SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

Transcripción

1 Pág. 1 Página 160 PRCTIC Ángulos 1 Calcula la medida de X en cada figura: a) ' b) a) b) ^ 40 0' X^ ^ ^ X^ ^ 53 Calcula la medida de X en cada caso: a) ^ ^ 140 ^ 150 b) ^ X^ ^ c) ^ 33 ^ 70 X^ ^ ^ 115 X^ d) ^ X^ ^ 5 ^ ^ ^ ^ 10 ^ 18 a) ^ ^' X^ ^ 140 ^ 150 ^' ^ ' ' X 180 ( ) 110 b) X c) ^ 33 ^ 70 X^ ' ^ ^' ^ X 180 ( ) 37 d) ^ X^ ^ ^ ^ 10 ^ 18 X

2 Pág. 3 Calcula los ángulos desconocidos: a) Z^ Y^ X^ 40 b) Q^ P^ 140 C^ ^ M^ N^ ^ a) X 40 ; Y 90 X Y Z 180 Y b) ; 140 ; C 40 Q 40 ; P 140 ; M 40 ; N Verdadero o falso? ^ C^ ^ D^ E^ F^ G^ Y^ H^ ^ J a) D + E b) D + + F 180 c) 180 d) 180 H e) G 180 ( E + Y ) f) J Todas son verdaderas. 5 ESTÁ RESUELTO EN EL LIRO 6 Calcula los ángulos X, Y, Z en los siguientes polígonos regulares: a) Y^ b) Y^ Z^ c) X^ Z^ d) Z^ X^ Z^ Y^ Y^ X^ X^

3 Pág. 3 a) X 10 ; Y 180 X Z Y b) X 90 ; Y 180 X Z c) X 60 ; Y 180 X Z d) X 45 ; Y 180 X Z Y Teorema de Pitágoras 7 En un triángulo rectángulo, los catetos miden 4,5 m y 6 m; en otro triángulo rectángulo, un cateto mide 7, m, y la hipotenusa 7,5 m. Cuál de los dos tiene mayor perímetro? 4,5 m 7, m El primero tiene mayor perímetro. Página m y 7,5 m 4, , ,5 56,5 7,5 m Perímetro 7,5 + 4, m 7,5 y + 7, 56,5 y + 51,84 y 56,5 51,84 y 4,41 y 4,41,1 m Perímetro 7,5 + 7, +,1 16,8 m 8 Calcula el valor de en estos polígonos: a) b)

4 Pág. 4 c) d) a) 5 +, ,5 5 5,5,5 5 6,5 18,75 18,75 4,33 b) ,71 c), , ,5,5 8,5 4,7 d) ,49 9 Calcula en cada caso: a) b) c) d) 45 5 e) 10

5 Pág. 5 a) () ,46 3 b) ,93 c) ,66 d) ,07 e) ,07 Otra forma: ,07 10 La diagonal de un rectángulo de lados 5 cm y 1 cm es igual al lado de un cuadrado. Cuánto mide la diagonal de ese cuadrado? Hallamos la longitud de la diagonal del rectángulo: 5 cm d 1 cm 5 cm d d d cm

6 17 Pág. 6 Hallamos la longitud de la diagonal del cuadrado: D 13 cm 13 cm D D D ,3 11 Clasifica en rectángulos, acutángulos u obtusángulos los triángulos de lados: a) 5 m, 6 m y 7 m. b) 13 m, 15 m y 0 m. c) 45 m, 7 m y 36 m. d) 35 m, 8 m y 46 m. a) a + b c 7 49 a + b > c Triángulo acutángulo b) a + b c a + b < c Triángulo obtusángulo c) a + b c a + b c Triángulo rectángulo d) a + b c a + b < c Triángulo obtusángulo 1 Una escalera de 5 m de largo está apoyada en la pared. Su etremo inferior está a 1, m de la misma. Qué altura alcanza su etremo superior? Llamamos a la altura que alcanza: 5 m 5 + 1, 5 + 1,44 5 1,44 3,56 3,56 4,85 1, m 13 La diagonal de un rectángulo mide 10 cm, y uno de los lados, 6 cm. Calcula su perímetro. Llamamos al lado desconocido: cm 10 cm 6 cm Perímetro

