SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

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1 SOLUIONES LOS EJERIIOS E L UNI ág. 1 ágina 16 RTI Semejanza de figuras 1 uáles de estas figuras son semejantes? uál es su razón de semejanza? La primera y la cuarta son semejantes, porque todos los lados de la primera figura miden el doble de los de la segunda figura. opia en una hoja de papel cuadriculado estas dos figuras. Modifica la de la derecha para que sean semejantes. 3 En un mapa cuya escala es 1: , la distancia entre dos ciudades es,5 cm. a) uál es la distancia real entre ellas? b) uál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades y cuya distancia real es 360 km? a) omo la escala es 1: , cada centímetro en el mapa corresponde a cm en la realidad, que equivalen a 15 km.,5 cm en el mapa serán:, ,5 km en la realidad. b) cm Una fotografía de cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco de,5 cm de ancho. Son semejantes los rectángulos interior y eterior del marco? Responde razonadamente.

2 SOLUIONES LOS EJERIIOS E L UNI ág. El rectángulo eterior es de 1 cm de ancho y 11 cm de alto.,5 cm ara que los rectángulos sean semejantes, los lados correspondientes han de ser proporcionales: mbos rectángulos no son proporcionales. 6 cm cm,5 cm 5 Hemos dividido en cuatro partes iguales el lado mayor del rectángulo y en tres partes iguales el lado menor. a) Es semejante cada uno de los doce rectángulos obtenidos con el inicial? b) Si dividimos los dos lados en tres partes iguales, obtendríamos rectángulos semejantes? a) No, porque los lados mayores están en la relación 1/, y los menores, en 1/3. b) En este caso sí. La razón de semejanza es 1/3. 6 a) opia en tu cuaderno esta figura y redúcela a 1/3 de su tamaño tomando como punto de proyección. b) mplíala al doble tomando O como punto de proyección. O a) b) '' ' O ' ' '' O '' ''

3 SOLUIONES LOS EJERIIOS E L UNI ág. 3 7 En una oficina de venta de pisos han hecho este plano a escala 1/50. SLÓN OMEOR a) alcula las dimensiones reales del salón y su área. b) Halla las dimensiones de la mesa y del sillón. Te parecen razonables? Es posible que los vendedores hayan dibujado los muebles para dar la sensación de que la habitación es más grande de lo que realmente es? a) ada centímetro del plano equivale a 0,5 m en la realidad. imensiones del salón: (6 0,5 m) ( 0,5 m) 3 m m Área del salón: 6 m b) Mesa: (0,75 0,5 m) (1,55 0,5 m) 0,375 m 0,775 m odemos considerar (por errores de medición) que la mesa mide: 0, m 0,8 m, es decir, 0 cm 80 cm. Sillón : (0,7 0,5 m) (0,65 0,5 m) 0,35 m 0,35 m 35 cm 3,5 cm Las medidas no son razonables en absoluto: un salón de 6 m es una estancia algo pequeña. En una mesa de 0 cm 80 cm no caben, se apoyen como se apoyen, seis comensales y, para finalizar, en un sillón de estas medidas no hay quien se siente. onclusión: el plano está hecho hábilmente para engañar al comprador. Semejanza de triángulos 8 os triángulos y ''' son semejantes y su razón de semejanza es /3. alcula los lados del triángulo ''' si sabemos que 1 m, m y 7,5 m Si son semejantes se cumple que: '' '' '' 3 3 3

4 SOLUIONES LOS EJERIIOS E L UNI ág. '' '' 1 8 m '' '' 6 m 3 3 '' '' 7,5 5 m 7,5 3 3 ágina 17 En la figura adjunta, MN es paralelo a. alcula M y MN. 1 cm 6 cm N M 8, cm,8 cm Los triángulos NM y están en posición de Tales. Tenemos, pues, las siguientes igualdades: MN N M 8, MN 8, 1 5,6 MN 5,6 cm MN N MN 1 18 Llamamos M: MN 8, 5,6 8, 5,6(,8 + ) M,8 + 8, 5,6 6,88 6,88,6,8 Luego M,6 cm. 10 a) or qué son semejantes los triángulos Q y? b) alcula Q. a) El ángulo ^ es común a los dos triángulos y los ángulos ^ y ^ son rectos, luego los ángulos Q^ y ^ son iguales. or lo tanto, ambos triángulos son semejantes. b) or ser triángulos semejantes: Q 7 cm 5 cm Q 3 cm

