Unidad 6. Semejanza. Aplicaciones

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1 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 ágina Resuelve. Sabiendo que estadio 8 m, halla en kilómetros el radio de la Tierra que obtuvo Eratóstenes. ompáralo con la realidad: 6 7 km. Si a /0 del ángulo total le corresponde un arco de 000 estadios, al ángulo total le corresponden estadios. Esta es la longitud de la circunferencia terrestre. El radio R se obtiene así: πr 0000 R ,7 estadios m 76 km π. uánto mide el lado de la ciudad china? Llamamos a la medida, en pasos, del lado del cuadrado (ciudad). Los catetos del triángulo rectángulo que tiene el ángulo recto en la puerta norte, N, miden y 0 pasos. Este triángulo es semejante al grande, cuyos catetos miden 77 pasos y pasos. La semejanza de los dos triángulo permite poner: ± ± 4 Solo es válida la raíz positiva: 0 pasos.

2 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 Semejanza ágina. ara construir una carpa semiesférica para su maqueta, Gonzalo ha necesitado 40 cm de tela. Sabiendo que tiene un diámetro de 6 cm, calcula la superficie y el volumen de la carpa en la realidad. alculamos en primer lugar el volumen de la carpa, en maqueta: V esfera maqueta 4 πr 4 π 8 44,60 cm V carpa maqueta 44,60 : 07,0 cm or tanto: V carpa real V carpa maqueta cm 4 07, m S carpa real S carpa maqueta cm 0 00 m. La Estatua de la Libertad de Nueva York mide 0,6 m de los pies a la cabeza. Si con ella se reprodujo a una persona cuya estatura era de 70 cm, qué escala utilizaron para su construcción? 0,6 m 060 cm 060 cm de la escultura corresponden a 70 cm en la realidad. Escala 060 : 70 8 La escala es 8:; es decir, 8 cm en la escultura representan cm en la realidad.

3 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 Semejanza de triángulos ágina 7. Estamos en. Queremos calcular la distancia a un lugar lejano e inaccesible,. ara eso, señalamos otro punto próimo,, y medimos: m. Medimos también los ángulos ^ 46 y ^ 8. hora dibujamos en nuestro cuaderno un triángulo ''' con las siguientes medidas: ' ' mm, ^ ' 46, ^ ' 8. a) onstruye el triángulo ''' en tu cuaderno. b) Eplica por qué & ' ' ' es semejante a &. c) Mide ' ' con la regla. d) educe cuánto mide la distancia buscada,. a) Se construye el triángulo con las indicaciones dadas. b) Los triángulos son semejantes porque tienen dos ángulos iguales. c) ' ' mide unos 7 cm. d) Si llamamos : mm 70 mm 70 m m

4 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 La semejanza en los triángulos rectángulos ágina 9. En este triángulo rectángulo, calcula las longitudes h, m y n. 0 cm h cm m n En & aplicamos el teorema de itágoras: (m + n) 0 + (m + n) 6 m + n hora aplicamos el teorema del cateto. 0 cm h cm 0 ( m+ n) m 4 omo m + n : ( m+ n) n m n 0 m m cm n n 9 cm or último aplicamos el teorema de la altura: h m n h h cm. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 0 cm y,0 cm, respectivamente. alcula las medidas de los catetos y de la altura sobre la hipotenusa. plicamos el teorema del cateto a & : c b b (0 +,0),0 97,0 b 0,4 cm h c (0 +,0) 0 84 c 9 cm 0,0 ara calcular la altura sobre la hipotenusa de & utilizamos el teorema de la altura: h 0,0 44 h cm 4

