SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

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1 7 Pág. Página 70 PRTI Semejanza de figuras opia en una hoja de papel cuadriculado estas dos figuras. Modifica la de la derecha para que sean semejantes. En un mapa cuya escala es : , la distancia entre dos ciudades es,5 cm. a) uál es la distancia real entre ellas? b) uál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades y cuya distancia real es 60 km? a) omo la escala es : , cada centímetro en el mapa corresponde a cm en la realidad, que equivalen a 5 km.,5 cm en el mapa serán:,5 5 7,5 km en la realidad. b) cm Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco de,5 cm de ancho. Son semejantes los rectángulos interior y exterior del marco? Responde razonadamente. El rectángulo exterior es de cm de ancho,5 cm y cm de alto. Para que los rectángulos sean semejantes, los 6 cm lados correspondientes han de ser proporcionales: 9 cm 6 9. mbos rectángulos no son proporcionales. Hemos dividido en cuatro partes iguales el lado mayor del rectángulo D y en tres partes iguales el lado menor. a) Es semejante cada uno de los doce rectángulos obtenidos con el inicial? b) Si dividimos los dos lados en tres partes iguales, obtendríamos rectángulos semejantes? D,5 cm

2 7 Pág. a) No, porque los lados mayores están en la relación /, y los menores, en /. b) En este caso sí. La razón de semejanza es /. 5 En una oficina de venta de pisos han hecho este plano a escala /50. SLÓN OMEDOR a) alcula las dimensiones reales del salón y su área. b) Halla las dimensiones de la mesa y del sillón. Te parecen razonables? a) ada centímetro del plano equivale a 0,5 m en la realidad. Dimensiones del salón: (6 0,5 m) ( 0,5 m) m m Área del salón: 6 m b) Mesa: (0,75 0,5 m) (,55 0,5 m) 0,75 m 0,775 m Podemos considerar (por errores de medición) que la mesa mide: 0, m 0,8 m, es decir, 0 cm 80 cm. Sillón : (0,7 0,5 m) (0,65 0,5 m) 0,5 m 0,5 m 5 cm,5 cm Las medidas no son razonables en absoluto: un salón de 6 m es una estancia algo pequeña. Teorema de Tales 6 Dos triángulos y ''' son semejantes y su razón de semejanza es /. alcula los lados del triángulo ''' si sabemos que m, 9 m y 7,5 m Si son semejantes se cumple que: '' '' '' '' '' 8 m; '' '' 9 6 m 9 '' '' 7,5 5 m 7,5

3 7 Pág. 7 En la figura, MN es paralelo a. alcula M y MN. cm 6 cm N M 8, cm,8 cm Los triángulos NM y están en posición de Tales. Tenemos, pues, las siguientes igualdades: MN N M 8, + 6 MN 8, 5,6 MN 5,6 cm MN N MN 8 Llamamos x M: MN 8, 5,6 8,x 5,6(,8 + x) M,8 + x x 8,x 5,6x 6,88 x 6,88 9,6,8 Luego M 9,6 cm. 8 a) Por qué son semejantes los triángulos PQ y? b) alcula x Q. a) El ángulo ^ es común a los dos triángulos y los ángulos P^ y ^ son rectos, luego los ángulos Q^ y ^ son iguales. Por lo tanto, ambos triángulos son semejantes. b) Por ser triángulos semejantes: P Q P 7 cm 5 cm Q cm x alculamos P aplicando el teorema de Pitágoras: P 5 6 cm P + P + 7 cm 5 + x x x 5 8,75 P Q 5 x 8,75 cm