5 SOLUIONES LOS EJERIIOS E L UNI ág. 5 alculamos aplicando el teorema de itágoras: cm cm ,75 Q 5 8,75 cm 11 Sabemos que: 7 cm, 13 cm, cm y ' 1 cm. ' Traza paralelas a ' desde y desde y calcula '' y ''. 7 cm 6 cm 11 cm 1 cm ' ' ' 7 1 '' ,8 '' 10,8 cm '' 6 '' 7 '' '' 10, ,85 '' 18,85 cm '' 6 ' 1 Observa esta figura, en la que el segmento es paralelo a. a) i por qué son semejantes los triángulos O y O. b) alcula e y. 7, cm 10,6 cm 8,5 cm 6 cm O y a) omo //: ^ ^, ^ ^, O^ es común (O^' O^'' ). Los ángulos de ambos triángulos son iguales, luego los dos triángulos son semejantes.

6 SOLUIONES LOS EJERIIOS E L UNI ág. 6 b) onemos los triángulos en posición de Tales: 7, O O 8,5 6 O 7, 6 5,08 cm 8,5 7, 5,08 O 10,6 y y O y 5,08 10,6 7, 7,8 cm 13 Estos dos triángulos tienen sus lados paralelos. uánto miden los lados a y b? 3 m b 7 m 18 m m a omo los lados respectivos son paralelos: ^ ^', ^ ^', ^ ^' y los triángulos son semejantes. '' a a 7 1 m a 1 m '' '' 1 b 18 7,71 m b 7,71 m '' 18 b 1 1 En un triángulo, la base mide 5,7 m y la altura relativa a esa base mide,5 m. uánto mide el área de otro triángulo semejante a en el que '',1 m? omo son semejantes: h 5,7,5 h',5,1 6, m '' h',1 h' 5,7 La altura mide 6, m. or tanto, el área pedida es: 6,,1 1,83 m 15 Si es paralelo a E, y 15 cm, E 11 cm, 6, cm: 37 a) alcula. b) odemos saber cuánto vale E sin medirlo directamente? c) Si 37 y 80, calcula E, y. 80 E

7 SOLUIONES LOS EJERIIOS E L UNI ág. 7 Los triángulos E y son semejantes, luego: a) E ,,7 cm 15 6, 15 b) No se puede. c) ^ 37, ^ 80 E^ ^ ^ 37 ^ E^ Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden 8 cm y 13,6 cm, respectivamente. Si el área del primero es 6 cm. uál es el área del segundo? Si la razón de semejanza entre dos triángulos es k, la razón entre sus áreas es k. Razón entre áreas 13,6 ( ) (1,7),8 8 primero 6 cm ',8 ',8 6 75,1 cm 6 El área del segundo triángulo mide 75,1 cm. 17 i cuál es la relación entre los radios de dos círculos si la razón entre sus áreas es 16/. 16 R 16 ' r 3 Teorema del cateto y de la altura En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos se ha trazado la altura H sobre la hipotenusa. Halla, en cada caso, los segmentos e y. 18 or el teorema del cateto: y H y (,1 + 7,8) 7,8 77, y 77, 8,7 H (,1 + 7,8),1 0,7 0,7,56 y,1 7,8 H 1 or el teorema del cateto: 3,,8 3,,13,13,8 z,8,13,67 or el teorema de la altura: y z y,13,67 5,68 y,38 3, y H,8 z

8 SOLUIONES LOS EJERIIOS E L UNI ág. 8 ágina 18 0 or el teorema de la altura: y 1 or el teorema del cateto: H y ( + ) y 0 IENS Y RESUELVE 1 ibuja en tu cuaderno dos semirrectas r y s con el mismo origen. Señala en r tres puntos, y tales que cm, 7 cm y 1 cm. Señala en s un punto ' tal que ' 5 cm. Traza la recta ' y las paralelas a ella desde y desde. (ortan a s en ' y ', respectivamente). alcula '' y ''. 5 cm cm 3 cm 7 cm ' ' ' '' 3 '' 5 '' '' 3,75 cm 7 5 '' '' '' 8,75 cm ' En dos paralelogramos y EFGH conocemos 1 cm, cm, EF cm y FG 18 cm. Estudia si son semejantes. y EF HG y FG EH 1 cm cm por ser paralelogramos los lados están en la proporción 1/: 1 EF FG E cm F ero no podemos asegurar que los ángulos 18 cm correspondientes sean iguales. No tienen por qué ser semejantes. H G