7 Pág cm 14 cm 15 cm 5 cm 3 cm a) Calcula en cada uno de estos trapecios. b) Halla la longitud de sus diagonales. Hallamos el valor de en el primer trapecio: (5 ) 8 17 cm 5 5 cm ± ± 900 Hallamos la longitud de sus diagonales: 50 ± (no vale) 10 cm 10 cm d d d 164 1,81 D 5 cm D D 689 6,5 Hallamos el valor de en el segundo trapecio: D 14 cm C 15 cm 3 cm 9 cm : 9 cm Hallamos la longitud de sus diagonales (como es un trapecio isósceles, las dos diagonales miden lo mismo): 15 cm 9 cm 14 cm 1 cm d 3 cm 3 cm 15 cm d d d 673 5,94

8 Pág Este pentágono se ha formado haciendo coincidir la base mayor de un trapecio isósceles con la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles. Halla el perímetro del pentágono. 1 cm 4 cm 1 cm 4 cm 7 1 cm 7 6 cm y y 6 cm Hallamos e y: cm 6 y + y 676 y y y ,38 El perímetro será: P y ,76 98,76 cm 16 En un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 3 m, calcula: a) La longitud de sus medianas. b) El radio de la circunferencia inscrita. c) El radio de la circunferencia circunscrita. En los triángulos equiláteros, las medianas, alturas, mediatrices y bisectrices coinciden h Calculamos la longitud de su altura: (10 3 ) h + (5 3 ) 300 h + 75 h h 5 15 m a) Como el triángulo es equilátero, las medianas coinciden con las alturas; por tanto, miden 15 m. b) Sabemos que el baricentro de un triángulo está a h de distancia del vértice y a 1 h h de G distancia del lado (como el triángulo es equilátero, las medianas coinciden con las alturas). 1 h Como el triángulo es equilátero, el incentro coincide con el baricentro; por tanto, el radio de la circunferencia inscrita es: r 1 h m 3 3

9 Pág. 9 c) Con el mismo razonamiento del apartado b); y, como el circuncentro coincide también con el baricentro en un triángulo equilátero, el radio de la circunferencia circunscrita es: R h m a) Dibuja la mediana que sale de C y halla su longitud. b) Dibuja las mediatrices y halla el radio de la circunferencia circunscrita. 0 cm c) Cuál es el ortocentro de ese triángulo? 1 cm C a) 0 cm 10 m 1 cm C m m m 541 3,6 m 3,6 b) 0 cm 1 cm C Las mediatrices se cortan en el circuncentro; que, en este caso, es el punto medio de la hipotenusa. Llamamos a la longitud de la hipotenusa: ,5 El radio de la circunferencia circunscrita mide 14,5. c) El vértice (el vértice opuesto a la hipotenusa). Circunferencia 18 a) Calcula el radio de esta circunferencia. b) Cuál será la longitud de una cuerda cuya distancia al centro es,9 cm? 7, cm 1,5 cm O a) 3,6 cm R 1,5 cm O R 3,6 + 1,5 1,96 +,5 15,1 R 15,1 3,9 cm

10 Pág. 10 b),9 cm 3,9 cm 3,9 +,9 15,1 + 8,41 15,1 8,41 6,8 6,8,61 cm Longitud de la cuerda 5, cm 19 Traza una circunferencia de 5 cm de radio y señala en ella un punto P. a) Cuántas cuerdas puedes trazar que tengan un etremo en P? Cuánto mide la de longitud máima? b) Cuántas cuerdas hay que midan 5 cm y que tengan un etremo en P? Halla la distancia de una de esas cuerdas al centro de la circunferencia. a) P Se pueden trazar infinitas cuerdas con etremo en el punto P. 5 cm c 1 c c 3 c 4 La cuerda de longitud máima es la que pasa por el centro de la circunferencia, es decir, el diámetro. Por tanto, mide 10 cm. b) Hay dos cuerdas que midan 5 cm y que tengan un etremo en P: 5 cm O c 1 d P,5 cm c 5 d +,5 5 d + 6,5 d 5 6,5 d 18,75 d 18,75 4,33 cm Página 16 0 En una circunferencia de 15 cm de radio, traza una cuerda a 1 cm del centro. a) Cuál es la longitud de? b) Cuántas cuerdas de la misma longitud que hay en esa circunferencia? Cuántas hay que sean paralelas a? Cuántas hay paralelas y de la misma longitud que? a) 1 cm cm cm 1