4 7 Pág. 9 Sabemos que: P 7 cm, P cm, P cm y P' cm. P ' Traza paralelas a ' desde y desde y calcula '' y ''. P 7 cm 6 cm cm cm ' ' P P' 7 '' 6 0,8 '' 0,8 cm '' 6 '' 7 '' '' 0,8 0,85 '' 8,85 cm '' 6 ' 0 Observa esta figura, en la que el segmento es paralelo a D. 0,6 cm 6 cm x a) Di por qué son semejantes los triángulos O y OD. b) alcula x e y. 7, cm 8,5 cm O y D a) omo //D: ^ D^, ^ ^, O^ es común (O^' O^'' ). Los ángulos de ambos triángulos son iguales, luego los dos triángulos son semejantes. b) Ponemos los triángulos en posición de Tales: D 7, x O O 8,5 6 O x 7, 6 5,08 cm 8,5 D 7, 5,08 OD 0,6 y y 5,08 0,6 7, 7,8 cm D y O x

5 7 Pág. 5 Página 7 Estos dos triángulos tienen sus lados paralelos. uánto miden los lados a y b? 7 m 8 m m b 9 m a omo los lados respectivos son paralelos: ^ ^', ^ ^', ^ ^' y los triángulos son semejantes. '' a 9 a 9 7 m a m '' 7 '' 9 b 8 9 7,7 m b 7,7 m '' 8 b En un triángulo, la base mide 5,7 m y la altura relativa a esa base mide 9,5 m. uánto mide el área de otro triángulo semejante a en el que '', m? omo son semejantes: h 5,7 9,5 h' 9,5, 6,9 m '' h', h' 5,7 La altura mide 6,9 m. Por tanto, el área pedida es: 6,9,,8 m Si D es paralelo a E, y 5 cm, E cm, D 6, cm: a) alcula D. b) Podemos saber cuánto vale E sin medirlo directamente? c) Si 7 y 80, calcula E, y D. Los triángulos E y D son semejantes, luego: a) E D D D 6,,7 cm 5 6, 5 b) No se puede. c) ^ 7, ^ 80 E^ ^ ^ 7 D^ E^ D E

6 7 Pág. 6 Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden 8 cm y,6 cm, respectivamente. Si el área del primero es 6 cm. uál es el área del segundo? Si la razón de semejanza entre dos triángulos es k, la razón entre sus áreas es k. Razón entre áreas,6 ( ) (,7),89 8 primero 6 cm ',89 ', , cm 6 El área del segundo triángulo mide 75, cm. 5 Di cuál es la relación entre los radios de dos círculos si la razón entre sus áreas es 6/9. 6 R 6 ' 9 r 9 Teoremas del cateto y de la altura 6 En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos se ha trazado la altura H sobre la hipotenusa. Halla, en cada caso, los segmentos x e y. a) Por el teorema del cateto: y H y (, + 7,8) 7,8 x y 77, y 77, 8,79 x H x (, + 7,8),, 7,8 H 0,79 x 0,79,56 b) Por el teorema del cateto:,,8 x x,, x,,8 z,8,,67 Por el teorema de la altura:, x y H,8 z y x z y,,67 5,68 y,8 c) Por el teorema de la altura: x 9 x 6 x 6 9 y Por el teorema del cateto: y (x + 9) x x +9x y 0 x H 9

7 7 Pág. 7 Rectas 7 Escribe la ecuación de las siguientes rectas: a) Pasa por (, ) y su pendiente es. b) Pasa por (, ) y su pendiente es. c) Pasa por (5, ) y su pendiente es 0. a) y + (x + ) y x + b) y (x ) x +5 c) y 8 Da un vector dirección y la pendiente de la recta que pasa por y en los siguientes casos: a) (, 0) (0, ) b) (0, ) (5, ) c) (, ) (, ) a) (, 0) y (0, ) Un vector dirección es (0, ) (, 0) (, ). La pendiente es m. b) (0, ) y (5, ) Vector dirección: (5, ) (0, ) (5, 0) Pendiente: m 0 c) (, ) y (, ) Vector dirección: (, ) (, ) (6, ) Pendiente: m 6 9 Halla la ecuación de cada una de las rectas del ejercicio anterior. Esríbela en forma general. a) m y pasa por (, 0) y (x + ) y x + b) m 0 y pasa por (0, ) y c) m y pasa por (, ) y (x + ) y x + 5

