7 Geometría del plano. Movimientos

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1 Qué tienes que saber? 7 QUÉ tienes que saber? Lugares geométricos ctividades Finales 7 Teorema de Pitágoras. plicaciones Ten en cuenta Dos rectas secantes forman dos ángulos adyacentes si son consecutivos y suplementarios. Dos rectas secantes forman dos ángulos opuestos por el vértice si los lados de uno son prolongación de los del otro. Estos ángulos tienen la misma amplitud. Dos ángulos son correspondientes si están formados por una recta secante que corta a dos rectas paralelas y se encuentran situados en el mismo lado con respecto a estas. Estos ángulos tienen la misma amplitud. Ten en cuenta Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. a = b + c Relaciones entre ángulos Determina la amplitud de los ángulos desconocidos, si = 0º. omo y son adyacentes: + = 80º = 60º l ser ángulos opuestos por el vértice, sabemos que: F E G 0º = = 0º = D = 60º Los ángulos E, F, G y H son correspondientes a los anteriores. Luego: = E = 0º = F = 60º = G = 0º D = H = 60º alcula el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales mayor y menor miden 0 cm y, respectivamente. 3 cm Teorema de Pitágoras. plicaciones 5 cm H D Hallamos la longitud de los lados del rombo aplicando el teorema de Pitágoras en uno de los cuatro triángulos que forman sus diagonales. a = = 34 = 5,83 cm Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que distan: a) 3 cm del origen de coordenadas. b) cm del punto P(, ). Representa en el plano cartesiano los puntos (, ) y (3, ) y dibuja el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ellos. ómo se llama? Dos rectas paralelas distan entre sí 4 cm; dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ellas. Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas secantes que forman un ángulo de 60º. Relaciones entre ángulos La amplitud de uno de los ángulos determinados por dos rectas secantes es de 40º. uál es la amplitud de los demás? Indica la relación existente entre todos los ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta que las corta. Si uno de estos ángulos abarca un arco de 55º, determina la amplitud de los demás ángulos. Halla la amplitud de los ángulos interiores de la figura si los segmentos y D son perpendiculares omprueba si los triángulos cuyos lados tienen las siguientes medidas son rectángulos. a) 4 cm, y 7 cm b) 5 m, m y 3 m Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 40 cm, respectivamente, calcula la longitud de la hipotenusa. alcula la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 37 m si el otro cateto tiene 35 m. Los dos lados iguales de un triángulo isósceles miden cm, y el otro lado,. alcula la longitud de la altura sobre el lado desigual. Determina la longitud de la base de un triángulo isósceles de m de altura cuyos lados iguales miden 6 m. alcula cuánto miden los lados iguales de un triángulo isósceles si las longitudes del lado desigual y de la altura son 3 dm y 63 dm, respectivamente. Halla las medidas de los lados y de los ángulos desconocidos de este triángulo. uánto mide su altura? El perímetro es: P = 4 5,83 = 3,3 cm El área es: = 0 6 = 30 cm x x Ten en cuenta Movimientos 60º En una traslación de vector v transformamos un punto, P, en otro, P, de forma que: PP = v. Un giro de centro y ángulo α transforma un punto, P, en otro, P, de forma que: d(, P) = d(, P ) y PP = α En una simetría axial de eje r transformamos un punto, P, en otro, P, de forma que r es la mediatriz de PP. En una simetría