, llamados paralelogramos; cuadriláteros que tienen solamente un par de lados paralelos pero distintos, llamados trapecios, y cuadriláteros que no tienen ningún par de lados paralelos, llamados trapezoides. Una de las propiedades características de cualquier cuadrilátero es que la suma de sus ángulos internos es 360º. En efecto, si ABCD es un cuadrilátero cualquiera, entonces, al trazar una diagonal descomponemos al cuadrilátero en dos triángulos donde la suma de los ángulos internos de cada uno de ellos es 180º; es decir: A+ B+ C+ D= α+ γ+ δ+ ε+ θ+ β, pero como α+ γ+ δ = 180 y ε+ θ+ β = 180, entonces: A+ B+ C+ D= = 360 Así, la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360º. Las diferentes propiedades de los cuadriláteros se describen en la siguiente tabla. Clasificación de cuadriláteros PARALELOGRAMOS TRAPECIOS TRAPEZOIDES Propiedades generales Tienen dos pares de lados opuestos iguales y paralelos. Sus diagonales se bisectan mutuamente. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales. Los ángulos adyacentes de un paralelogramo son suplementarios. La suma de sus ángulos internos es 360º. Tienen un par de lados opuestos paralelos y diferentes. Los ángulos adyacentes a cada una de las bases son suplementarios. No tienen ningún par de lados opuestos paralelos. 14

18 Reconoce las propiedades de los polígonos Propiedades particulares Trapecio isósceles. 4 lados iguales y 4 ángulos rectos. Diagonales iguales y perpendiculares. Lados no paralelos iguales. Diagonales iguales. Trapecio escaleno acutángulo. Lados contiguos distintos. 4 ángulos rectos. Diagonales iguales y no perpendiculares. Lados no paralelos distintos. Ángulos agudos en la base mayor. 4 lados iguales. Ángulos adyacentes distintos. Diagonales distintas y perpendiculares. Trapecio escaleno obtusángulo. Lados contiguos distintos. Ángulos adyacentes distintos. Diagonales distintas y no perpendiculares. Lados no paralelos distintos. Tiene un ángulo obtuso en la base mayor. Trapecio escaleno rectángulo. Tiene un lado no paralelo perpendicular a las bases. Perímetro y área Tabla 4.1 Clasificación de los cuadriláteros. Obtener el perímetro y el área de un cuadrilátero es una actividad que se realiza en muchas situaciones cotidianas; por ejemplo, para comprar papel para envolver un regalo o forrar los libros, se estima cuánto papel se necesitará buscando comprar sólo lo necesario. En la construcción, un albañil necesita calcular el área de los muros tanto de la barda como de la casa a construir. 15

19 B4 El perímetro de un cuadrilátero cualquiera es simplemente la suma de las medidas de sus lados, pero el cálculo de su área, en algunos casos, no es tan simple determinarla. En el caso de un rectángulo o de un cuadrado, el área se obtiene multiplicando, directamente, la medida de sus lados. En el caso del rombo, podemos dividirlo en dos triángulos congruentes por medio de su diagonal menor, calcular el área de cada una de ellas y al final sumarlas; es decir: Sean D = NQ y d = MP las diagonales mayor y menor de un rombo MNPQ. Al trazar la diagonal MP dividimos al rombo en los triángulos congruentes MNP y MQP, los cuales tienen la misma superficie. El área del triángulo MNP es: A MP ON T = ( )( ) = Dd A = 4 A = Dd d D Dd =, por lo tanto, el área del rombo es: 4 Es decir, el área del rombo es el semiproducto de sus diagonales. El área del romboide puede determinarse de la siguiente manera: Trazamos los segmentos perpendiculares DE = FB = h a los lados paralelos DC y AB. Los triángulos ADE y FBC son congruentes, por lo que si se hace coincidir el lado AD con BC se forma un rectángulo cuyas dimensiones son b y h. Por consiguiente el área del romboide es equivalente a la del rectángulo; es decir: A = bh 16