5 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 4 plicaciones de la semejanza de triángulos ágina 0. alcula el volumen de un tronco de cono cuya altura es 9 cm y cuyas bases tienen radios de 0 cm y cm. a) Hazlo paso a paso, razonadamente. b) ompruébalo aplicando la fórmula anterior. a) cm 80 cm 9 cm cm V tronco π ( + 9) π 0 π ( ) 9,6 cm b) V tronco π ( ) 9 π 9 9,6 cm. alcula el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases son cuadrados. Lados de los cuadrados: 40 cm y 6 cm ltura: 9 cm 9 cm 6 cm cm cm 8 V tronco [40 (9 + 6)] (6 6) ( ) cm

6 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 ágina. Un globo sube 64 m sobre la superficie de la Tierra. verigua qué superficie terrestre se verá desde arriba. Hazlo de dos formas: a) Razonadamente, utilizando el teorema del cateto. b) plicando la fórmula anterior, para comprobar que la solución es correcta. c) qué altura hemos de ascender para ver eactamente el % de la superficie de la Tierra? (plica la fórmula). a) or el teorema del cateto: R (R h)(r + d ) donde: R radio de la Tierra 6 7 km d 64 m 0,64 km 67 (67 h)( ,64) h 67 67, ,64 km 67, 64 casquete πrh π 67 0,64 76, km b) casquete πr d R + d π 67 0, 64 7,76 km 6 7, 64 c) S tierra 4πR ,96 km % de S tierra ,48 km πr d R + d R + d πr d R d (πr ) d d , ,9 km π , 48 R πr 4. Un cohete se aproima a la Luna, cuyo diámetro, según sabemos, es de 00 km. a) verigua qué superficie de Luna se ve desde el cohete cuando se encuentra a 000 km de distancia. Hazlo razonadamente y comprueba el resultado aplicando la fórmula. b) qué distancia debe estar el cohete para poder asegurar que sus ocupantes pueden ver al 0 % de la superficie de la Luna? (plica la fórmula). a) R R + d R h h 8 h ,6 km R casquete πrh π 70 66, ,64 km casquete πr d R + d b) S luna 4πR km 0 % de S luna km π ,68 km d SLUN R , km πr S 9804 LUN 6

7 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 Semejanza de rectángulos. plicaciones ágina. Si a una hoja -4 se le corta una tira de, cm de ancho a lo largo del lado mayor, obtendrás un rectángulo áureo. onstrúyete dos. uno de ellos, córtale un cuadrado. omprueba que el rectángulo remanente es semejante al rectángulo inicial. Eperiencia práctica.. Si a una hoja -4 le añadimos un cuadrado, el rectángulo resultante, al que llamaremos -4 plus, tiene la siguiente propiedad: si le quitamos dos cuadrados, el rectángulo remanente es semejante al inicial. El rectángulo sombreado es semejante al rectángulo total. -4 LUS a) ompruébalo con una hoja -4. b) emuéstralo teniendo en cuenta que las dimensiones del -4 plus son + y, y las del rectángulo sobrante son y. a) Eperiencia práctica. + b) ebemos comprobar que. ` + j` j 7

8 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 ágina 4 Hazlo tú. qué distancia de nuestros ojos debemos poner una bola de cm de diámetro para que al mirar a la Luna la tape completamente? istancia a la luna km, cm iámetro de la bola cm iámetro de la luna 00 km, 0 8 cm istancia a la bola cm omo la luna y la bola tendrían el mismo tamaño aparente, la razón entre sus distancias a los ojos debe ser igual que la razón entre sus diámetros: , 0, 0, , 08 9 cm,9 metros Hazlo tú. Si M y N son los puntos medios de y, calcula M. M 60 m N 90 m N & es semejante a M & % % por ser rectángulos y ser M N (alternos internos). M 60 m N 90 m Siendo M podemos afirmar que: Hazlo tú. En una esfera de diámetro 4 cm se inscribe un cono de radio 8 cm. uál será su altura? & es rectángulo en W (ángulo inscrito en una semicircunferencia). h El radio del cono es la altura sobre la hipotenusa de &. 8 proyección de sobre 8 h 4 h proyección de sobre 8 4 h 4 or el teorema de la altura tenemos que: 8 h (4 h) 64 4h h h 4h cm 4 cm Las dos soluciones son válidas, es decir, eisten dos conos que cumplen las condiciones. 8

