Unidad I. Tema: Poligonos. Mtra. Claudia García Pérez. M. en C. Juan Adolfo Álvarez Martínez

Transcripción

1 Unidad I Tema: Poligonos Mtra. Claudia García Pérez M. en C. Juan Adolfo Álvarez Martínez 1

2 PRESENTACIÓN Todo a nuestro alrededor son figuras geométricas, círculos: los platos en los que comemos, cucharas, cuadros colgados en la pared, globos, logotipos; cilindros: el tambor del niño que toca en la banda de guerra, el rollo de papel que se encuentra en la cocina, la caja de los chocolates; esfera: las naranjas de los fruteros, los balines de los durómetros que permiten tomar la dureza a las piezas; otras figuras: el conjunto de estrellas en el cielo que forman figuras, los satélites, los planetas, etc. Las figuras geométricas tienen diferentes formas, tales como: triángulos, rectángulos, pentágonos, hexágonos, etc. También pueden ser planas o con volumen: triángulo y pirámide, por poner un ejemplo. Todas las figuras tienen componentes: lados, ángulos y vértices. Es importante conocer sus nombres y cómo calcular su área y volumen ya que al estar presentes en cualquier ámbito de la vida, es necesario saber todo sobre de ellas. Un caso sencillo en donde podemos aplicar el tema de los polígonos es por ejemplo: si una persona quisiera decorar con listón el contorno de un cuadro, cuánto tendría que comprar del material? Primero debe saber las medidas de los lados del cuadro, para que al sumar todos los lados, obtenga el perímetro. Supongamos que es un rectángulo que tiene de largo 25 cm. y 10 cm. de alto. Por lo tanto, el perímetro es 70 cm. Quiere decir que la persona debe comprar 70 cm de listón. 2

3 Conceptos. Un polígono es la porción de plano limitada por una curva cerrada, llamada línea poligonal. Tipos de polígonos Convexo. El polígono es convexo cuando está formado por una poligonal convexa. Figura 1 Cóncavo. El polígono es cóncavo si está formado por una poligonal cóncava. Figura 2 3

4 Ángulos Los ángulos internos o interiores de un polígono son los formados por cada dos lados consecutivos. Los ángulos exteriores o externos de un polígono son los ángulos adyacentes a los interiores obtenidos prolongando los lados en un mismo sentido. A continuación se representan los ángulos en el siguiente polígono: Figura 3 4

5 Partiendo de la figura 3, se tiene que: Los lados del polígono son los lados de la poligonal: AB, BC, CD, etc. El número de lados del polígono es igual al número de vértices y de ángulos El contorno es la línea poligonal que limita al polígono El perímetro es la longitud de su contorno, es decir, la suma de sus lados: Perímetro = : AB + BC + CD + DE + EF + FA Polígono regular Es el polígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales, esto es, es equilátero y equiángulo. Un ejemplo es el de la figura 1. Polígonos de acuerdo al número de lados Los polígonos reciben un nombre en base al número de lados que tengan, por ejemplo: el de menor número de lados es el triángulo. Número de lados Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho Nueve Diez Once Doce Quince Nombre Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Eptágono Octágono Eneágono Decágono Endecágono Dodecágono Pentedecágono 5

6 Triángulos Definición. Es la porción de plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos. Figura 4 Partiendo de la figura 4, se tiene que: o Los puntos de intersección son los vértices del triángulo: A, B y C. o Los segmentos determinados, son los lados del triángulo: a, b y c. o Los lados forman los ángulos interiores que se nombran por las letras de los vértices. El lado opuesto a un ángulo, se nombra con la misma letra pero minúscula. o Un triángulo tiene elementos: 3 ángulos, 3 lados y 3 vértices. o Se llama perímetro de un triángulo a la suma de sus 3 lados: AB + BC + CA = a + b + c Clasificación 6

7 A continuación se indica la descripción de cada triángulo: Es el que tiene dos lados iguales. El lado desigual se suele llamar base del triángulo. AB = BC ISOSCELES Es el que tiene sus tres lados iguales. Los tres ángulos también son iguales. AB = BC = CA EQUILATERO Es el que tiene sus tres lados diferentes. Sus ángulos son también 7