20 Reconoce las propiedades de los polígonos Consideremos ahora un trapecio ABCD y sean B = PQ y b = SR sus bases mayor y menor, respectivamente. Sea h la distancia entre sus lados paralelos. Si prolongamos la base menor SR hasta el punto E, de tal manera que RE = PQ y la base mayor PQ hasta el punto F, de tal manera que QF = SR, entonces el cuadrilátero PFES es un romboide, ya que los lados paralelos SE y PF son iguales. Por otra parte, el trapecio QEFR es congruente con el trapecio original PQRS, por lo que sus áreas son iguales. El área del romboide es, por lo tanto, el doble del área del trapecio; es decir, el área del trapecio es la mitad del área del romboide. Así: A = A = ( ) ( ) PQ + QF h PQ+ SRh = B+ b h ( ) Para el caso de un trapezoide en general, el área puede calcularse dividiéndolo en dos triángulos por medio de una de sus diagonales y calculando el área de cada uno de los triángulos formados, ya sea por la fórmula básica o por la fórmula de Herón. En la siguiente tabla se presentan las fórmulas para calcular el área de algunos de los cuadriláteros más usados. Figura Fórmula Ejemplo Cuadrado A = L A = (16 cm) = 56 cm Rectángulo Rombo A = bh A = ( 15cm)( 8cm) A = 40cm A = Dd 40cm 0cm 800cm A = = ( )( ) A = 400cm 17

21 B4 Romboide Trapecio A = A = bh ( ) B+ b h A = ( cm)( 8cm) A = 336cm ( 18cm + 10cm)( 15cm) ( 8cm)( 15cm) 40cm A = = = A = 10cm Tabla 4. Fórmula para calcular cuadrilátero. Los siguientes ejemplos te permitirán visualizar la aplicación de las propiedades de los cuadriláteros y el cálculo de sus áreas. 1. Verifica que las diagonales de un cuadrado son iguales y perpendiculares. Solución. Sea ABCD un cuadrado y AC y BD sus diagonales. Sea E el punto de intersección de sus diagonales. Consideremos los triángulos rectángulos ACD y CDB. Ambos son congruentes por tener dos lados homólogos iguales (AC = BD, CD = DC) y el ángulo comprendido igual (ACD = BDC = 90º). Por lo tanto, AD = BC, es decir las diagonales son iguales. Además, ambos triángulos son isósceles, por lo que los ángulos agudos de cada triángulo son iguales, pero como también son rectángulos, cada ángulo agudo mide 45º. Por otra parte, en el triángulo AEB tenemos que la suma de los ángulos internos es 180º, es decir: AEB+ BAE + ABE = 180, por lo tanto: AEB = 180 AEB = AEB = 90 Así, las diagonales son perpendiculares.. Verifica que las diagonales de un rombo son bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen. Solución. Sea ABCD un rombo, BD una de sus diagonales. En los triángulos DAB y DCB tenemos que los lados homólogos son iguales, pues: AD = BC AB = CD y 18

22 Reconoce las propiedades de los polígonos BD = DB por lo tanto, son congruentes y entonces: ABD= CBD y ADB= BDC Por lo tanto, la recta DB es bisectriz de los ángulos ABC y ADC. El mismo razonamiento se sigue para la diagonal AC. 3. En la siguiente figura, ABCD es un paralelogramo, E y H son los puntos medios de DA y CB, respectivamente, y EF es perpendicular a AD y GH perpendicular a BC. Verifica que EF = GH. Solución. Primero se demostrará que los triángulos DEF y BHG son congruentes, después lo que se pide. Puesto que EF es perpendicular a AD y GH perpendicular a BC, DEF = 90 = BHG Por otra parte, como los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales, es decir: FED= GBH Además, AD = BC por ser lados opuestos de un paralelogramo y AD = AE + ED y BC = BH + HC, pero como AE = ED y BH = HC, entonces AD = ED y BC = BH; por lo tanto: ED = BH, de donde, despejando, ED = BH. Por todo lo anterior resulta que los triángulos DEF y BHG son congruentes, por tener un lado homólogo igual e iguales sus ángulos adyacentes. Por lo tanto: EF = GH. 4. Verifica que los ángulos adyacentes de un paralelogramo son suplementarios. Solución. Sea ABCD un paralelogramo cualquiera. Puesto que es un paralelogramo, sus ángulos opuestos son iguales; es decir: A= C y B= D, y como la suma de los ángulos internos es 360º, entonces: 19

