TEMA 4. TRIGONOMETRÍA.

Transcripción

1 TEMA 4. TRIGONOMETRÍA Semejanza. - Criterios de semejanza de triángulos. - Teorema del cateto. - Teorema de la altura Razones trigonométricas. - Razones trigonométricas de un ángulo agudo. - Relación entre las razones trigonométricas. - Razones trigonométricas de 30, 45 y Razones trigonométricas con la calculadora Resolución de triángulos rectángulos. 4.4 Medida de ángulos. - Grados y radianes. - Ángulos positivos y negativos. - Ángulos mayores que 360º Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. - La circunferencia goniométrica. - Reducción al primer cuadrante Resolución de triángulos cualesquiera. - Teorema del seno. - Teorema del coseno. - Resolución de triángulos.

2 4.1. Semejanza. Una definición informal de semejanza es: dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma. Siendo más rigurosos: dos figuras son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son iguales y sus segmentos correspondientes son proporcionales. A la relación entre sus segmentos correspondientes (que son proporcionales) se le llama razón de semejanza. En este caso la razón de semejanza entre los dos triángulos será: Una razón de semejanza muy usada es la escala, que es el cociente entre la longitud de la reproducción (plano, mapa, maqueta, ) y la correspondiente longitud en la realidad.

3 Criterios de semejanza de triángulos Primer criterio. Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales. Segundo criterio. Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales. Tercer criterio. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. 1. Son semejantes las siguientes parejas de triángulos? Qué criterio aplicas para deducirlo? 2. Haz lo mismo que en el ejercicio anterior para los triángulos: 3. Cuánto miden a y b? Cuál es su razón de semejanza?

4 4. Si MC = 4,8 cm y CB = 8,4 cm, halla las longitudes de AM y MN 5. Son semejantes los siguientes triángulos rectángulos? 6. Si la razón de semejanza entre dos figuras es k, entonces la razón entre sus perímetros es. Razona la respuesta. 7. Los lados de un rectángulo miden 3 y 5 cm. Halla las medidas de otro rectángulo semejante al anterior y que tiene 40 cm de perímetro. 8. Si la razón de semejanza entre dos figuras es k, entonces la razón entre sus áreas es. Razona la respuesta. 9. Los lados de un rectángulo miden 3 y 5 cm. Halla las medidas de otro rectángulo semejante al anterior y que tiene 21,6 cm² de superficie. 10. Por qué son semejantes los triángulos APQ y ABC? Calcula x 11. Sabiendo que AB y CD son paralelos, son semejantes los triángulos OAB y OCD? Calcula x e y.

5 12. Si un árbol que mide 5 m de altura a una determinada hora del día proyecta una sombra de 6m y la sombra de un edificio a esa misma hora es de 10, cuál es la altura del edificio? 13. Halla el valor de x: 14. Las distancia entre dos ciudades es de 420 km. Halla la distancia que las separa en un mapa realizado a escala 1 : En un mapa a escala 1 : la distancia entre dos puntos es de 6 cm, Cuál es su distancia real? 16. En un triángulo ABC el ángulo = 90 y AC = AB = 3 cm. En otro triángulo A B C se tiene que y cm. Son semejantes? Por qué? 17. Son semejantes los triángulos interior y exterior de un cartabón? Razona la respuesta. Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Teorema del cateto. El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. Teorema de la altura. El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

6 18. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los cateos sobre la hipotenusa miden 12,8 y 7,2 cm, respectivamente. Halla la medida de la altura sobre la hipotenusa y las medidas de los catetos. 19. En un triángulo rectángulo un cateto mide 7,5 cm y su proyección sobre la hipotenusa mide 2,4 cm. Halla la longitud de la hipotenusa. 20. Si los catetos de un triángulo miden 27 y 36 cm, respectivamente, halla las medidas de la hipotenusa, de las proyecciones de los catetos sobre ella y de la altura trazada sobre dicha hipotenusa. 21. Si en un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 40 cm y un cateto 24 cm, halla el otro cateto, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y la altura sobre ella. 22. Halla los lados desconocidos: 23. Halla x e y en los siguientes triángulos: 24. Halla el área y el perímetro de :