central de centro transformamos un punto, P, en otro, P, de forma que es el punto medio de PP. Halla las coordenadas del punto transformado de P(4, ) al aplicar cada uno de los siguientes movimientos. a) Traslación de vector v = (, ). d) Simetría respecto al eje. b) Giro de centro y ángulo de 90º. e) Simetría respecto a (0, 0). c) Simetría respecto al eje. f) Simetría respecto a (, 0). P 3 P P 5 P 6 P P 4 P a) P (5, 4) b) P (, 4) c) P 3 ( 4, ) d) P 4 (4, ) e) P 5 ( 4, ) f) P 6 (0, ) 8 60º uál es la amplitud del ángulo si las rectas que pasan por y por son paralelas? a) c) 35º 40º b) d) 50º 50º 0º 30º 30º 5º D cm Una barca navega 8 km hacia el este y, tras cambiar de rumbo, navega 5 km hacia el sur. qué distancia del punto inicial se encuentra? uál es la distancia máxima que puede recorrer un jugador de fútbol sala en una pista de 40 m de largo y 0 m de ancho? Pedro y Quique salen de una plaza con sus bicis al mismo tiempo por dos calles perpendiculares entre sí. Si Pedro circula a 9 m/s y Quique lo hace a m/s, calcula qué distancia les separa a los min. Determina a qué piso de un edificio puede acceder un grupo de bomberos que dispone de una escalera que mide 0 m si tiene que apoyarla en la calle a 8 m del edificio y cada piso tiene una altura de 3 m Sugerencias didácticas En esta sección se destacan los conceptos y procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de: Reconocer los ángulos que se obtienen cuando se cortan dos rectas. Relacionar los ángulos definidos por dos rectas paralelas cortadas por una secante. Reconocer las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo mediante el teorema de Pitágoras. plicar el teorema de Pitágoras para resolver problemas. Describir los elementos necesarios que intervienen en cada uno de los movimientos estudiados. alcular gráfica y numéricamente las coordenadas de un punto P obtenido al aplicarle un movimiento a un punto P. ctividades finales Soluciones de las actividades 75 Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que distan: a) 3 cm del origen de coordenadas. b) cm del punto P(, ). a) El lugar geométrico es una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 3 cm. omprobar que los alumnos dibujan esta circunferencia correctamente. b) El lugar geométrico es una circunferencia de centro P(, ) y radio cm. omprobar que los alumnos dibujan esta circunferencia correctamente. 6

2 Geometría del plano. Movimientos 7 76 Representa en el plano cartesiano los puntos (, ) y (3, ) y dibuja el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ellos. ómo se llama? omprobar que los alumnos dibujan en un plano el segmento de extremos (, ) y (3, ) y trazan su mediatriz que es la recta x =. El lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos y es la recta mediatriz del segmento. 77 Dos rectas paralelas distan entre sí 4 cm; dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ellas. omprobar que los alumnos dibujan dos rectas paralelas r y s que distan 4 cm, y una recta t paralela a ellas que dista cm de cada una. Los puntos que equidistan de las rectas r y s son los que pertenecen a la recta t que es paralela a ambas y dista cm de cada una. 78 Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas secantes que forman un ángulo de 60º. omprobar que los alumnos dibujan dos rectas secantes r y s que forman un ángulo de 60º y trazan la bisectriz de este ángulo, la recta t, y de su adyacente de 0º, la recta p. Los puntos que equidistan de las rectas secantes r y s son los de las rectas t y p, bisectrices los ángulos de 60º y 0º. respectivamente. 