23 B4 ( )+ ( )=, de donde A B 360 A+ B= 180 ; es decir, los ángulos adyacentes de un paralelogramo son suplementarios. 5. En la siguiente figura, la diagonal AC es bisectriz de los ángulos DAB y DCB. Halla x y y. Solución. Puesto que la diagonal mostrada es una bisectriz, los ángulos 4x 5 y x + 15 son iguales; es decir: 4x 5= x+ 15 de donde, despejando la incógnita: 4x x = x = 0 0 x = x = 10 Por otra parte, los ángulos adyacentes son suplementarios, por lo que: y+ 4x 5+ x + 15 = 180 ; es decir: y+ 6x+ 10 = 180 y = 170 6x y = ( ) y = y = El trapecio de la siguiente figura es isósceles. Halla el valor de x y y. Solución. Puesto que el trapecio es isósceles, los ángulos en la base mayor son iguales, es decir: 5x 40 = 0x + 0, de donde resolviendo la ecuación, tenemos: 5x 40= x+ 0 5x x = x = x = 3 x = 0 Y como los ángulos adyacentes son suplementarios, y + 5x 40 = 180, de donde sustituyendo y despejando: 130

24 Reconoce las propiedades de los polígonos y 0 5x y = = 10 = = ( ) 7. Calcula el área de un terreno cuadrado cuya diagonal mide 5 m. Solución: Sea ABCD un cuadrado de lado x cuya diagonal AC mide 5 m, entonces, aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo ACB tenemos: x + x =( 5m) x = 65m 65m x = = 31. 5m Puesto que el área del cuadrado es A = x, el área buscada es 31.5 m. 8. Calcula el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases menor y mayor tienen medidas de 5 y 45 cm, respectivamente y un área de 55 cm. Solución. Sea ABCD un trapecio isósceles con las medidas indicadas. Puesto que el área del trapecio es 55 cm, tenemos que: ( 45cm + 5cm)h 55cm =, de donde desarrollando y despejando obtenemos: ( 55cm )=( 45cm + 5cm) h 1050cm 70cm h 1050cm h = 70cm h = 15cm = ( ) Por otra parte, como el trapecio es isósceles, al trazar segmentos perpendiculares por R y S, éstos limitan segmentos iguales x sobre la base mayor, de tal manera que: x + 5 cm + x = 45 cm, de donde: x = 45cm 5cm = 0cm x = 10cm 131

25 B4 Ahora, por el Teorema de Pitágoras al triángulo SPT, obtenemos: L = x + h L L = ( 10cm) + ( 15cm) = 100cm + 5cm L = 35cm = 5( 13) cm L = 5 13cm Por lo tanto, el perímetro es: P = ( 5 13cm)+ 45cm + 5cm P = 70cm cm P = cm ( ) Actividad Ejercicios de reafirmación. I. Completa la siguiente tabla marcando con una X el cuadrilátero que posea la propiedad indicada. Propiedad Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide Trapecio Isosc. Rect. Esc. Trapezoide 13 Diagonales iguales. Todos sus lados iguales. Lados opuestos iguales. Diagonales perpendiculares. Ángulos opuestos iguales. Sus diagonales son bisectrices. Una diagonal bisecta a la otra y viceversa. Todos sus lados desiguales.

26 Reconoce las propiedades de los polígonos Sólo los ángulos interiores congruentes. La suma de sus ángulos exteriores es 360º. Sin ángulos interiores congruentes. II. En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentra lo que se te pide. Tabla 4.3 Identificando al cuadrilátero y sus propiedades. 1. En el siguiente cuadrado, halla el valor de x.. En el paralelogramo de la figura, halla el valor de x y y. 3. En el paralelogramo de la figura, halla el valor de x y y. 4. En el rombo de la siguiente figura, calcula los valores de x y y. 133

27 B4 5. En el parelogramo de la figura, halla el valor de x y y. 6. Si ED = CE, y AD mide 16, halla el perímetro y el área del rombo. 7. Si AC = 60 cm y BC = 36 cm, halla el valor del área sombreada. 8. Sabiendo que las diagonales del cuadrilátero ABCD son perpendiculares y que miden 0 y 5 cm, calcular el área de dicho cuadrilátero. 9. Halla el área sombreada. 134