8 7 Pág. 8 0 Escribe la ecuación de las siguientes rectas: a) Pasa por (, ) y su pendiente es. b) Pasa por (, ) y su pendiente es. c) Pasa por (5, ) y su pendiente es 0. a) La ecuación será: y + (x + ) y + x + y x 8 0 b) La ecuación será: y (x ) y x + y + x 5 0 c) Ecuación: y Halla la ecuación de las siguientes rectas: a) Paralela a y x + y pasa por (, 5). b) Paralela a x y + 0 y pasa por (, 0). c) Paralela a x + y 6 0 y pasa por (0, ). a) Pendiente de la recta y x + m Ecuación: y 5 (x ) y x + y +x 0 b) Pendiente de la recta x y + 0: y x + m Ecuación: y (x ) y x x y 0 c) Pendiente de la recta x + y 6 0: y x + m Ecuación: y x y 6 x x + y Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular al vector v, en los siguientes casos: a) P( 7, ) v (, ) b) P(, ) v ( 5, ) c) P(5, ) v (, ) a) Un vector perpendicular a v(, ) es (, ), vector dirección de la recta pedida m Ecuación: y (x + 7) y x x + y + 0 b) Un vector perpendicular a v( 5, ) es (, 5), vector dirección de la recta pedida m 5 Ecuación: y + 5 (x ) y + 5x 0 5x y 0

9 7 Pág. 9 c) Un vector dirección de la recta pedida es (, ), perpendicular a v(, ) m Ecuación: y (x 5) y x + 5 x + y 8 0 alcula la pendiente y un vector dirección de una recta perpendicular a la que pasa por (, ) y ( 5, ). Vector dirección de la recta que pasa por (, ) y ( 5, ): v ( 5, ) (, ) ( 8, ) Vector perpendicular a v es (, ), vector dirección de la recta perpendicular a la que pasa por y. Pendiente m Escribe la ecuación de la recta que pasa por (, 0) y es perpendicular a x y Pendiente de la recta x y m Pendiente de la recta perpendicular a x y es. m Ecuación: y (x + ) y x x +y Dados los puntos (, ) y (5, 0) halla las ecuaciones de las rectas siguientes: r: pasa por y es perpendicular a. s: pasa por y es perpendicular a. r: pasa por (, ) y es perpendicular a (5, 0) (, ) (8, ) Vector perpendicular a es (, ), que es vector dirección de la recta r m Ecuación de r: y + (x + ) y x + x y + 0 s: pasa por (5, 0) y es perpendicular a Ecuación de s: y (x 5) y x 0 x y 0 0 Página 7 6 Representa las rectas x y y 5 0 y halla su punto de intersección.

10 7 Pág. 0 x x recta paralela al eje Y y 5 0 y 5 Punto de intersección: ( ), 5 recta paralela al eje X x y 5 7 Escribe la ecuación de una recta perpendicular a r y que pase por (, ) en los siguientes casos: a) r: x b) s: y + 0 a) r: x x x 7 es paralela al eje Y. Por tanto, la recta perpendicular a r es paralela al eje X y k omo pasa por (, ), su ecuación es y y + 0 b) r: y + 0 y + 0 y es paralela al eje X. Por tanto, la recta perpendicular a r es paralela al eje Y x k omo pasa por (, ), su ecuación es x x 0 8 Las rectas r y s pasan por el punto (, ); r es paralela a x 0 y s es perpendicular a ella. Representa r y s y halla su ecuación. Por ser r paralela a x 0, r será de la forma x k. omo pasa por (, ) x r: x + 0 r s Por ser s perpendicular a x 0, s será de la forma y k'. omo pasa por (, ) y s: y 0 9 La recta r es paralela a 5x y + 0, y la recta s es perpendicular a ellas. mbas pasan por el punto (, ). Escribe las ecuaciones de las rectas r y s. La pendiente de r coincidirá con la pendiente de la recta 5x y + 0, por ser ambas paralelas m s es perpendicular a r pendiente de s es m 5 Tanto r como s pasan por el punto (, ), luego: 5

