13 LONGITUDES Y ÁREAS

Transcripción

1 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 Calcula el perímetro de las siguientes figuras., cm cm cm a) p, b) p 9 cm 1. Halla el perímetro de estas figuras. a) Un cuadrado de 6 centímetros de lado. b) Un triángulo isósceles cuya base mide 5 centímetros, y cuyos lados iguales miden 8 centímetros. c) Un pentágono regular de centímetros de lado. a) Perímetro 6 cm b) Perímetro cm c) Perímetro 5 0 cm 1. Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden lo siguiente. a) y centímetros, respectivamente. b) 6 y 8 centímetros, respectivamente. a) Por el teorema de Pitágoras: a b c a a 5 a 5 b) Por el teorema de Pitágoras: a b c a = 6 8 a 100 a cm 1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 centímetros, y un cateto, 1 centímetros. Cuánto mide el otro? Por el teorema de Pitágoras: a b c 1 1 c c c Es posible que en un triángulo rectángulo la hipotenusa mida centímetros, y cada cateto, 1 centímetro? Si el triángulo es rectángulo, debe cumplir el teorema de Pitágoras: a b c. Sustituyendo en la fórmula, se obtiene: 1 1 Como la igualdad que se obtiene es falsa, es imposible que el triángulo sea rectángulo.

2 1.6 Calcula la diagonal de estas figuras. a) Un rectángulo cuyos lados miden 1 y 5 centímetros, respectivamente. b) Un cuadrado de 6 centímetros de lado. a) Como la diagonal con los lados forma un triángulo rectángulo, se aplica Pitágoras: d 5 1 d 6 d 6 5,10 cm d 1 cm b) Como la diagonal con los lados forma un triángulo rectángulo, se aplica Pitágoras: d 6 6 d 7 d 7 8,9 cm d 6 cm 1.7 Halla la medida de la altura de estos triángulos. a) Equilátero, cuyo lado mide 10 centímetros. b) Isósceles, con la base de centímetros, y lados iguales de centímetros. Si se observa la figura: 6 cm B a) La altura h es BH, cateto del triángulo rectángulo AHB. Por ser equilátero, AH es el semilado de la base: cm h Utilizando el teorema de Pitágoras: a b c 10 5 c c c 75 8,66 cm A H C b) La altura h es BH, cateto del triángulo rectángulo AHB. B Por ser isósceles, AH es el semilado de la base: cm Utilizando el teorema de Pitágoras: h a b c c 9 c c 5, cm A cm H C 1.8 Calcula el área de estas figuras, tomando como unidad de medida el cuadrado de la cuadrícula. a) La superficie contiene 1 cuadrados. Por tanto, el área es de 1 unidades. b) La superficie contiene 1 cuadrados. Por tanto, el área es de 1 unidades. 1.9 Halla el área de las figuras del ejercicio 8, usando como unidad de medida el triángulo rectángulo. a) La superficie contiene 6 triángulos rectángulos. Por tanto, el área es de 6 unidades. b) La superficie contiene triángulos rectángulos. Por tanto, el área es de unidades.

3 1.10 Observa las siguientes figuras. Tienen la misma área? La superficie de ambas figuras contiene 5 cuadrados; por tanto, el área de las dos figuras coincide y es de 5 unidades Calcula el área de estas figuras en las que las medidas vienen dadas en centímetros. 6 a) A l A 16 cm b) A b h A 6 cm 1.1 Halla el área de la figura cuyas medidas vienen dadas en centímetros, descomponiéndola antes en rectángulos y cuadrados. 1 8 La figura se puede descomponer en un rectángulo y un cuadrado. 1 A rectángulo b h 1 8 cm A cuadrado l 16 cm A figura 8 cm 16 cm 6 cm 1.1 Halla el área de un paralelogramo de 5 centímetros de base y 0 milímetros de altura. Altura h 0 mm A b h Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan y 7 centímetros, respectivamente. Calcula su área. La base y la altura del triángulo rectángulo coinciden con sus catetos. A b a 7 10, 7 cm