11 Pág. 11 b) Hay infinitas cuerdas de la misma longitud que. Hay infinitas cuerdas paralelas a. Pero solo hay una cuerda de la misma longitud y paralela a (a 1 cm del centro de la circunferencia). ' ' 1 a) Desde un punto P que dista 9 cm del centro de una circunferencia de radio 0 cm, se traza una tangente. Calcula la distancia de P al punto de tangencia. b) Trazamos otra tangente desde otro punto Q, y al medir la distancia de Q al punto de tangencia obtenemos 30 cm. Cuál es la distancia de Q al centro de la circunferencia? a) d 0 cm 9 d d P 9 cm O d d cm b) 30 cm 0 cm Q O ,06 cm Cuánto miden los ángulos P, Q y R si O es un ángulo recto? P P, Q y R son ángulos inscritos en una circunferencia con un arco de 90. Por tanto, los tres ángulos miden la mitad de 90 : R O Q P Q R 45 3 En un círculo de 5 cm de diámetro se traza una cuerda a 10 cm del centro. Halla el área del cuadrilátero que se forma uniendo los etremos de la cuerda con los del diámetro paralelo a ella. Se forma un trapecio. Para hallar la base menor, utilizamos el teorema de Pitágoras: 10 cm cm cm 4 El área del trapecio es: (b + b' ) h (5 + 48) cm 6 cm

12 Pág. 1 4 El triángulo C es isósceles, C. Cuánto miden los ángulos de ese triángulo? El ángulo es un ángulo inscrito en la circunferencia con arco 88. Entonces, Por otra parte, C por ser un triángulo isósceles. C O C C Los ángulos del triángulo son: 44, 68, C 68 5 Dibuja un triángulo C inscrito en una circunferencia, ) de modo que los vértices y sean etremos de un diámetro y el arco C sea la seta parte de la circunferencia. Cuánto miden los ángulos de ese triángulo? C Como C es un ángulo inscrito en la circunferencia y el lado es un diámetro, el ángulo C es recto, es decir: C 90. Como C ) 60, entonces: De esta figura conocemos: Radio: 0 cm. O O 40 cm. Q O es tangente a la circunferencia en P. P Q es tangente a la circunferencia en Q. Calcula el perímetro y el área de los triángulos Q y O. Hallamos el valor de : 0 cm O 40 cm Q P 40 cm 0 cm ,64 cm 34,64 69, Triángulo Q: Perímetro , ,9 cm Q Q 60 34,64 Área 1 039, cm

13 Pág. 13 Triángulo O: Perímetro , OP 69,8 0 Área 69, 7 Dibuja dos circunferencias de centros O y O' tangentes eteriormente y de radios 1 y 3 cm, respectivamente. Traza una tangente común y llama M y N a los puntos de tangencia. a) Cómo son entre sí los radios OM y O'N? Qué cuadrilátero es la figura OO'NM? b) Determina el perímetro y el área del cuadrilátero OO'NM. a) Los radios OM y O'N son paralelos N entre sí. La figura OO'NM es un trapecio rectángulo. M 50 cm b) Hallamos el valor de MN : O 1 3 cm O' cm 14 Perímetro Área (b + b' ) h (3 + 18) cm 8 Dibuja dos circunferencias secantes de radios 10 cm y 17 cm. Traza una tangente común y llama M y N a los puntos de tangencia. Calcula el perímetro y el área del cuadrilátero MNOO' sabiendo que la distancia entre los centros, OO', es 5 cm. M La figura MNOO' es un trapecio rectángulo. N Hallamos el valor de MN : O 5 cm O' cm 10 cm cm 7 Perímetro cm Área (b + b' ) h ( ) 4 34 cm