11 7 Pág. Ecuación de r y + 5 (x + ) y 5 x +7 5x y Ecuación de s y (x + ) 5y 0 x 6 5 x +5y Determina el punto de corte de las rectas: r: 5x + y + 0 s: x + y 5 0 Para hallar el punto de corte, resolvemos el sistema formado por ambas ecuaciones: 5x + y + 0 5x +y + 0 x + y 5 0 8x y x + 0 x 5 ( ) + y + 0 y 0 y El punto de corte es (, ). Distancias y circunferencia alcula la distancia entre P y Q: a) P(, 5), Q(, 7) b) P( 8, ), Q( 6, ) c) P(0, ), Q( 5, ) d) P(, 0), Q(5, 0) a) dist (P, Q) PQ ( ) +( 7 5) b) dist (P, Q) ( 6 + 8) + ( ) + 8 c) dist (P, Q) ( 5) + ( + ) d)dist (P, Q) (5 + ) 8 8 omprueba que el triángulo de vértices (, 0), (, ), (7, ) es isósceles. uáles son los lados iguales? Un triángulo es isósceles cuando dos de sus lados miden lo mismo. alculamos, pues,, y : ( + ) (7 + ) (7 ) + ( ) El triángulo de vértices, y es isósceles.

12 7 Pág. omprueba, mediante el teorema de Pitágoras, que el triángulo de vértices (, ), (, ), (, 6) es rectángulo. (, ), (, ), (, 6) ( ) por Pitágoras: ( 9 ) +( 9 ) ( 58 ) El triángulo de vértices, y es rectángulo. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro y radio r: a) (, ), r b) (0, 5), r 6 c) (6, 0), r d) (0, 0), r 5 a) (, ), r (x ) +(y +) 9 x 8x y +6y x + y 8x + 6y b) (0, 5), r 6 (x 0) +(y 5) 6 x + y 0y x + y 0y 0 c) (6, 0), r (x 6) + y x x y x + y x + 0 d)(0, 0), r 5 x + y 5 x + y Di cuál es el centro y el radio de las circunferencias siguientes: a) (x ) + (y + ) 6 b) (x + ) + y 8 c) x + y 0 a) (x ) +(y + ) 6 (, ), r b) (x +) + y 8 (, 0), r 9 c) x + y 0 (0, 0), r 0

13 7 Pág. PIENS Y RESUELVE 6 El perímetro de un triángulo isósceles es 6 m y el lado desigual mide m. alcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es de 96 m. P a + b 6 + b 6 b 5 m omo los triángulos son semejantes: a' a' b' 5 b' 5 P' a' + b' 96; P' b' + b' 96 5 b' + 50b' 00 b' 7,5 m a' m b b h' 7,5 (/) 6 m b' a m b' Área 6 78 m a' 7 Dos triángulos y PQR son semejantes. Los lados del primero miden m, 8 m y m. alcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 9 m. P m; P' 9 m a' b' c' a' 6 m, b' m, c' 5 m 8 Las áreas de dos triángulos isósceles semejantes son 8 m y 08 m. Si el lado desigual del primer triángulo es m, cuál es el perímetro del segundo? Si la razón de semejanza entre los lados de un triángulo es k, la razón entre sus áreas es k. k 08,5 k,5 8 a h c b',5 8 m b m b h h 8 h 8 m a' h' c' h',5 8 m (h') + ( ) b' a' m c' P' a' + b' + c' 0 m + 8 m 8 m b'