79 La amplitud de uno de los ángulos determinados por dos rectas secantes es 40º. uál es la amplitud de los demás? El opuesto por el vértice al de 40º debe medir también 40º, y los otros, 80º 40º = 40º cada uno. 80 Indica la relación entre todos los ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta que las corta. Si uno de estos ángulos abarca un arco de 55º, determina la amplitud de los demás ángulos. = F y = H por ser opuestos por el vértice. G y H son adyacentes, por tanto, G = 80º 55º = 5º. E F D Por tanto, = = F = H = 55º y = E = D = G = 5º. G H = 55º 8 Halla la amplitud de los ángulos interiores de la figura si los segmentos y D son perpendiculares. l ser los segmentos y D perpendiculares, la figura está formada por dos triángulos rectángulos. D = = 80º (90º + 60º) = 80º 50º = 30º = = 60º 60º D 8 uál es la amplitud del ángulo si las rectas que pasan por y por son paralelas? a) b) c) d) 35º 50º 30º 40º 50º Para hallar la amplitud del ángulo, alargamos los lados de los ángulos hasta que corten las rectas paralelas. a) 80º (40º + 35º) = 05º; = 80º 05º = 75º c) 80º (30º + 0º) = 30º; = 80º 30º = 50º b) 80º (50º + 50º) = 80º; = 80º 80º = 00º d) 80º (30º + 5º) = 35º; = 80º 35º = 45º 83 omprueba si los triángulos cuyos lados tienen las siguientes medidas son rectángulos. a) 4 cm, y 7 cm b) 5 m, m y 3 m a) No es un triángulo rectángulo. b) 3 = + 5 Es un triángulo rectángulo. 0º 30º 5º 7

3 84 Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 40 cm, respectivamente, calcula la longitud de la hipotenusa. a = b + c a = = = 68 a = 68 = 4 cm 85 alcula la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 37 m si el otro cateto tiene 35 m. a = b + c 37 = 35 + c c = = = 44 c = 44 = m 86 Los dos lados iguales de un triángulo isósceles miden cm, y el otro lado,. alcula la longitud de la altura sobre el lado desigual. onsideramos el triángulo formado por la altura, la mitad del lado desigual y uno de los lados iguales. a = b + c = 3 + c c = 3 = 44 9 = 35 c = 35 =, 87 Determina la longitud de la base de un triángulo isósceles de m de altura cuyos lados iguales miden 6 m. onsideramos el triángulo formado por la altura, la mitad del lado desigual y uno de los lados iguales. a = b + c 6 = + c c = 6 = 3 7 = c = = 60 m La mitad de la base mide 60 cm. Entonces, la base mide. 60 = 0 m. 88 alcula cuánto miden los lados iguales de un triángulo isósceles si las longitudes del lado desigual y de la altura son 3 dm y 63 dm, respectivamente. onsideramos el triángulo formado por la altura, la mitad del lado desigual y uno de los lados iguales. a = b + c a = 3 + 3,5 = ,5 = 06,5 a = 06,5 = 44,9 dm ada lado igual del triángulo mide 44,9 dm. 89 Halla las medidas de los lados y de los ángulos desconocidos de este triángulo. uánto mide su altura? 60º x 0 cm x Es un triángulo equilátero, por tanto, todos los lados miden 0 cm y los ángulos 60º. onsideramos el triángulo formado por la altura, la mitad de un lado y cuya hipotenusa es otro de los lados. a = b + c 0 = 5 + c c = 0 5 = 00 5 = 75 c = 75 = 8,6 Su altura mide 8,6. 