4 1.15 Determina el área de cada triángulo formado a partir de la diagonal de un paralelogramo de metros de base y metros de altura. Expresa el resultado en centímetros cuadrados. El área de cada triángulo es la mitad del área del paralelogramo. A paralelogramo b h 1 m cm A triángulo = cm El área de cada triángulo es de cm Calcula el área de estos trapecios. cm 1 cm 6 cm 9 cm 8 cm 10 cm a) A B b h cm b) A B b h cm 1.17 Halla el área del siguiente trapecio. cm Se calcula la altura h, utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo señalado: La base es: 5 1 cm Entonces: h 1 h h 15,87 cm cm h A B b h 5,87 15,8 cm 1 cm

5 1.18 Halla por triangulación el área del trapezoide. 10 cm 8 cm Se puede descomponer en dos triángulos: uno isósceles cuyos lados iguales miden 6 cm y otro rectángulo de catetos 8 cm y cm. La hipotenusa de éste último es la base del primero. Por Pitágoras se calcula la base del triángulo isósceles: a 8 a 68 a 68 8, Para obtener la altura de este triángulo, se aplica de nuevo Pitágoras en el triángulo que tiene como hipotenusa uno de los lados iguales y como catetos, la mitad de la base y la altura: 6,1 h 6 17,06 h h 18,9, El área del triángulo rectángulo es: A r b a 8 8 cm Y el área del triángulo isósceles es: A i b a 8,5,5 17,9 cm El área del Entonces, el área del trapezoide es: A A i A r 17,9 8 5,9 cm 1.19 Halla el área de un decágono regular de 5 centímetros de lado y 9 centímetros de apotema. Se calcula el perímetro: p cm A p a Cuál es el área del pentágono regular de 8 centímetros de lado y 5 centímetros de radio? Se calcula la apotema utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo señalado. 5 a a a 9 Entonces, A p a n l a cm El área del pentágono es de 60 cm. a cm 1.1 Cuál es el área de un círculo de 10 metros de radio? A r 10 1,16 m 1. Calcula el área del círculo de la figura. cm El diámetro del círculo coincide con el lado del cuadrado, cm. Por tanto, el radio mide: r cm. A r 1,56 cm

6 1. Determina el área de la siguiente superficie. La figura está formada por dos semicírculos de 5 y cm de diámetro, respectivamente. Semicírculo de diámetro AB Semicírculo de diámetro BC A r,5 9,81 cm A r 1 1,57 cm El área de la figura es: A figura 9,81 cm 1,57 cm 11,8 cm A AB = BC = cm B C 1. Calcula el área de una corona circular formada por dos circunferencias concéntricas de radios 1,60 y 1,0 centímetros, respectivamente. A = (R r ) (1,60 1,0 ) 1,1, 1.5 En un círculo de decímetros de radio se considera un sector circular cuyo ángulo determinado es de 10. Cuál es su área? A r 6 n 0 10,19 dm Halla el área del segmento circular de la figura. El área del segmento circular se puede obtener restando al área del sector circular correspondiente el área del triángulo formado. A sector r 6 n ,07 cm A b a triángulo,50 cm El área del segmento circular es: A A sector A triángulo 7,07,50,57 cm 1.7 Calcula el área de la zona coloreada en verde. cm Se observa que se trata de un círculo donde se ha quitado un cuadrado: A círculo r 8,6 cm A cuadrado l cm Entonces, el área de la zona coloreada es: A A círculo A cuadrado 8,6,6 cm

7 1.8 Halla el área de la siguiente figura; todas las medidas están expresadas en metros. 1,5 La figura se puede descomponer en dos rectángulos y un triángulo. A rectángulo 1 b h 1,5,5 m A rectángulo b h 7 1 m A triángulo b h 1,5 m 7 1,5 1 1,5 El área de la figura es: A,5 m 1 m m 1,5 m 7