8 desiguales. AB = BC = CA ESCALENO Es el que tiene los tres ángulos agudos. ACUTÁNGULO Es el que tiene un ángulo obtuso. OBTUSÁNGULO Es el que tiene un ángulo recto. Los lados del triángulo rectángulo reciben nombres especiales: Catetos, son los lados que forman el ángulo recto: AB y AC; Hipotenusa, es el lado opuesto al ángulo recto: BC. RECTÁNGULO 8

9 Rectas y Puntos notables en los triángulos MEDIANA Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto: AR, BP y CQ. Hay tres medianas, una correspondiente a cada lado. Se designan con la letra m y un subíndice que indica el lado: AR = m a BP = m b CQ = m c El punto de intersección, G, de las tres medianas se llama baricentro. ALTURA Es la perpendicular trazada desde un vértice, al lado opuesto o a su prolongación: AM, BP y CN. Hay tres alturas, una correspondiente a cada lado. Se designan con la letra h y un subíndice que indica el lado: El punto O donde concurren las tres alturas se llama ortocentro. AM = h a 9

10 BP = h b CN = h c BISECTRIZ Es la recta notable que corresponde a la bisectriz de un ángulo interior. Consecuentemente hay tres bisectrices, una para cada ángulo, que se nombran generalmente con letras griegas: α (alfa), β (beta) y γ (gamma). 1 = 2 3 = 4 5 = 6 El punto I donde concurren las tres bisectrices, se llama incentro. MEDIATRIZ Es la perpendicular en el punto medio de cada lado. Hay tres mediatrices que se denominan con la letra M y un subíndice que indica el lado. KS = M a KU = M b KT = M c El punto K de intersección de las tres mediatrices, se llama 10

11 circuncentro. Es importante mencionar que como un triangulo tiene 3 lados, entonces tendrá: 3 medianas, 3 alturas, 3 mediatrices y 3 bisectrices. Semejanza de triángulos Definición. Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados proporcionales. El signo de semejanza es ~. Si A = A, B = B y C = C y entonces ABC ~ A B C. Figura 5 Teorema de Pitágoras (demostración geométrica) Definición. El Teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (c) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (a y b, los que conforman el ángulo recto). 11

12 Figura 6 Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que: Demostración. Pitágoras demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales. Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a y b, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente. Figura 7 12

13 Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes. De la semejanza entre ABC y AHC: y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes. De la semejanza entre ABC y BHC: Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando: pero, por lo que finalmente resulta: A continuación se muestra una tabla con las formulas de áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos comunes. Perímetros, Áreas y Volúmenes Figura Perímetro Área Volumen Triángulo P = a+b+c A= - Triángulo Rectángulo P = a+b+c A= - Cuadrado P = 4a A = - Rectángulo P = 2(a+b) A = ba - 13

14 Paralelogramo cualquiera P = 2(a+b) A = bh - Pentágono P = nl A = - Hexágono P = nl A = - Heptágono P = nl A = - Octágono P = nl A = - Eneágono P = nl A = - Decágono P = nl A = - Círculo P = P = A = A = - Tetraedro - A = V = Hexaedro - A = 6 V = Octaedro - A = V = Dodecaedro - A = V = Pirámide Regular - V = Cilindro Circular - V = + 14

15 Recto Esfera A = Ejemplos prácticos. En los siguientes casos se muestran algunas aplicaciones sobre las figuras planas y cuerpos geométricos, observa la importancia del uso de formulas para resolver los ejemplos. Caso 1. La imagen representa el diseño de una alberca que tiene una longitud de 12 metros de largo, 8 de ancho y 1.4 metros de fondo, asi como una parte de circunferecia de radio 0.6 metros. Calcula la cantidad de loseta que se requiere para recubrir el fondo de la alberca, la cantidad de azulejo requerida para forrar las paredes y el volumen de agua que almacena dicha alberca. Solución. En este caso se tiene una área de un rectángulo + área de un semicírculo. El dibujo nos indica las medidas de referencia, considerando diámetro de 1.2 mts. 15