28 Reconoce las propiedades de los polígonos 10. Halla el área sombreada sabiendo que el hexágono es regular de lado Halla el área sombreada sabiendo que el hexágono es regular de lado Halla el área sombreada sabiendo que el radio OA es 0 y el lado del pentágono regular es 3.5 cm. III. Aplicando las propiedades de los cuadriláteros, en tu cuaderno resuelve los siguientes ejercicios. 1. Determina el perímetro de un rectángulo cuya superficie es 4 cm y uno de sus lados mide 3 cm.. La cuarta parte de la superficie de un cuadrado es 9 cm. Cuánto mide su lado? 3. Calcula la medida del lado de un cuadrado cuyo perímetro es 64 cm. 4. Si un cuadrado de 48 cm de perímetro disminuye su lado en 4 cm, cuánto mide el área del nuevo cuadrado? 5. Si un cuadrado de lado n tiene un área de 11 m, qué área tendrá un cuadrado de lado 4n? 6. Determina el perímetro de un rectángulo cuya área es de 00 m y su largo es de 5 m. 7. Cuál es el ancho de un rectángulo que mide 16 cm de largo si su área es equivalente al de un cuadrado de 1 cm de largo? 8. Las bases de un trapecio miden 1 y 1 cm. Cuál es su área si la medida de su altura es igual a la medida de la base menor? 9. Un cuadrado tiene igual perímetro que un rectángulo de 58 cm de largo y 6 cm de ancho. Calcula el lado del cuadrado. 10. El área de un cuadrado es 64 cm. Cuál es el perímetro del triángulo equilátero construido sobre su diagonal? 11. Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuya área es 48 cm? 1. El perímetro de un rectángulo es 70 m. Si un lado es cuatro veces mayor que el otro, cuánto mide su área? 135

29 B4 13. Un papel cuadrado de lado 1 cm se dobla de modo que los cuatro vértices queden en el punto de intersección de las diagonales, cuál es el área de la nueva figura que resulta? 14. Cuál es la medida del lado del cuadrado cuya diagonal mide 1 cm? 15. Determina la diagonal del rectángulo cuyos lados miden 5 y 1 cm. 16. Determina la suma de las diagonales del cuadrado cuyo lado mide 8 cm. 17. En un rombo, una diagonal es el doble de la otra. Determina el perímetro y el área del rombo sabiendo que la diagonal menor mide 6 cm. 18. Dos cuadrados de 80 cm de perímetro se unen de manera que forman un rectángulo. Determina la medida de la diagonal del rectángulo formado. Triangulación de polígonos Existen muchas situaciones donde es necesario calcular el área de un polígono irregular, y para ello podemos aplicar un método llamado triangulación de polígonos, que consiste en trazar, a partir de un vértice, las diagonales del polígono para dividirlo en triángulos, como se muestra en la siguiente figura. En este caso, el área del polígono es la suma de las áreas de los triángulos I, II y III, es decir: A AC h ADh AD h = ( ) + ( ) + ( ) También puede usarse la fórmula de Herón para calcular el área de cada uno de los triángulos. A continuación veremos algunos ejemplos de este proceso. 1. Calcula el área del siguiente cuadrilátero sabiendo que los ángulos DAB y DCB son rectos. Solución. Al trazar la diagonal DB, el cuadrilátero ABCD queda dividido en dos triángulos rectángulos, pues los ángulos DAB y DCB son rectos. Entonces, el área del triángulo DAB es: ( ) = 4cm 14cm = 168 A 1 cm y el área del triángulo DCB es: ( ) = 30cm 16cm = 40 A cm 136

30 Reconoce las propiedades de los polígonos Por lo tanto, el área del cuadrilátero es la suma de las dos áreas, es decir: A = 168 cm + 40 cm = 408 cm.. El señor Vidal quiere comprar el terreno poligonal representado en la siguiente figura. El costo por metro cuadrado es $100.00, pero sólo dispone de $ 180, Le alcanza para comprar el terreno?, cuánto le sobra o le falta? Solución: El área del triángulo I es: 1m 5m 60m = ( )( ) = =30 A 1 La hipotenusa del triángulo I es la altura, h, del triángulo II, entonces: h = ( ) + ( ) = + = = m 1m 5m 144m 5m 169m 13m Por lo tanto, el área del triángulo II es: A = ( m )( m ) m = =5m El área del triángulo III es igual a la del triángulo II, es decir: A 3 = 5m Entonces, el área del terreno es: A = 30m + 5m + 5m = 134m Si el costo del terreno es: C = ( 134)( $ 100)= $ 160, 800, por lo que al señor Vidal le alcanza lo que tiene y le sobran $19,00. Actividad Ejercicios de reafirmación. Aplicando las características y propiedades de los polígonos regulares, calcula lo que se te indica. 1. Considera un polígono regular de 9 lados. a) Calcula el valor de su ángulo central. b) La suma de sus ángulos interiores. c) El número de diagonales. 137