14 7 Pág. 9 uál es la altura de una casa que proyecta una sombra de 68 m, al mismo tiempo que una persona de,65 m de altura proyecta una sombra de m? h 68 h h 56, m,65 La casa tiene una altura de 56, m.,65 m m 68 m 0 Para calcular la altura de un árbol, Eduardo ve la copa reflejada en un charco y toma las medidas que indica el dibujo. uál es la altura del árbol?,6 m, m O m D mbos triángulos son semejantes: D D,6 5,,, La altura del árbol es de 5, m. Para medir la altura de la casa, Álvaro, de 65 cm de altura, se situó a,5 m de la verja y tomó las medidas indicadas. uánto mide la casa? a,5,65,85 m 5,5 +,5 h,5,85 h 7,85, m,5 La altura de la casa es:, +,65,95 m Página 7 h a Dados los puntos (, ) y (, ), halla: a) La ecuación de una recta r que pase por y sea perpendicular a. b) La ecuación de una recta s que pase por y sea paralela al eje X. c) El punto de corte de r y s.

15 7 Pág. 5 (, ) y (, ) a) (, ) (, ) (, ) m Pendiente de r es m r pasa por y su pendiente es su ecuación será: y (x + ) y x x + y + 0 b) s es una recta paralela al eje X su ecuación será de la forma y k. omo pasa por (, ) y y 0 c) El punto de intersección de r y s será la solución del sistema: x + y + 0 y x x x El punto de corte entre r y s es (, ). Escribe las ecuaciones de los ejes de coordenadas y de las bisectrices de los cuadrantes primero y segundo. Ecuación del eje X y 0 Ecuación del eje Y x 0 Ecuación de la bisectriz del er cuadrante y x y x 0 Ecuación de la bisectriz del - o cuadrante y x y + x 0 omprueba si los puntos (, 0), ( 9, ), (, /) y D(, 8/7) pertenecen a la recta determinada por los puntos P(, ) y Q(5, ). alculamos la ecuación de la recta r que pasa por P(, ) y Q(5, ): PQ (5 +, ) (7, ) m Ecuación y (x 5) 7y 7 x + 5 r: x +7y 0 7 Para comprobar si un punto pertenece a una recta determinada, se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación de la recta. Si se verifica la ecuación, el punto pertenece a dicha recta. 7

16 7 Pág. 6 (, 0) no pertenece a r. ( 9, ) pertenece a r. ( ), no pertenece a r. D( ), D pertenece a r Dos lados de un paralelogramo están sobre las rectas r : x y + 0 y s : x + y 0, y el punto (, ) es uno de sus vértices. a) Dibuja el paralelogramo. b) Halla las ecuaciones de los otros dos lados. c) alcula las coordenadas de los vértices. a) Representamos las rectas r: x - y + 0 y s: x + y 0: r pasa por los puntos (0, ) y (, ) s pasa por los puntos (, ) y (, ) b) Lado D paralelo a la recta s: Pendiente de s es. Ecuación del lado D : y (x ) y 8 x + x + y Lado D paralelo a la recta r: Pendiente de r es. Ecuación de lado D : y + (x ) y x 8 x y 8 0 s r D(, ) c) El vértice es el punto de corte de r y D : x y + 0 x + y y 9 0 y Vértice : punto de corte de r y s: x y + 0 x + y 0 x y + 0 x 8y 0 0 x y + 0 x 8y y y x x x + 0 x