14 Pág. 14 Áreas 9 Halla el área de las figuras coloreadas: a) b) 7 cm c) 4 m 3 m d) 6 m 7, m e) C 93 m H 5 m DK 3 m f) 74 m 10 m H K C 8 0 D 8 1 a) Hallamos el valor de : ,93 cm 13,86 cm Área D d 13, ,44 cm b) (3,5 ) + (3,5 ) 4,5 + 4, Área 49 cm 7 cm c) 4 m m ,71 m 16 m 4 m 16 m 74 m Área (b + b' ) h (74 + 4) 7, ,18 m d) 6 m 7, , , , m ,84 35,84 5,99 m 10 m

15 Pág. 15 Área (b + b' ) h (10 + 6) 5,99 47,9 m e) Área del triángulo C: C 93 m H 5 m 1 C H 93 5 DK 3 m 418 m H K D C Área total , ,5 m Área del triángulo CD: C DK ,5 m f) Área del cuadrado CD Área del triángulo EC D 8 E 1 C Área coloreada Página Calcula el área de las figuras coloreadas: a) E F G D C D C 17 m DC 16 m G 4,5 m EF 3, m b) E F G G 8,4 m CD 1 m D C C 8 m EF 5,6 m c) d) e) f) 10 cm 10 cm 7 cm

16 Pág. 16 a) Hallamos la altura del triángulo DC: E F G D 8 m 8 m C D C 17 m DC 16 m G 4,5 m EF 3, m m Área del triángulo DC 1 DC m Área del triángulo DE D EF 17 3, 7, m Área del triángulo C 3 C G 17 4,5 38,5 m Área total , + 38,5 185,45 m b) E Hallamos el valor de D D C + CD F G G 8,4 m CD 1 m C C 8 m EF 5,6 m m Área del triángulo ED 1 D EF 35 5,6 98 m Área del triángulo CD C DC m Área del triángulo C 3 C G 8 8,4 117,6 m Área total ,6 509,6 m c) Hallamos el valor de : 16 cm Área coloreada ,86 55,44 cm ,86 cm

17 Pág. 17 d) Hallamos la longitud del diámetro de la circunferencia (diagonal del cuadrado): r 10 cm 10 cm 00 radio de la circunferencia 00 Área del círculo 1 πr π ( ) 3,14 3, cm Área del cuadrado l cm Área coloreada cm e) Cada círculo tiene radio r cm. Área de un círculo 1 πr π 4 1,56 cm Área de los cuatro círculos ,56 50,4 cm Área del cuadrado 3 l 8 64 cm Área coloreada ,4 13,76 cm 00 4 f) Área del círculo pequeño 1 π 7 π ,86 cm Área del círculo mediano π 10 π cm Área del círculo grande 3 π 17 π ,46 cm Área coloreada ,46 153, ,6 cm Calcula: a) La superficie de la zona coloreada de rojo. b) La superficie de la zona coloreada de amarillo. c) La superficie de la zona coloreada de azul. 5 cm a) S ROJO 5 5 cm b) 5 h +,5 5 h + 6,5 5 cm h 5 6,5 18,75 h h 18,75 4,33 cm,5 cm Área de un triángulo 5 4,33 10,85 cm Área de los cuatro triángulos 4 10,85 43,3 cm S MRILLO