7 4.2. Razones trigonométricas. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Dado un triángulo rectángulo, se definen las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) para sus ángulos agudos de la siguiente manera: 1. Completa: 2. A partir del triángulo calcula el seno, el coseno y la tangente de los dos ángulos agudos: 3. A partir del siguiente triángulo, completa:

8 4. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos: Relación entre las razones trigonométricas. 5. Demuestra las dos igualdades anteriores. Se definen también las siguientes razones trigonométricas: Y las siguientes fórmulas trigonométricas: Razones trigonométricas de 30, 45 y a) Define las razones trigonométricas de 45 a partir de un triángulo rectángulo isósceles. b) Define las razones trigonométricas de 30 y 60 a partir de un triángulo equilátero.

9 7. Completa la siguiente tabla: Seno Coseno Tangente Razones trigonométricas con la calculadora. Para hallar el seno de 34 tecleamos sin 34 = Para hallar el ángulo cuyo coseno es 0,32 se teclea SHIFT cos 0.32 = = Para escribir los ángulos en forma compleja e incompleja se usa la tecla Por ejemplo: para escribir se teclea , y para que nos aparezca en forma incompleja teclea SHIFT 8. Halla con la calculadora el valor de las siguientes razones trigonométricas: a. b. sen 35 d. cos 35 e. sen 65 g. sen 60 j. sen 22,5 cos 75 h. cos 30 12' k. cos 72,4 c. tg 35 f. tg89 12'23' ' i. tg5 56'43' ' l. tg Halla con la calculadora el ángulo agudo que cumple: a. 2 sen d. sen g. 2 2 cos j. sen b. cos e. cos 0. 7 h. cos k. cos c. tg 1 f. tg 1, 5 i. tg 4, 2 l. tg 3, a) Si es un ángulo agudo y cos =0,4, cuánto valen seno y tangente? b) Si a es un ángulo agudo y tg a = 0,4, cuánto valen seno y coseno?

10 c) Si es un ángulo agudo y sen 0. 2, cuánto valen coseno y tangente? d) Si es un ángulo agudo y tg 5, cuánto valen seno y coseno? 1 e) Si es un ángulo agudo y cos cuánto valen seno y tangente? 3 f) Sabiendo que g) Sabiendo que sen 21 y que 0 90, halla su coseno y su tangente. 5 4 tgα, calcula su seno y su tangente a) Si el coseno de un ángulo vale 0,72, De qué ángulo se trata? Cuánto vales su seno y su tangente? b) Si el seno de un ángulo vale 0,72, De qué ángulo se trata? Cuánto vales su coseno y su tangente? c) Si la cotangente de un ángulo vale 9, halla las demás razones trigonométricas. 12. Existe algún ángulo tal que y? 13. Existe algún ángulo cuyo seno sea 2? Y cuyo coseno sea 1,25? Razona las respuestas. 14. Calcula el seno y el coseno de un ángulo agudo cuya tangente vale 0, Calcula el seno y la tangente de un ángulo agudo cuyo coseno vale 0,552.

11 4.3. Resolución de triángulos rectángulos. 1 er caso: Dados los dos catetos. Por Pitágoras: Aplicando la definición de tangente, sabemos que B=90-36,86 = 53,14 2º caso: Dado un cateto y la hipotenusa. Por Pitágoras: Aplicando la definición de seno, sabemos que C=90-41,81 = 48,19 3 er caso: Dados un ángulo agudo y un cateto. B = = 50 Aplicando la definición de coseno, sabemos que Por Pitágoras: 4º caso: Dados un ángulo agudo y la hipotenusa. B = = 60 Aplicando la definición de seno, sabemos que Por Pitágoras:

12 Resuelve los siguientes triángulos rectángulos: 1. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41. Resolver el triángulo. (El ángulo recto es C) 2. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54. Resolver el triángulo. (El ángulo recto es C) 3. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo. (El ángulo recto es C) 4. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo. (El ángulo recto es C) 5. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 54. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo. 6. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 20 cm y sus ángulos iguales 35 Cuál es su área? 7. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula la longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos. 8. Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y sus ángulos. 9. Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40. A qué distancia del poste sujetaremos el cable? Cuál es la longitud del cable? 10. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento. 11. El diámetro de una moneda de 2 es de 2,5 cm. Halla el ángulo que forman sus tangentes trazadas desde una distancia de 4,8 cm del centro. 12. Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 60. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80. Halla la altura de la torre. 13. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30 y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de Halla la altura de la montaña: 15. Halla la altura del edificio

13 16. Sabiendo que HC = 650 m., A = 24 y B = 36, halla AB. 17. Halla PQ, si QR=15 m. P Q R 18. Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de de 40, y si se retrocede 4 metros se ve bajo un ángulo de 28 m. Halla la anchura del río y al altura del árbol. 19. La diagonal mayor de un rombo mide 8 cm y forma con cada lado contiguo yb ángulo de 26. Cuánto mide el lado del rombo? 20. Halla la el área de un triángulo equilátero de 12 cm de lado. 21. Halla la altura del triángulo: 22. Una persona situada a 1,33 m del extremo de un pozo de 9 metros de hondo ve su punto más profundo y alejado con un ángulo de depresión de 52 como se ve en la figura. Calcula la anchura del pozo. 23. Halla el área de los siguientes triángulos:

14 4.4 Medida de ángulos. Grados y radianes. Se define un radián como la medida del ángulo cuyo arco es igual a su radio. Mediante una sencilla regla de tres que nos relacione la longitud de la circunferencia con su amplitud se demuestra que Y además: 1. Pasa a radianes los siguientes ángulos: 30, 45, 60, 90, 135, 180, 225, 270 y Pasa a grados los siguientes ángulos:,, y 3 rad. Ángulos positivos y negativos. Se considera un ángulo positivo cuando se mide en sentido antihorario; y un ángulo se dirá por tanto que es negativo cuando está medido en sentido horario. Si los ángulos se miden en una circunferencia, siempre se hace desde el semieje positivo de abscisas, con lo que Cualquier ángulo negativo puede expresarse como un ángulo positivo sin más que sumarle 360, como se aprecia en el ejemplo siguiente:

15 3. Con qué ángulos positivos se corresponden cada uno de estos ángulos negativos? -45, -60, -90, -135, -120, Ángulos mayores que 360º. Si un ángulo es mayor que 360 se puede reducir a un ángulo comprendido entre 0 y 360 sin más que restarle 360 las veces que sea necesario. 4. Con qué ángulos menores que 360 se corresponden los siguientes ángulos? 450, 390, 765, 585, 1140, 500, 1200 y 420.

16 4.5. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. La circunferencia goniométrica. En un sistema de coordenadas, con centro en el origen se traza una circunferencia de radio 1. Cada punto P(x,y) de la circunferencia define un ángulo trazando la semirrecta que parte de O y pasa por P. Además se puede trazar triángulo rectángulo OQP que tiene un ángulo agudo. En este triángulo, usando las definiciones se tiene que: Es decir, puedo definir el coseno del ángulo, como la proyección del punto P(x,y) sobre el eje de abscisas y el seno de ángulo sobre el eje de ordenadas. Por tanto las coordenadas del punto P son. como su proyección Hasta ahora solo se han definido las razones trigonométricas para ángulos agudos, pero con la definición anterior se puede generalizar para cualquier ángulo. 1. A partir de la circunferencia goniométrica halla el seno, el coseno y la tangente de 0, 90, 180, 270 y 360.