90 Una barca navega 8 km hacia el este y, tras cambiar de rumbo, navega 5 km hacia el sur. qué distancia del punto inicial se encuentra? Hallamos la hipotenusa del triángulo de catetos 8 km y 5 km. a = b + c a = = = 89 a = 89 = 7 km Se encuentra a 7 km. 9 uál es la distancia máxima que puede recorrer un jugador de fútbol sala en una pista de 40 m de largo y 0 m de ancho? La distancia máxima que puede recorrer es la medida de la diagonal de la pista. a = b + c a = = = 000 a = 000 = 44,7 m La distancia máxima es 44,7 m. 9 Pedro y Quique salen de una plaza con sus bicis al mismo tiempo por dos calles perpendiculares entre sí. Si Pedro circula a 9 m/s y Quique lo hace a m/s, calcula qué distancia les separa a los min. En min, Pedro habrá recorrido 9 0 = 080 m y Quique 0 = 440 m. onsideramos el triángulo rectángulo que tiene por catetos la distancia que han recorrido Pedro y Quique por las calles perpendiculares. a = b + c a = = = a = = 800 La distancia que les separa son 800 m =,8 km. 93 Determina a qué piso de un edificio pueden acceder un grupo de bomberos que dispone de una escalera que mide 0 m si tiene que apoyarla en la calle a 8 m del edificio y cada piso tiene una altura de 3 m. a = b + c 0 = 8 + c c = 0 8 = = 336 c = 336 = 8,33 m ada piso tiene una altura de 3 m 8,33 : 3 = 6, Podrán acceder al sexto piso. 8

4 Geometría del plano. Movimientos 7 7 Geometría del plano. Movimientos ctividades Finales 7 Perímetros y áreas de figuras planas Halla el perímetro y el área de un cuadrado cuya diagonal mide 0 cm. alcula el perímetro y el área del cuadrado interior de la figura. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide la mitad que la hipotenusa, y el otro, 5 cm. uál es su área? Dibuja un rombo cuyas diagonales miden 0 cm y, respectivamente. Halla su perímetro y su área. Determina el área y el perímetro de estas figuras La longitud de una circunferencia es. uánto mide su radio? La rueda de una bicicleta tiene 40 cm de diámetro. uántos metros habrá recorrido después de dar 35 vueltas? Halla el área de una pista de patinaje circular rodeada por una valla de 0 m. alcula el área de una corona circular formada por dos círculos concéntricos cuyos radios miden 3 cm y, respectivamente. Halla el área de la zona sombreada en cada una de estas figuras. a) b) 4 cm 4 cm Movimientos 3 Determina si la transformación utilizada para obtener las siguientes figuras es un movimiento. a) b) c) 9 0 Halla las coordenadas de los vectores que transforman el triángulo en los demás. partir del trapecio se han obtenido las demás figuras mediante determinados movimientos. Indica de qué movimiento se trata en cada caso a) b) 4 cm 5 cm 5 cm 4 cm alcula la longitud de la altura de un trapecio cuyas bases miden 0 cm y cm si tiene la misma área que un rombo cuyas diagonales miden 4 cm y 30 cm. Determina la longitud de los lados de un triángulo equilátero cuya área mide 4 cm. uál es el área de un hexágono regular de 4 cm de lado? Halla el área de un parque infantil con forma de hexágono regular, sabiendo que sus lados miden 8 m. uánto mide la superficie de un octógono regular inscrito en un cuadrado de 4 m de lado? alcula el área de un octógono regular cuyos lados miden cm. 0 alcula la longitud de un arco de 0º en una circunferencia cuyo radio mide. uál es el área del sector circular correspondiente? Determina el área de las regiones sombreadas en las siguientes figuras. a) b) cm 30º 0º 3 cm Una pista de atletismo está formada por dos calles de m de ancho cada una. 80 m º º 50 m a) Halla la longitud de una vuelta en cada calle. b) Determina la distancia a la que debe situarse un corredor en la calle para disputar una carrera d) Representa y calcula las coordenadas del vector en cada caso. a) (, ), (5, ) c) (, ), ( 4, ) b) (0, ), (, 4) d) ( 3, ), (, 3) uál es el vector de la traslación que, aplicada al punto P(, 4), lo transforma en P (0, 5)? Halla las coordenadas del punto P si, al trasladarlo mediante