18 Pág. 18 c) La diagonal del cuadrado eterior es 4, ,66 cm. El lado del cuadrado eterior será: 13, , , ,978 93,3 cm 13,66 cm Área del cuadrado eterior 93,30 cm S ZUL 93,3 5 43,3 5 cm 3 Las diagonales del rombo inscrito en la elipse miden 16 cm y 30 cm. Halla el área de la parte coloreada. Área del rombo 1 D d cm Área de la elipse π a b π , ' ' Área coloreada 1 376, , 33 En una circunferencia de 56,5 cm de longitud, dibuja el cuadrado circunscrito y el cuadrado inscrito. Calcula el área y el perímetro de cada cuadrado (toma π 3,14). Hallamos el radio de la circunferencia: 9 cm O 56,5 πr r 56,5 56,5 9 cm π 6,8 Calculamos el lado del cuadrado inscrito: 1 9 cm 1 9 cm ,73 cm Área del cuadrado inscrito 16 cm Perímetro del cuadrado inscrito 4 4 1,73 50,9 cm Área del cuadrado circunscrito cm Perímetro del cuadrado circunscrito cm 34 Halla, en cada caso, el área y el perímetro de un sector circular de un círculo de 15 cm de radio y cuya amplitud es: a) 90 b) 10 c) 7 d) 153 a) P πr n + r π ,55 cm πr n π ,63 cm

19 Pág. 19 b) P π ,4 cm π ,5 cm c) P π ,84 cm π ,3 cm d) P π ,04 cm π ,6 cm 35 Calcula el área de un segmento circular de 60 de amplitud en un círculo de 1 cm de radio. El área del segmento circular se halla restando del área del sector, el área del triángulo. Área del sector: πr 60 75,4 cm Área del triángulo. Observa que es equilátero, ya que O O y O 60. ltura: h ,4 cm Área: 1 10,4 6,4 cm Área del segmento circular: 75,4 6,4 13 cm h 60 1 cm O 36 Calcula el área de un segmento circular de 90 de amplitud en un círculo de 1 de radio. Área del sector circular: π ,34 cm Área del triángulo: cm Área del segmento circular 1 54, ,34 cm

20 Pág Calcula el área de la parte coloreada de cada uno de estos cuadrados de de lado. 4 cm 4 cm Área del cuadrado 8 64 cm Uniendo los cuatro sectores circulares, tenemos un círculo de radio 4 cm. El área del círculo es: 1 πr π 4 π 16 50,4 cm Área coloreada ,4 13,76 cm Uniendo los dos sectores circulares, tenemos medio círculo, cuyo radio es la mitad de la diagonal del cuadrado. r 4 cm El radio del círculo mide: r r 3 5,66 cm Área del semicírculo 1 πr π 3 50,4 cm Área del cuadrado 8 64 cm 4 cm Área coloreada ,4 13,76 cm Uniendo los dos semicírculos, tenemos un círculo de radio 4 cm. El área coloreada será igual que en la primera figura: T 13,76 cm 1 Es un segmento circular de 90 en un círculo de de radio. El área del sector circular correspondiente ( que es 1 de 4 círculo) es: 1 π8 π 64 π 16 50,4 cm 4 4

21 Pág. 1 El área del triángulo correspondiente es: cm El área del segmento circular es: ,4 3 18,4 cm El área de es: ,4 13,76 cm Área coloreada 4 13,76 7,5 cm Tomamos un cuarto del cuadrado. es un segmento circular de 90 en un círculo de 4 cm de radio. El área π 4 4 cm π 4 1,56 cm 4 El área del triángulo correspondiente es: 4 4 El área del segmento circular es: 3 1 1,56 8 4,56 cm 4 cm del sector circular correspondiente ( que es de Área coloreada ,56 36,4 círculo ) es: El área coloreada coincide con la de la figura anterior. Por tanto, su área es T 36,4. PIENS Y RESUELVE 38 Halla el radio de un arco de 100,48 m de longitud y 7 de apertura. Calculamos la longitud de la circunferencia: l 100,48 l 50,4 m 7 Hallamos el radio: πr 50,4 m πr 50,4 m r 50,4 50,4 80 m π 6,8 Página Calcula la medida, en grados, de un arco de 31,4 cm correspondiente a una circunferencia de 471 cm de longitud. 471 cm 31,4 cm 31, El arco mide 4.