17 Reducción al primer cuadrante Hallemos las razones trigonométricas de un ángulo del segundo cuadrante. Para ello comparamos con un ángulo del primer cuadrante, en nuestro caso como se ve en el gráfico es Por tanto estos dos ángulos tienen el mismo seno y sus cosenos son números opuestos. 2. Halla seno, coseno y tangente de 135, 120 y 150., 225, 240, 300, 210, 315 y 330 comparándolos con un ángulo del primer cuadrante. 3. Sabiendo que y que. Calcula su coseno y su tangente. Veamos qué ocurre si el ángulo está en el tercer cuadrante. Para ello comparamos con un ángulo del primer cuadrante, en nuestro caso como se ve en el gráfico es Por tanto, como se ve en el gráfico el seno y el coseno de estos dos ángulos son números opuestos. 4. Halla seno, coseno y tangente de 225, 240 y Sabiendo que y que. Calcula su seno y su tangente. Igualase procede si el ángulo está en el cuarto cuadrante: En este caso los ángulos cambia de signo. y, tienen el mismo coseno y el seno 4. Halla seno, coseno y tangente de 300, 315 y Sabiendo que y que. Calcula su seno y su tangente.

18 6. Halla los ángulos que cumplen las siguientes condiciones: 1. sen ( ) = 0,35, y cos ( ) = 0,25 y , 3. tg ( ) = -1,4 y sen ( ) = 0,43 y tg ( ) = 2 y tg( ) = -3 y cos( ) = -0,5 y tg( ) = 4.5 y sen ( ) = -0,21 y er 3 cuadrante

19 4.6. Resolución de triángulos cualesquiera. Teorema del seno. En un triángulo de lados a, b y c y ángulos se verifica que: Teorema del coseno. En un triángulo de lados a, b y c y ángulos se verifica que: Resolución de triángulos. Resuelve los siguientes triángulos:

20 Resuelve los siguientes triángulos no rectángulos: 1. En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65 y el ángulo en C es de 80. A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio? 2. Dos de los lados, a y b, de una finca de forma triangular miden 20 m y 15 m, respectivamente. El ángulo comprendido entre estos dos lados es de 70.Si deseáramos vallar la finca, cuántos metros de valla necesitaríamos? 3. Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de 110. Al cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial y el segundo barco, a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, a qué distancia se encuentra un barco del otro? 4. Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de Un compás tiene dos patas de 10 cm de largo. Qué ángulo forman si al abrirlo se traza una circunferencia de 10 cm de diámetro? 6. Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia de AB es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es de 50, y el ángulo en A es de 75. Cuál es la distancia entre B y C? Y entre A y C? 7. Una rampa de 40 m. de longitud y 10 de inclinación conduce al pie de una estatua. Calcula la altura de ésta sabiendo que en el inicio de la rampa el ángulo de elevación del punto más alto de la estatua es de A qué altura se encuentra el OVNI? 9. Cuál será la altura máxima del puente?

21 10. Entre los puntos A y B de la figura hay un barranco. Se sabe que AP=114 m, BP=100m y APB=50. Halla la distancia entre A y B 11. Si AB=700 m, halla la distancia entre el pico I y el pico II. 12. ACD=80, BCD=43, BDC=32 y ADC=23. Halla AB. 13. Halla la altura de la torre si OPA=67, OQA=70, OQB=66 y PQ=12,5 m.

22 14. La torre de Pisa forma un ángulo de 8,3 con la vertical. El ángulo de elevación desde el punto A hasta la parte superior de la torre es de 42 cuando la sombra proyectada es de 28 m. Halla al altura de la torre y la distancia BC, que es su longitud. 15. Las diagonales de un rectángulo se cortan formando un ángulo de 60. Uno de sus lados mide 6 cm. Halla la longitud del otro. 16. Las diagonales de un paralelogramo miden 6 cm y 14 cm respectivamente, y forman un ángulo de 75. Halla las longitudes de los lados y los ángulos del paralelogramo,