9 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 Ejercicios y problemas ágina ractica Razón de semejanza. Escalas. a) Son semejantes los triángulos interior y eterior? b) uántas unidades medirán los catetos de un triángulo semejante al menor cuya razón de semejanza sea,? a) No. La razón entre los catetos es en el interior y 7 en el eterior. b),, 7, Loscatetos medirány7,unidades.. Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco de, cm de ancho. Son semejantes los rectángulos interior y eterior del marco? Responde razonadamente No son semejantes Queremos reproducir la figura adjunta a escala /. a) Haz un dibujo de la figura ampliada. b) alcula la longitud de sus lados. a) b) ' ' ' ' ' ' ' ' + ' ' 6 + c m 4 ' ' + c9 m Se observa que, en todos los casos: Longitud lado ampliado Longitud lado original puesto que:

10 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 4. En un mapa cuya escala es : , la distancia entre dos ciudades es, cm. a) uál es la distancia real entre ellas? b) uál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades y cuya distancia real es 60 km? a), , cm 7, km 8 b) cm Indica, en cada caso, cuál es la escala del plano: a) mm del plano representa 0 m reales. b) 0 km reales se representan por dm en el plano. c) 0,00 mm reales se representan por cm en el plano. a) omo 0 m mm, la escala es : b) omo 0 km dm, la escala es : c) omo 0,00 mm 0,000 cm, la escala es 0 000:. 6. En el plano de un piso cuya escala es :00, el salón ocupa una superficie de 7 cm. uál es la superficie real del salón? cm 8 m 7. Un rombo cuyas diagonales miden 7 cm y 0 cm, qué área ocupará en un plano de escala :? Área cm En el plano ocupará 0 6 cm. 8. Una maqueta está hecha a escala :0. alcula: a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de altura y 4 cm de diámetro. b) La superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm. c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 0 cm de agua. a) _ cm 8 0 cm b h 00 cm m La torrecilíndrica midemde altura 6 cm 8 h ` d 000 cm 0 m y0mde diámetro. 4 cm 8 d b a b) cm 0 m c) cm, m 0

11 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 Semejanza de triángulos 9. Identifica triángulos en posición de Tales en cada figura y calcula, en cada caso, la longitud del segmento E : a) b) 4 m E 9 m 6 m c) d) 7 m E 9 m F m O m m E 4 m E m 0, m 6 m & & a) Los triángulos y E están en posición de Tales porque tienen ^ los lados E y son paralelos. or tanto, son semejantes y se cumple: en común y ,9 m 6 b) & y E & están en posición de Tales porque ^ es común a ambos y E y son paralelos. or tanto, son semejantes y: 8 0,6 m 9 9 c) FO &, EO & y O & están en posición de Tales, porque O^ es común a los tres triángulos y F // E //. or tanto: m 7 & d) E y E & % % están en posición de Tales, porque E E (opuestos por el vértice) y //. or tanto: 0, 8 6 8,8 m 6 0, 0. En la figura, el segmento E es paralelo a. Justifica que los triángulos y E son semejantes y calcula E y E. 8,4 cm 4,8 cm E 6 cm cm Los triángulos y E son semejantes porque tienen un ángulo común, ^, y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos, E //. Están en posición de Tales. E E 8 E 8, 84, 8 E 84,6 cm 8 E 8 6, 8,4 6,88 +,6,8 6,88 9,6 48, + 84, E 9,6 cm

12 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4. or qué son semejantes los triángulos y E? Halla el perímetro del trapecio E. E 0 cm 7 cm 6 cm orque son rectángulos con un ángulo agudo común, ^. Tienen los tres ángulos iguales. Hallamos E aplicando el teorema de itágoras: E cm, cm E 0 8,, cm ,7 cm E E erímetro de E 7 + 8,7 +, cm. En un triángulo rectángulo, la relación entre los catetos es /4. Halla el perímetro de otro triángulo semejante en el que el cateto menor mide 4 cm. 4 4 cm cm mide el cateto mayor. 4 h cm mide la hipotenusa. erímetro cm. La razón de semejanza entre dos triángulos es /. Si el área del mayor es 0 cm, cuál es el área del menor? El área del menor es 0 c m 4 cm.