22 Pág. 40 a) Calcula la apertura del sector O. b) Halla el área de la parte sombreada como diferencia de los sectores O y OCD. a) La longitud de la circunferencia eterior completa es: π 0 15,6 cm. Por tanto: 15, , ' 10'' 15,6 33 C cm 1 cm D 0 cm O b) Área del sector O 1 πr 94,59 π 0 94,59 330,01 cm Área del sector OCD π 1 94,59 118,81 cm Área sombreada 1 330,01 118,81 11, cm 41 Cuál es el diámetro de la tubería más gruesa que se puede introducir por un agujero triangular cuyos tres lados miden 6 cm? Como el triángulo es equilátero, las bisectrices coinciden con las medianas y con las alturas, y el incentro con el baricentro. Por tanto, el diámetro de la circunferencia inscrita en el triángulo es igual a de su altura, h. 3 h 6 cm 3 cm Hallamos la altura del triángulo: 6 h h + 9 h h 7 El diámetro de la tubería más gruesa que se puede introducir por el agujero triangular es: d h 7 3,46 cm Se va a perforar un túnel por el que circulará una vagoneta de 1,5 m de ancho por 0,8 m de alta. Qué diámetro mínimo debe tener la sección del túnel? 1,5 m 0,8 m

23 Pág. 3 1,5 m r 0,75 m 0,8 m Hallamos r: r 0,8 + 0,75 0,64 + 0,565 1,05 r 1,05 1,10 m Diámetro r,0 m Debe tener un diámetro de más de,0 m. 43 Si el área del triángulo C es 9,10 cm, cuál es D C E el área del paralelogramo DE? Tomando como base del triángulo el lado, la altura del triángulo coincide con la altura del paralelogramo DE. Por tanto, el triángulo y el para- lelogramo tienen la misma base y la misma altura. sí, el área del paralelogramo será el doble del área del triángulo, es decir: 9,10 18,0 cm 44 El área de una corona circular es 0π cm, y la circunferencia interna mide 8π cm. Calcula el radio de la circunferencia eterna. Hallamos el radio de la circunferencia interna: πr 8π r 8π 4 cm R π El área de la corona circular es: 4 cm πr π 4 0π πr π 16 0π π(r 16) 0π R 16 0 R R 36 6 cm 45 La longitud de la circunferencia inscrita a un triángulo equilátero es 0 cm. a) Cuánto mide la circunferencia circunscrita? b) Cuál es el perímetro del triángulo? a) Como el triángulo es equilátero, las bisectrices, mediatrices, medianas y alturas coinciden (el R incentro, el circuncentro, el baricentro y el ortocentro coinciden). El radio de la circunferencia circunscrita es el doble del radio de la cir- r cunferencia inscrita. Por tanto, la longitud de la circunferencia circunscrita también es el doble: L πr π (r) (πr) 0 40 cm b) Calculamos el radio de la circunferencia inscrita, r, para hallar la altura del triángulo: πr 0 cm r 0 0 3,1 π 6,8

24 Pág. 4 ltura del triángulo h 3r 3 3,18 9,54 cm Hallamos el lado del triángulo. h () + h , , , ,337 30,337 5,51 cm Perímetro del triángulo 3 11,0 33,06 cm Lado 5,51 11,0 cm 46 La superficie del círculo inscrito a un cuadrado es de 1,56 cm. Cuál es la superficie del cuadrado? r r El lado del cuadrado es igual al diámetro del círculo. Si llamamos r al radio del círculo, el lado del cuadrado será r. r El área del cuadrado es: 1 (r) 4r El área del círculo es: πr 1,56 r 1,56 4 π Por tanto, el área del cuadrado será: 4r cm 47 Una antena está sujeta por 4 tirantes de cable. El etremo superior de cada tirante se sujeta a la antena a una altura de 40 m. El etremo inferior está amarrado al suelo a una distancia de 30 m de la base. Cuántos metros de cable se han utilizado? 40 m 30 m 30 m La longitud de uno de los cables es: m Como hay 4 cables iguales, entonces, se han utilizado: m de cable.