16 El área del rectángulo es: largo X ancho= 12X 8= 96 m 2 El área del semicírculo es: r 2 = (3.1415)(0.6) 2 = 1.13 m 2 /2 = 0.56 m 2. El área total es: 96 m m 2 = m 2 Como el fondo mide 1.4 mts, entonces el volumen es: área total X fondo Volumen= (96.56 m 2 )(1.4m)= m 3. La cantidad de loseta para el fondo es: área total = m 2 El área de las paredes es: Largo x fondo x 2 paredes= (12 m)(1.4m)(2)= 33.6 mts 2. La pared que no tiene sección curva es: Ancho x fondo= (8 m)(1.4 m) = 11.2 m 2 Los 2 tramos rectos que están en la sección curva son de (3.4 m) x( 1.4m) = 4.76 m 2 El perímetro de La circunferencia es: 2 r =( 2)(3.1415)(0.6 m)=3.76 m Como es la mitad entonces tenemos: 1.88 m y el área de esa sección es: (1.88 m)(1.4m)=2.63 m 2 Por lo que la cantidad de material para las paredes laterales es: 33.6 mts m m m 2 = 52.2 m 2. 16

17 Caso 2. La imagen representa la fachada de una casa la cual está construida con dos tipos de material, mármol blanco y tabique rojo. Las dimensiones se muestran en la imagen, las ventanas grandes son cuadrados de 1.2 m de longitud, y las pequeñas, cuadrados de 0.6 m de lado. Calcule la cantidad de mármol que se requiere, y la cantidad de metros cuadrados necesarios para cubrir con tabique y la cantidad de cristal para las ventanas. En este caso el área de cada una de las ventanas es: Ventana grande: (1.2 m) 2 = 1.44 m 2 Ventana pequeña: (0.6 m) 2 = 0.36 m 2 Total de cristal para ventanas= área 6 ventanas grandes + área 3 ventanas pequeñas= (6x1.44 m 2 ) + (3x0.36 m 2 ) = 9.72 m 2 Luego para material de mármol en planta baja es: Área planta baja= (11 m)(1.8 m) = 19.8 m 2 17

18 Pero como la planta baja tiene 2 ventanas grandes y una pequeña, se restan estas áreas al total del área de mármol de la planta baja; esto es: 19.8 m 2 (2X 1.44 m m 2 ) = m 2 de mármol para planta baja Área planta alta= (7m)(2.2 m)= 15.4 m 2 la cual restamos el area de 2 ventanas grandes y 2 pequeñas, quedando: 15.4 m 2 (2x1.44 m 2 + 2x 0.36 m 2 )= 11.8 m 2 Por lo que la cantidad total de mármol requerido es: m m 2 = m 2 En cuanto al tabique se tiene: para área de la pared en la planta baja: = (13mx 0.7 m) = 9.1 m 2. La parte alta se tiene: (4m x2.2m)= 8.8 m 2, pero como tiene 2 ventanas, restamos estas áreas quedando: 8.8 m 2 (2x1.44m 2 )= 5.92 m 2. Finalmente la cantidad total de tabique es: 9.1 m m 2 = m 2 RESUMEN Se ha visto que los polígonos al ser una porción de plano limitada por líneas rectas, tiene como componentes: lados, ángulos (internos o externos) y perímetro. 18

19 Los triángulos se clasifican en base a los ángulos (acutángulo, obtusángulo y rectángulo) y lados (isósceles, equilátero y escaleno). Con el teorema de Pitágoras se puede calcular el valor de alguno de los lados de un triángulo, partiendo de dos de ellos que se conozcan. El uso de estos conceptos permite resolver problemas como los planteados anteriormente. REFERENCIAS Baldor, J. A. Geometría Plan y del Espacio con una Introducción a la Trigonometría. Publicaciones Cultural, S. A. México, Pérez M. Matemáticas 2. Alfaomega. México