13 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 ágina 6 4. Observa esta figura, en la que el segmento es paralelo a. 7, cm 0,6 cm 8, cm O 6 cm y a) i por qué son semejantes los triángulos O y O. b) alcula e y. % % a) Son semejantes porque tienen un ángulo igual, O O por ser opuestos por el vértice, y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. b) 6 8 7, 6,08 cm 7, 8, 8, 6 y 8 y 0, 6 6 7,48 cm 8, 0, 6 8, Teoremas del cateto y de la altura. En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos se ha trazado la altura H sobre la hipotenusa. Halla, en cada caso, los segmentos e y. a) a) H, 7,8 H 4,0 m, m H y 7,8 m b) b) or el teorema del cateto:, m y H 4,8 m En el triángulo H,, + 4,0 4,6 m En el triángulo H, y 7,8 + 4,0 y 8,79 m, 4,8, m c) c) or el teorema de la altura: y m En el triángulo H, y,, y,9 m 9 6 m En el triángulo H, y + 6 y 0 m H 9 m

14 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 6. alcula los valores que faltan en cada uno de los siguientes triángulos, rectángulos en : a) b) m 6 m h H n m 8 m n H h m m c c) b d) 8 m H n 6 m c c n m H m 6 m b a) or el teorema de itágoras: b) or el teorema de itágoras: (m + n) c c 4 m m + n 90 0,0 m or el teorema del cateto: or el teorema del cateto: 8 n n 4,79 m 0,0 n n 7,0 m 4 m m 8, m 6 0,0 m m, m or el teorema de la altura: or el teorema de la altura: h 7,0, h m h 4,79 8, h,77 m c) or el teorema de la altura: d) or el teorema de la altura 6 ` j m n: 6 8 n n 4, m ` 6j m n 4 or el teorema de itágoras: m+ n 8 m n b b 0 m 6 ( n) n 6 n n n n or el teorema del cateto: c (8 + 4,) 4, c 7, m ± 4 ± n Si n, por el teorema de itágoras: c + ` 6j c,87 m Si n m, y por el teorema de itágoras: b + ` 6j b 0,6 m Si n, por el teorema de itágoras: c + ` 6j c,6 m b + ` 6j b,87 m Las soluciones son complementarias. 4

15 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 7. ibuja, en cada caso, un triángulo rectángulo y traza su altura sobre la hipotenusa. a) alcula la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa si esta mide 0 cm y el cateto mayor, 40 cm. b) La hipotenusa mide cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa, 9 cm. Halla el cateto mayor. c) La altura relativa a la hipotenusa mide 6 cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa, 4, cm. Halla la hipotenusa. a) 40 0 cm royección de sobre : 40 cm 0 8 cm y 0 cm O bien: cm 0 0 y y 8 cm b) La proyección de y sobre la hipotenusa es: y 9 6 cm 9 cm cm or el teorema del cateto: y 6 y 0 cm c) or el teorema de la altura: 4, cm 6 cm 6 4, 8 cm Hipotenusa 4, + 8, cm 8. El mástil de una bandera está sujeto a tierra por dos cables que forman un ángulo recto en el punto más alto del mástil. Las distancias desde la base del mástil a los puntos de sujeción de los cables son m y m. alcula la altura del mástil. or el teorema de la altura: h 80 h 80,4 m plica lo aprendido 9. os depósitos cilíndricos semejantes tienen un volumen de 00 m y 0 m, respectivamente. Si la altura del menor es, m, cuánto mide el radio del mayor? omo los depósitos son semejantes, sabemos que V mayor k V menor, con k razón de semejanza: 0 k 00 k 0 8 k 00 or otra parte: V menor π r h 00 π r,0 r 00 00, π π 8 r 00 m 0 π or lo que podemos calcular el radio del mayor: R k r 00 6, m π