25 Pág Calcula: a) La longitud de PT. b) El área de la parte coloreada. T 60 O 16 cm P T 60 O 16 cm P a) Llamamos PT : ,86 cm b) El área del triángulo OPT es: ,86 55,44 cm El área del sector circular es: πr 60 π ,49 cm Área coloreada 1 55,44 33,49 1,95 cm 49 Los radios de dos circunferencias son r 1 8m y r 1 m. La distancia entre sus centros es 5 m. Halla las longitudes de los segmentos de tangente común eterna e interna. 8 m 5 m 8 m 1 m Longitud del segmento de tangente común eterna: ,68 m 8 m 1 m 5 m y y 1 m Longitud del segmento de tangente común interna: 5 y y y y 5 15 m 50 El segmento de la tangente común eterior de dos circunferencias mide 0 cm, y sus radios son r 1 11 cm y r 17 cm. verigua si las circunferencias son secantes o eteriores.

26 Pág. 6 O d O' Hallamos la distancia, d, entre los centros de las circunferencias: d d 436 0,8 La suma de las longitudes de los radios es: r 1 + r > 0,8 Por tanto, las circunferencias son secantes. 17 m 11 m 0 m 0 m 11 m 51 Calcula el área del triángulo curvilíneo comprendido entre tres circunferencias tangentes de radio 5 cm. El triángulo dibujado en rojo es equilátero, luego cada sector circular tiene una amplitud de 60 y radio 5 cm. Área de un sector 1 π ,0 Hallamos la altura del triángulo y calculamos su área: 10 h h cm 10 cm h h h 75 8,66 cm 5 cm 5 cm Área del triángulo 10 8,66 43,3 cm Área del triángulo curvilíneo ,3 13,08 43,3 39,4 4,06 cm 5 Cierta finca tiene la forma y dimensiones indicadas en la figura. Calcula su área. 40 m 40 m 5 m 1 50 m h 30 m 40 m 5 m 0 m 40 m 40 m 50 m Hallamos el área del triángulo : 40 h h m 40 m 0 m h h , m Área , 780,5 m

27 17 Pág. 7 Hallamos el área del triángulo : 30 m 0 m h m 0 h + 30 h + (40 ) h 400 h 900 (40 ) ( ) ,75 m 80 h ,75 10,9375 h 10, ,5 m Área 40 14,5 90,4 m Área total ,5 + 90, ,9 m 53 El perímetro de este rectángulo es 96 m, y la base mide 1 m más que la altura. Halla el área de la parte coloreada. (P y Q son los puntos medios de los lados y D, respectivamente). Q D P C P Perímetro ( + + 1) ( + 1) Q D + 1 C m m Área del rectángulo CD 1 DC C m Área del triángulo PC P C m Área del triángulo QDC 3 DC QD m Área coloreada m 54 Observando esta figura, halla: D C a) El área del triángulo C. b) La longitud del segmento F (altura sobre la hipotenusa del triángulo C). c) La longitud del segmento EF. E F 0 cm 15 cm

28 Pág. 8 Área del triángulo C: 1 C Longitud del segmento C : C Longitud del segmento F: Área del triángulo C 1 C F F F 1 Longitud del segmento EF: E FC y 15 y y y 81 y 81 9 EF C E FC Página Calcula el área de un octógono regular de de lado. Hallamos el valor de : ,66 cm Área del triangulito: cm Área del cuadrado: (8 + ) (8 + 5,66) 373,6 cm Área del octógono , , ,6 cm 56 Prueba que el área de la zona coloreada en azul es igual a la de la zona coloreada en rojo. Tomamos l como lado del cuadrado. Calculamos el área de una de las cuatro zonas azules: l l l Área del triángulo T l l l Área del sector S π l 90 π l