el vector v = (, ), se transforma en el punto P (, ). Un triángulo tiene por vértices los puntos (3, ), (6, 4) y (7, ). Determina el triángulo que se obtiene al trasladarlo mediante el vector v = (, ) y dibuja la traslación. Traslada un círculo con centro en (3, ) y con 3 unidades de radio mediante el vector v = (5, 3). a) uánto mide el radio del círculo trasladado? b) uáles son las coordenadas del centro trasladado? Indica el centro y la amplitud de los giros que dejan invariantes cada una de estas figuras. a) Un rectángulo. b) Un rombo. c) Una estrella regular de seis puntas. Representa en unos ejes de coordenadas el punto P(3, 4) y halla sus transformados al aplicarle una simetría: a) Respecto al eje de abscisas. b) Respecto al origen de coordenadas. c) Respecto al eje de ordenadas. Qué figura obtienes al unir los cuatro puntos? Dibuja el triángulo cuyos vértices son (, ), (3, ) y (3, 5) y halla las coordenadas de la figura que se obtiene al aplicarle una simetría: a) Respecto al eje de abscisas. b) Respecto al eje de ordenadas. c) Respecto al origen de coordenadas. Indica cuáles de las siguientes figuras tienen uno o más ejes de simetría. a) Un trapecio isósceles. b) Un rectángulo. c) Una semicircunferencia Halla el perímetro y el área de un cuadrado cuya diagonal mide 0 cm. Llamamos a a la medida del lado del cuadrado y aplicamos el teorema Pitágoras. a + a = 0 a = 0 a = 00 : a = P = 4a = 4 7,07 = 8, = a = 7,07 = 49,9849 cm 50 = 7,07 cm 95 alcula el perímetro y el área del cuadrado interior de la figura. Llamamos a a la medida del lado del cuadrado y aplicamos el teorema de Pitágoras. a = b + c a = = = 00 a = 00 = 0 cm P = 4a = 4 0 = 40 cm = a = 0 0 = 00 cm 96 En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide la mitad que la hipotenusa, y el otro, 5 cm. uál es su área? Llamamos a a la medida de la hipotenusa y aplicamos el teorema de Pitágoras. a = b + c a = a + 5 = a La hipotenusa mide 7,3 cm y el otro cateto, 7,3 : = 8,6. = b h 5 8,66 = = 9,9 = 64,95 cm El área del triángulo es 64,95 cm a = a a = 900 a = 300 a = 300 = 7,3 cm 9

5 97 Dibuja un rombo cuyas diagonales miden 0 cm y, respectivamente. Halla su perímetro y su área. omprobar que los alumnos dibujan el rombo de diagonales 0 cm y. onsideramos el triángulo rectángulo cuyos catetos miden la mitad de las diagonales y cuya hipotenusa es el lado del rombo, y aplicamos el teorema de Pitágoras. a = b + c a = = = 89 a = 89 = 9,43 cm P = 4a = 4 9,43 = 37,7 cm = D d 0 6 = = 60 = 80 cm 98 Determina el área y el perímetro de estas figuras. a) 5 cm b) 5 cm 4 cm 4 cm a) alculamos el lado desconocido del trapecio, que es igual a su altura, aplicando el teorema de Pitágoras: a = b + c 5 = 3 + c c = 5 3 = 5 9 = 6 c = 6 = 4 cm P = = cm ( + b) h (8 + 5) 4 = = = 3 4 = b) P = = = 60 cm alculamos la altura del triángulo equilátero: a = b + c 4 = + c c = 4 = 6 4 = a = = 3,4 alculamos la apotema del hexágono regular: b = c + a 6 = 3 + a a = 6 3 = 36 9 = 7 a = 7 = 5, cm T = triángulo + hexágono = b h + P a = 4 3, , = 3, ,6 = 07,44 cm 99 alcula la longitud de la altura de un trapecio cuyas bases miden 0 cm y cm si tiene la misma área que un rombo cuyas diagonales que miden 4 cm y 30 cm. alculamos el área del rombo: rombo = D d = 30 4 = 0 cm ( + b) h (0 + ) h trapecio = 0 = 40 = 3h h = 3,5 cm La altura del trapecio mide 3,5 cm. 00 Determina la longitud de los lados de un triángulo equilátero cuya área mide 4 cm. Llamamos a al lado del triángulo equilátero. Expresamos la altura h en función del lado. a = a + h a = a 4 + h h = 3a 4 h = 3a 4 = a 3 = b h 4 = a a 3 4 = a 4 El lado del triángulo mide 3,04 cm. 3 a = 6 3 = 9,4 a = 9,4 = 3,04 cm 0