16 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 0. Si es paralelo a E, y cm, E cm y 6,4 cm: a) alcula. b) odemos saber cuánto vale E sin medirlo directamente? c) Si ^ 7 y ^ 80, calcula E^, ^ y ^ a) Los triángulos E y son semejantes. E or tanto: E , 4,69 cm 64, b) No podemos saber lo que mide E porque no conocemos la medida del lado correspondiente,. c) E^ 80 ( ) 6 ; ^ ^ 7 ; ^ E^ 6. Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden 8 cm y,6 cm, respectivamente. Si el área del primero es 6 cm, cuál es el área del segundo? omo los triángulos son semejantes, sus lados son proporcionales. sí: k, 6,7 es la razón de semejanza. 8 or tanto: Área del mayor k Área del menor,7 6 7,4 cm. alcula el perímetro del triángulo cuya base coincide con la base mayor de este trapecio rectángulo y que se obtiene al prolongar los lados no paralelos hasta que se corten. cm cm 0 cm cm h cm 0 cm h cm cm 0 atetos del triángulo: 0 cm y 48 cm Hipotenusa: cm erímetro: cm 6

17 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 ágina 7. En qué punto comprendido entre y debe dar la bola blanca para que al rebotar alcance a la bola negra? 0 cm 0 cm 70 cm cm 70 ebe dar a 8 cm del punto. 4. uál es la profundidad de un pozo, si su anchura es, m y alejándote 0,8 m del borde, desde una altura de,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?,7 m 0,8 m, 8, 7,, m 7, 08, 08, La profundidad es de, m., m. Entre dos pueblos y hay una colina. ara medir la distancia, fijamos un punto desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas km, M 7, km y MN km. (MN es paralela a ). Halla la distancia. M N Los triángulos y MN son semejantes. or tanto: km M 7, km km N 8 km 7, 7, 7

18 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 6. ara medir la altura de la casa, Álvaro, de 6 cm de altura, se situó a, m de la verja y tomó las medidas indicadas. uánto mide la casa?, m h a, m,6 m m, m m a,,6,8 m +,, h 8 h 6,, 8,68 m 8,, ltura de la casa:,68 +,6 4, m, m 7. La altura relativa a la hipotenusa del triángulo, rectángulo en, mide cm y la proyección del cateto sobre la hipotenusa mide 9 cm. Halla el perímetro de ese triángulo. or el teorema de la altura: 9 6 y z y z cm 4 erímetro: cm 0 cm y cm z 9 cm H 8. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide m y su proyección sobre la hipotenusa mide 7, m. alcula el área y el perímetro del triángulo. or el teorema del cateto: y 7, cm cm 7, 0 m y 0 y 6 m Área 6 96 m, erímetro m 9. El perímetro de un triángulo isósceles es 64 m, y el lado desigual mide 4 m. alcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es de 96 m. ltura del triángulo: h 7 h 4 m Área m Razón de semejanza Área del triángulo semejante 68 c m 78 cm m h 4 m m 8