9 SOLUIONES LOS EJERIIOS E L UNI ág. 3 El perímetro de un triángulo isósceles es 6 m y el lado desigual mide 1 m. alcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es de 6 m. a + b b 6 b 5 m omo los triángulos son semejantes: a' 1 a' b' 5 1b' 5 ' a' + b' 6; ' 1b' + b' 6 5 1b' + 50b' 00 b' 37,5 m a' 1 m b b h' 37,5 (1/) 36 m Área m b' a 1 m a' b' os triángulos y QR son semejantes. Los lados del primero miden m, 8 m y 3 m. alcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 1 m m; ' 1 m a' b' c' a' 36 m, b' m, c' 51 m 5 Las áreas de dos triángulos isósceles semejantes son 8 m y 108 m. Si el lado desigual del primer triángulo es 1 m, cuál es el perímetro del segundo? Si la razón de semejanza entre los lados de un triángulo es k, la razón entre sus áreas es k. k 108,5 k 1,5 8 a h c b' 1 1,5 18 m b 1 m b h 1 h 8 h 8 m a' h' c' h' 1,5 8 1 m (h') + ( ) b' a' m c' ' a' + b' + c' 30 m + 18 m 8 m b' 6 (ESTÁ RESUELTO EN EL LIRO).

10 SOLUIONES LOS EJERIIOS E L UNI ág En el triángulo, rectángulo en, conocemos H 18 cm y H 3 cm. a) alcula H en el triángulo. Obtén después. H b) on el teorema de itágoras, obtén en el triángulo H y en el triágulo H. c) plica el teorema del cateto en el triángulo rectángulo H para obtener. d) Halla el área y el perímetro del trapecio rectángulo H. a) or el teorema de la altura: H H H 18 H 3 H 10,15 cm H + H ,15,15 cm b) H + H ,15 18 cm 0,65 cm ,71 cm H c) H H 18 8,83 cm 36,71 3 cm d) H H 18 8,83 H 15,6 cm erímetro (H) H + H ,5 cm Área (H) H + 15,6 + 0,65 8,83 160, cm 8 uál es la altura de una casa que proyecta una sombra de 68 m, al mismo tiempo que una persona de 1,65 m de altura proyecta una sombra de m? H h 68 h h 56,1 m 1,65 La casa tiene una altura de 56,1 m. 1,65 m m 68 m

11 SOLUIONES LOS EJERIIOS E L UNI ág. 11 ara calcular la altura de un árbol, Eduardo ve la copa reflejada en un charco y toma las medidas que indica el dibujo. uál es la altura del árbol? mbos triángulos son semejantes: 1,6 5, 1, 1, 1, m La altura del árbol es de 5, m. 1,6 m O m ágina 1 30 ara medir la altura de la casa, Álvaro, de 165 cm de altura, se situó a 1,5 m de la verja y tomó las medidas indicadas. uánto mide la casa? a 3,5 1,65 1,85 m h a 5,5 + 1,5 1,5 h 1,85 h 7 1,85 1,5 33,3 m La altura de la casa es: 33,3 + 1,65 3,5 m 31 ibuja un triángulo y, desde cada vértice, traza una recta paralela al lado opuesto. sí obtendrás un nuevo triángulo más grande. a) Justifica por qué es semejante al inicial. b) uál es la razón entre las áreas? a) omo a//a' y b//b', entonces α α'. b' omo b//b' y c//c', entonces β β'. or tanto, γ γ'. Los tres ángulos del triángulo grande son iguales a los respectivos del triángulo pequeño. mbos triángulos son semejantes. γ' a' c β α b α' a γ c' β' b) Si la razón entre los lados es k, la razón entre las áreas es k.