17 7 Pág. 7 Vértice : punto de corte de s y D : x +y 0 x y 8 0 9x 5 0 x 5 Los vértices del paralelogramo son: (, ), (, ), (5, ) y D(, ) 6 a) Escribe la ecuación de una recta r que es paralela al eje OY y que pasa por el punto (, ). b) Halla el punto de corte de r con la recta: x + y 7 0 a) Por ser r paralela al eje OY su ecuación es de la forma x k; como pasa por (, ) x x + 0 b) Se resuelve el sistema formado por ambas ecuaciones: x + y 7 0 x + 0 El punto de corte es (, ). 7 Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto (, ) y uno de sus diámetros es el segmento de extremos (0, ), (, 0). La distancia entre los puntos (0, ) y (, 0) es: d ( 0) + (0 ) 5 5 El radio de la circunferencia es r 5. Su ecuación es: ( x ) +(y ) ( ) x + 9 x + y + y 5 x +9 x + y + 6 6y 5 x + y x 6y 0 8 Representa la circunferencia (x ) + ( y ) 5 y di en qué se transforma mediante cada uno de los siguientes movimientos: a) Una traslación de vector t (, ). x + y 0 8x y y 7 0 y 6 y b) Un giro de centro (, 0) y ángulo 90. c) Un giro de centro (, ) y ángulo y 8 0 y

18 7 Pág. 8 d) Una simetría de eje y 0. e) Una simetría de eje y x. f) Una simetría de eje y x. Es una circunferencia de centro (, ) y radio r 5. a) Mediante t (, ) se transforma en una circunferencia de centro (7, 7) y radio 5. (, ) b) El centro se transforma en el punto (7, 0). Su radio sigue siendo de 5 unidades. c) Se transforma en sí misma. d)el centro se transforma en el punto (, ); el radio es de 5 unidades. e) ircunferencia de centro (, ) y radio 5. f) Se transforma en sí misma. 9 Di en qué se transforma el eje Y según cada uno de los movimientos descritos en el ejercicio anterior. a) Recta x b) Recta y c) Recta que se observa en el gráfico. d)eje Y e) Eje X f) Recta y Halla el transformado del triángulo de vértices (7, ), (8, 7), (, 5) mediante la transformación T T, siendo T y T las traslaciones de vectores t (6, ) y t (, ). T () T ( ) donde (0, ), (, ) y (7, 0) T T resulta ser una traslación de vector t +t (, 5)

19 7 Pág. 9 PROFUNDIZ 5 Halla el transformado del mismo triángulo del ejercicio anterior mediante la transformación G G, siendo G y G los giros de centro O(0, 0) y ángulos α 0 y α 0. El giro G G es otro giro, G, de centro O(0, 0) y ángulo α + α 90. ' ' ' 90 5 a) Transforma el segmento de extremos M(, 5), N(, ) mediante la transformación S S, siendo S y S las simetrías de ejes e : el eje X, e : el eje Y. b) Transforma MN mediante la transformación S S, siendo S la simetría de eje e : y. a) S N N' M N'' S Resulta, mediante S, el segmento de extremos M'(, 5), N'(, ), y aplicando a M'N' la simetría S, obtenemos el segmento M"N" de coordenadas M" (, 5) y N" (, ). M'' M' b) M N N'' N' S En este caso obtenemos el segmento de extremos M"( 5, 5) N"(, ). M'' S : y M' 5 Tenemos una traslación T(t ): t (6, 0), y un giro G(, α): (, ), α 90. Vamos a demostrar que la transformación M G T es un giro G' de centro O(0, 0) y ángulo α 90. a) P(, 0). Halla P' T(P), P'' G(P') y comprueba que P'' G'(P).

20 7 Pág. 0 b) Halla dos simetrías S y S de modo que el eje de S pase por (centro del giro G) y tales que T S S. c) Halla S de modo que G S S siendo S la misma del apartado anterior. d) Observa que: M G T (S S ) (S S ) S (S S ) S S I S S S Justifica cada paso de la igualdad anterior. e) Puesto que M S S, qué tipo de transformación es M? Observa que hemos probado que el resultado de componer una traslación con un giro es otro giro. a) P' T(P) (, 0) P" G(P' ) G(, 0) (0, ) G'(P) G'(, 0) (0, ) P O t 90 P' 90 P'' b) P S S t P' S : eje Y S : x T S S c) S S S G S 5 d)la composición de una simetría por sí misma es la identidad, y S I I S S. e) M es un giro.