29 Pág. 9 Área sombreada S T π l l l ( π 1) Hay cuatro zonas como esta el área de color azul es: 4l ( π 1) Calculamos el área de una de las cuatro zonas rojas: Área del triángulo T l l l l Área del sector S π l 90 π l l 4 Área sombreada S T π l π ( 1) Hay ocho zonas como esta el área de color rojo es: 8 π ( 1) ( 4l π 1) l Vemos que las áreas de ambos colores coinciden. 4 l l REFLEXION SORE L TEORÍ 57 Qué se puede afirmar de un triángulo si uno de los lados coincide con el diámetro de su circunferencia circunscrita? Que es un triángulo rectángulo. 58 Dónde ha de perforarse un pozo para que esté a la misma distancia de las tres casas? Eplica qué harías para solucionar el problema. El pozo lo perforaríamos en el circuncentro, que es el punto que se encuentra a igual distancia de los tres vértices del triángulo formado por las tres casas. 59 Investiga. Qué condición ha de cumplir un triángulo para contener a su circuncentro? Y para que este sea eterior al triángulo? (Empieza probando qué ocurre con los triángulos rectángulos). Un triángulo acutángulo tiene su circuncentro en su interior. Un triángulo rectángulo tiene su circuncentro en la hipotenusa. El circuncentro es eterior si el triángulo es obtusángulo.

30 Pág Justifica por qué los triángulos M y CDM tienen los ángulos iguales. Cómo son esos triángulos? Como CD y D tienen el mismo arco, entonces C. nálogamente, C y CD M C tienen el mismo arco. Por lo tanto: D D demás, M es un punto común a los dos triángulos y crea dos ángulos opuestos por el vértice. Por tanto son iguales. Entonces M y CDM son dos triángulos con los ángulos iguales. mbos triángulos son semejantes. 61 a) Señala en tu cuaderno dos puntos cualesquiera y y traza varias circunferencias de distinto radio que pasen por y por. b) Cuántas posibilidades hay? c) Dónde se encuentran los centros de esas circunferencias? a) b) Hay infinitas posibilidades. c) Los centros se encuentran en la mediatriz del segmento. 6 Señala en tu cuaderno un punto y traza varias circunferencias de radio 3 cm que pasen por. Qué figura forman los centros? Los centros de estas circunferencias forman otra circunferencia, de radio 3 cm, cuyo centro está en el punto.

31 Pág Traza dos rectas que se corten y dibuja varias circunferencias tangentes a esas rectas. Dónde están los centros de esas circunferencias? R r Los centros de estas circunferencias se encuentran en las bisectrices de los ángulos formados por las rectas. 64, y C son tres puntos no alineados. Dibuja una circunferencia que pase por, y C. Hay más de una posibilidad? C Solo hay una posibilidad de trazar una circunferencia que pase por tres puntos no alineados. El centro de la circunferencia es el punto de corte de la mediatriz del segmento con la mediatriz del segmento C. 65 Traza tres rectas que se corten dos a dos y dibuja una circunferencia que sea tangente a las tres. Es cierto que eisten cuatro posibilidades? Hay cuatro posibilidades.

32 Pág Comprueba que si m es un número cualquiera mayor que 1, los números m, m 1 y m + 1 son una terna pitagórica. a, b y c son una terna pitagórica cuando a +b c. Tenemos que probar que m + ( ) ( ). Veámoslo: m 1 m + ( ) m + + m 4 + m + 1 m ( + 1 ) Dando valores a m, podemos obtener ejemplos de ternas pitagóricas: m (, 3 ) y 5 m 4 m m 1 ; m 3 (3, 4 y 5), 4m 4 m + 1 m 4 m PROFUNDIZ 67 El cuadrilátero CD está inscrito en una circunferencia. Observa este razonamiento: ) ) D C, CD ) C + D + ) CD 180 Comprueba de igual forma que + D C 180. Esta es la condición que debe cumplir un cuadrilátero para que pueda inscribirse en una circunferencia. Eprésala con palabras. ) ; D ; + D DC + ) D ) ) DC C C 180 La suma de los ángulos opuestos (enfrentados) del cuadrilátero ha de ser Calcula los ángulos y D. (Ten en cuenta el problema anterior). Teniendo en cuenta el problema anterior: + D D 180 D C C 95 D