12 SOLUIONES LOS EJERIIOS E L UNI ág. 1 3 uál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,5 m y alejándote 0,5 m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo? E Los triángulos y E son semejantes. 1,7 m 1,5 0,5 E 1,5 m h 1,7 0,5 m h 1,7 1,5 5,1 m 0,5 h La profundidad del pozo es 5,1 m 33 Si una plancha cuadrada de plástico de 3 m de lado pesa 1 kg, cuánto pesará otra plancha, de igual material y grosor, de m de lado? 3 m m m Razón de semejanza: Razón entre áreas: 3 1 kg 5,3 kg pesa la plancha de m de lado. 3 m 3 Las diagonales de un rombo miden 1 cm y 16 cm. Halla el área de otro rombo semejante al primero, cuyo perímetro sea igual a 1 m. a cm 0 cm ' 100 cm Razón 0 0, 100 d 1 6 cm 8 6 a 16 cm Razón entre áreas (0,) 0,16 6 ' 0,16 ' cm 0,16 1 cm 35 Esta figura representa, a escala 1:3 500, una parcela de terreno. alcula su perímetro y su área, tomando las medidas necesarias.

13 SOLUIONES LOS EJERIIOS E L UNI ág. 13 Tomamos las medidas sobre el plano de la parcela: MEI EN EL LNO erímetro 36 m Área h 6 10,75 m MEI REL 3, cm 136,5 m 3, cm 11 m 3,1 cm 108,5 m h,6 cm 1 m 3, cm 3,1 cm,6 cm 3, cm ROFUNIZ 36 Las diagonales de un rombo miden: 3 cm y cm. or un punto de la diagonal menor, tal que 6 cm, se traza una paralela a la diagonal que corta en M y N a los lados y. alcula el área y el perímetro del pentágono MN. alculamos el área del triángulo MN: cm O 1 6 M 16 6 O 8 M 16 M 1 El área del triángulo MN es el doble del triángulo M: cm El área del rombo es: R 3 38 cm El área del pentágono MN es: R cm alculamos M: M M cm El perímetro es: cm 37 En un trapecio rectángulo la diagonal menor es perpendicular al lado oblicuo, la altura mide 1 cm y la diferencia entre las bases es de cm. alcula el perímetro y el área del trapecio. alculamos por el teorema de la altura: cm 1 O cm 1 cm M N 6 a 3 cm

14 SOLUIONES LOS EJERIIOS E L UNI ág. 1 alculamos a por el teorema del cateto: a (16 + ) 5 a 5 15 cm El perímetro es: cm El área es: cm 38 Los lados del triángulo miden 35 cm, cm. esde un punto M de se traza una paralela a, que corta al lado en un punto N. uál debe ser la longitud de M para que el área del triángulo MN sea 1/ de la del triángulo? ara que la razón entre las áreas sea 1, la razón entre los lados debe ser cm M 35 17,5 cm 35 cm N cm 35 cm M 3 Queremos calcular la distancia que hay desde un punto de la playa a una piedra que se ve a lo lejos. ara ello, trazamos una recta r que pase por y una paralela a ella, s. esde observamos en una línea que corta en a s. esde otro punto de r, hacemos lo mismo y obtenemos. Medimos: 7,5 m, 5 m, 57,5 m. s r uál es la distancia de a? s r 57,5 m 7,5 7,5 m 5 m Tenemos dos triángulos en posición de Tales: 5 5,5 57,5 57,5 7,5 1,5,5,5 5 m 1,5 La distancia de a es 5 m.

15 16 SOLUIONES LOS EJERIIOS E L UNI ág Si F cm, cuál es el área y el perímetro del trapecio EF? E cm F 10 cm cm or semejanza de triángulos: F 10 E,6 cm E E 10 El área del triángulo es: cm El área del triángulo FE es: F E,6 1, cm El área del rectángulo es: R 0 cm El área del trapecio es: R , 100,8 cm alculamos la longitud de los lados del trapecio: FE F + E +,6 10, cm cm F 10 6 cm E,6 1, cm El perímetro del trapecio es 10, , 56,8 cm. 1 a) Son semejantes dos ortoedros de dimensiones y 35 1? b) Halla la razón de semejanza entre sus aristas. c) uál es la razón entre sus volúmenes? Qué relación tiene con la razón de las aristas? a) ara que sean semejantes, los lados respectivos han de ser proporcionales: '' '' 15 5 La relación de proporcionalidad es la misma en los 1 7 tres cocientes. Los dos ortoedros son semejantes. E'' 35 5 E 7

16 SOLUIONES LOS EJERIIOS E L UNI ág. 16 E E' ' cm 35 cm ' 5 cm ' ' 15 cm 35 cm 1 cm b) r 5 7 c) El volumen del ortoedro es: El volumen del ortoedro es: V cm 3 V cm 3 La razón entre los volúmenes es: V r V Tenemos que r y r V ( ) 3 Luego: r V r V