6 Geometría del plano. Movimientos 7 0 uál es el área de un hexágono regular de 4 cm de lado? alculamos la apotema del hexágono regular. b = c + a 4 = + a a = 4 = 6 4 = a = = 3,4 = P a = 6 4 3,46 El área es 4,5 cm. = 4,5 cm 0 Halla el área de un parque infantil con forma de hexágono regular, sabiendo que sus lados miden 8 m. alculamos la apotema del hexágono regular. b = c + a 8 = 4 + a a = 8 4 = 64 6 = 48 a = 48 = 6,93 cm = P a = 6 8 6,93 = 66,3 cm El área es 66,3 cm. 03 uánto mide la superficie de un octógono regular inscrito en un cuadrado de 4 m de lado? Si inscribimos un octógono regular en un cuadrado, obtenemos 4 triángulos rectángulos isósceles en las esquinas cuyos catetos miden x y cuya hipotenusa b es el lado del octógono. b = x + x b = x b = x 4 = x + b 4 = x + x 4 = x ( + ) 4 x = + b =,7 =,65 cm La apotema del octógono mide cm. = P a = 8,65 = 3, cm La superficie del octógono mide 3, cm. 04 alcula el área de un octógono regular cuyos lados miden cm. =,7 El área del octógono la obtendremos restando al área del cuadrado circunscrito el área de los cuatro triángulos isósceles de las esquinas. Los lados iguales de los triángulos cumplen x + x = x = 4 x = x = cm El área de cada triángulo es: = b h = = cm octógono = cuadrado 4 triángulo = ( + ) 4 = = = 9,3 cm 05 La longitud de una circunferencia es. uánto mide su radio? L = πr 8 = 3,4 r 8 = 6,8r r =,7 cm 06 La rueda de una bicicleta tiene 40 cm de diámetro. uántos metros habrá recorrido después de dar 35 vueltas? alculamos la longitud de la rueda: L = πr = 3,4 0 = 5, 5,6 35 = 4 39 = 43,96 m Habrá recorrido 43,96 m. 07 Halla el área de una pista de patinaje circular rodeada por una valla de 0 m. alculamos el radio de la pista. L = πr 0 = 3,4 r 0 = 6,8r r = 9, m = πr = 3,4 9, = 46,703 m 08 alcula el área de una corona circular formada por dos círculos concéntricos cuyos radios miden 3 cm y, respectivamente. = π( R r ) = 3,4 ( 6 3 ) = 3,4 ( 36 9 ) = 3,4 7 = 84,7

7 09 Halla el área de la zona sombreada en cada una de estas figuras. a) b) 4 cm 4 cm a) círculo = π = 3,4 4 =,5 b) = 4 círculo cuadrado = 4 π 4 4 = 3,4 4 8 = 4,5 0 alcula la longitud de un arco de 0º en una circunferencia cuyo radio mide. uál es el área del sector circular correspondiente? α 0 L = πr = 3, º 360 = 6,75 cm = πr α 360º = 3,4 8 0 = 66,99 cm 360 Determina el área de las regiones sombreadas en las siguientes figuras. a) b) cm 30º 0º 3 cm α a) = 4πr 360º = 4 3, = 4,9 α cm b) = πr 360º = 3, = 6,69 cm 360 Una pista de atletismo está formada por dos calles de m de ancho cada una. a) Halla la longitud de una vuelta en cada calle. b) Determina la distancia a la que debe situarse un corredor en la calle para disputar una carrera. 80 m º º 50 m a) alculamos la longitud de la calle. L = ,4 40,5 = ,34 = 554,34 m alculamos la longitud de la calle. L = ,4 4,5 = ,6 = 560,6 m b) Un corredor de la calle debe situarse a 560,6 554,34 = 6,8 m del corredor de la calle. 3 Determina si la transformación utilizada para obtener las siguientes figuras es un movimiento. a) c) b) d)