31 B4. Encuentra el ángulo central de un polígono regular que tiene 0 diagonales. 3. Calcula el área de un hexágono regular cuyo perímetro es 48 cm. 4. Calcula la suma de los ángulos interiores de un polígono cuyo ángulo central es 30º. 5. Calcula el área de un pentágono regular con un radio de 0 cm y 3.5 cm de lado. 6. Calcula el número de diagonales de un polígono que tiene un ángulo interno de 10º. 7. Calcula el valor del ángulo central de un polígono cuya suma de ángulos interiores es 1,60º. 8. Calcula el área de un hexágono cuya apotema es Autoevaluación I. Coloca dentro del paréntesis la letra que corresponda al elemento indicado. 1. ( ) Ángulo central de un polígono.. ( ) Ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación de otro. 3. ( ) Punto donde se unen dos lados de un polígono. 4. ( ) Segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono. 5. ( ) Segmento que une el centro de un polígono con el punto medio de cualquier lado. 6. ( ) Lado de un polígono. 7. ( ) Ángulo formado por dos lados de un polígono. 8. ( ) Radio de un polígono. II. Subraya la respuesta correcta. 1. Es un paralelogramo con dos diagonales iguales y perpendiculares: a) Rombo b) Rectángulo c) Cuadrado d) Romboide. Es un paralelogramo con 4 lados iguales y diagonales diferentes: a) Rombo b) Rectángulo c) Cuadrado d) Romboide 3. Polígono regular con 8 lados: a) Pentágono b) Octágono c) Hexágono d) Decágono 4. Es un polígono con 54 diagonales. a) Pentágono b) Octágono c) Heptágono d) Dodecágono 138

32 Reconoce las propiedades de los polígonos 5. Es el polígono cuyo ángulo central es el doble de su ángulo interno: a) Heptágono b) Octágono c) Hexágono d) Dodecágono 6. El ángulo central de un icoságono (0 lados) es: a) 0º b) 18º c) 30º d) 36º 7. Un decágono tiene diagonales. a) 35 b) 40 c) 45 d) El área de un hexágono regular de 1 cm de lado es: a) 16 3 b) c) 54 3 d) 43 3 III. Resuelve los siguientes problemas. 1. Considera un polígono regular de 18 lados. a) Calcula el valor de su ángulo central. b) Calcula el valor de su ángulo interior. c) Calcula la suma de sus ángulos interiores. d) Calcula el valor de su ángulo exterior. e) Calcula el número de diagonales que pueden trazarse en él.. Encuentra el valor de los ángulos y de los lados en el siguiente paralelogramo. 3. Calcula la superficie de un terreno como el mostrado en la siguiente figura. 139

33 B4 4. Calcula el área de los siguientes polígonos irregulares. a) b) c) Evaluación formativa Resuelve los siguientes problemas. Se va a construir una fuente hexagonal de m de lado. Se necesita levantar un muro de tabique hasta una altura de 60 cm para darle forma, y se va a forrar el piso y su interior con azulejo que cuesta $ 80 m. Si el albañil cobra $ 60 m de muro, cuánto costará la fuente? En su testamento, el señor Ortiz repartió un terreno como el de la figura y su fortuna ($ 58,000) entre sus tres hijos, Beto, Sonia y Julio. El precio del terreno es de $ 500 m. El terreno y la fortuna deben dividirse de tal manera que a quien le toque más terreno le toque menos dinero y viceversa, pero que a los tres le corresponda la misma cantidad. A quien le toca más terreno?, a quien le toca más dinero? Cuánto dinero le toca a Julio? En total, cuál es la cantidad de dinero que le corresponde a cada quien? 140

34 Reconoce las propiedades de los polígonos ESCALA DE RANGO Nombre del alumno: Escala de valoración: 0 Nulo 1 Deficiente Aceptable 3 Satisfactorio Aspectos observables Sí No Estimación Determina la superficie de cada terreno. Determina a quién le corresponde menos dinero. Determina lo que le toca a Beto de la fortuna. Determina lo que le toca a Sonia de la fortuna. Determina lo que le toca a Julio de la fortuna. Determina lo que le toca en total a cada uno. OBSERVACIONES: Nombre de quien revisó: Total 100 TOTAL: Cal = =