8 Geometría del plano. Movimientos 7 a) Giro c) No es un movimiento, la figura no mantiene el mismo tamaño. b) Traslación d) Giro 4 Representa y calcula las coordenadas del vector en cada caso. a) (, ), (5, ) b) (0, ), (, 4) c) (, ), ( 4, ) d) ( 3, ), (, 3) omprobar que los alumnos representan los puntos y trazan el vector correctamente en cada caso. = b a, b a = b a, b a = b a, b a = b a, b a a) b) c) d) ( ) = ( 5, ) = ( 3, ) ( ) = ( 0, 4 ) = (, 6) ( ) = ( 4 ( ), ) = ( 3, 0) ( ) = ( ( 3), 3 ( ) ) = ( 5, ) 5 uál es el vector de la traslación que, aplicada al punto P(, 4), lo transforma en P (0, 5)? ( ) P ( + v, 4 + v ) + v = 0; 4 + v = 5 v =, v = 0 P p + v, p + v Por tanto el vector traslación es v = (, 9). 6 Halla las coordenadas del punto P si, al trasladarlo mediante el vector v = (, ), se transforma en el punto P (, ). ( ) P ( p +, p + ( ) ) p + = ; p + ( ) = p =, p = 3 P p + v, p + v Por tanto el punto P es (, 3). 7 Un triángulo tiene por vértices los puntos (3, ), (6, 4) y (7, ). Determina el triángulo que se obtiene al trasladarlo mediante el vector v = (, ) y dibuja la traslación. ( a + v, a + v ) ( 3 + ( ), + ) (, ) ( b + v, b + v ) ( 6 + ( ), 4 + ) (4, 5) ( c + v, c + v ) ( 7 + ( ), + ) (5, 3) omprobar que los alumnos dibujan el triángulo de vértices, el triangulo de vértices y el vector de la traslación. 8 Traslada un círculo con centro (3, ) y con 3 unidades de radio mediante el vector v = (5, 3). a) uánto mide el radio del círculo trasladado? b) uáles son las coordenadas del centro trasladado? a) El radio del círculo trasladado mide lo mismo que el círculo original, 3 unidades. ( ) ( 3 + 5, + 3) (8, ) b) c + v, c + v 9 Halla las coordenadas de los vectores que transforman el triángulo en los demás. Triángulo en : v = (3, ) Triángulo en 3: u = (5, 0) 3 3

9 0 partir del trapecio se han obtenido las demás figuras mediante determinados movimientos. Indica de qué movimiento se trata cada caso. Trapecio : Se ha obtenido mediante una simetría respecto al eje de ordenadas. Trapecio 3: Se ha obtenido mediante un giro. Trapecio 4: Se ha obtenido mediante una traslación. 4 3 Indica el centro y la amplitud de los giros que dejan invariantes cada una de estas figuras. a) Un rectángulo. b) Un rombo. c) Una estrella regular de seis puntas. a) El centro de giro es el punto donde se cortan las diagonales y la amplitud es de 80º. b) El centro de giro es el punto donde se cortan las diagonales y la amplitud es de 80º. c) El centro de giro es el punto donde se cortan las rectas que pasan por los vértices opuestos y la amplitud es de 60º. Representa en unos ejes de coordenadas el punto P(3, 4) y halla sus transformados al aplicarle una simetría: a) Respecto al eje de abscisas. b) Respecto al origen de coordenadas. c) Respecto al eje de ordenadas. Qué figura obtienes al unir los cuatro puntos? omprobar que los alumnos representan el punto P(3, 4). a) omprobar que los alumnos representan el punto P (3, 4). b) omprobar que los alumnos representan el punto P ( 3, 4). c) omprobar que los alumnos representan el punto P ( 3, 4). Se obtiene un cuadrado. 3 Dibuja el triángulo cuyos vértices son (, ), (3, ) y (3, 5) y halla las coordenadas de la figura que se obtiene al aplicarle una simetría: a) Respecto al eje de abscisas. b) Respecto al eje de ordenadas. c) Respecto al origen de coordenadas. omprobar que los alumnos dibujan el triángulo. a) omprobar que los alumnos dibujan el triángulo de vértices (, ), (3, ) y (3, 5). b) omprobar que los alumnos dibujan el triángulo de vértices (, ), ( 3, ) y ( 3, 5). c) omprobar que los alumnos dibujan el triángulo de vértices (, ), ( 3, ) y ( 3, 5). 4 Indica cuáles de las siguientes figuras tienen uno o más ejes de simetría. a) Un trapecio isósceles. b) Un rectángulo. c) Una semicircunferencia. a) Tiene un solo eje de simetría. b) Tiene dos ejes de simetría. c) Tiene un solo eje de simetría. 4