19 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 0. os triángulos y QR son semejantes. Los lados del primero miden 4 m, 8 m y 4 m. alcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 9 m. erímetro del triángulo : m Razón de semejanza: 9 86 Lados del triángulo QR : 4 6 cm; 8 4 cm; 4 cm. Las áreas de dos triángulos isósceles semejantes son 48 m y 08 m. Si el lado desigual del primer triángulo es m, cuál es el perímetro del segundo? Razón de semejanza: 08, 48 Lado desigual del segundo:, 8 cm ltura del segundo: 08 8 h h cm Lados desiguales del segundo: + 9 cm erímetro del segundo: cm m 8 m. Los lados de un triángulo miden: 6 cm, 4 cm esde un punto M de se traza una paralela a, que corta al lado en un punto N. uánto deben medir los lados del triángulo MN para que su área sea /9 de la del triángulo? Área de MN 8 k 8 k Área de cm; 4 4 cm 6 cm 6 cm M M MN cm; N 4 cm N 4 cm. Queremos construir un ortoedro de volumen 6 0 cm que sea semejante a otro de dimensiones cm. uánto medirán sus aristas? V cm k 6 0,744 k,4 Las aristas del ortoedro deben medir:,4 cm;,4 cm y,4 49 cm. 9

20 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 4. e un cono de radio cm hemos cortado otro cono de radio cm y altura cm. alcula el volumen del cono grande. cm cm cm alculamos la altura del cono grande, : 8 7, cm Volumen πr h π 7, 6,π cm. En un cono de 0 cm de radio hemos inscrito un cilindro de radio 4 cm y altura 4,4 cm. Halla la altura del cono. 4 cm 4,4 cm 0 cm + 4, , ,6 9,6 cm 4 ltura del cono: 9,6 + 4,4 4 cm 0

21 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 ágina 8 Resuelve problemas 6. alcula el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular de cm de altura en el que los lados de las bases miden 8 cm y 4 cm. alculamos la altura de la pirámide menor, : cm 4 Volumen de la pirámide grande 4 (0 + ) 86,67 cm Volumen de la pirámide pequeña ,67 cm cm 8 cm Volumen del tronco de pirámide 86,67 46, cm 4 cm 7. En una circunferencia de radio desconocido, hemos inscrito un triángulo isósceles de lados 6 m y 0 m. Halla el radio de esa circunferencia. or el teorema de itágoras sobre & : 6 h + h,0 m h Observamos que & y E & son semejantes. or tanto:, 0,0, 0,64 m Luego, el radio de la circunferencia será: h+, , 8,4 m 8. En una esfera de cm de radio hemos inscrito un cono de altura cm. alcula su área lateral. r Radio de la esfera: cm 0 8 cm alculamos el radio del cono utilizando el teorema de la altura en el triángulo : r 8 r 4,7 cm Generatriz del cono: g + 4,7 g 8,98 cm Área lateral del cono: πrg π 4,7 8,98 79π cm cm

22 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 9. En una esfera de 4 cm de diámetro se inscribe un cono cuya generatriz mide 0 cm. alcula el volumen del cono. 0 cm ara calcular la altura del cono, aplicamos el teorema del cateto en el triángulo rectángulo : h 4 0 r 0 h 4 h 4,7 cm Radio del cono: r 0 4,7 r 9,09 cm V cono π 9,09 4,7 4,8π cm 40. Sobre una esfera de 0 cm de radio se encaja un cono de 0 cm de altura. Halla el área del casquete esférico que determina el cono. ara hallar, aplicamos el teorema del cateto en el triángulo rectángulo : (0 + ) ± 0 ltura del casquete cm Área del casquete πrh π π cm 40Novale.. 0 cm 0 cm 4. esde un punto trazamos tangentes a dos circunferencias tangentes eteriores. Si O cm y O ' ' cm, cuánto mide el radio de la circunferencia menor? O' O ' Los triángulos O y O''' son semejantes por ser rectángulos con un ángulo agudo común. r r 7 + r 7 ± O' ' + r O r 60 7r + r r + 7r No vale El radio de la circunferencia menor mide cm.

23 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 4. En el triángulo, rectángulo en, conocemos H 8 cm y H cm. 8 cm H cm a) or el teorema de la altura: a) alcula H, y. b) plica el teorema del cateto en el triángulo rectángulo H para obtener. alcula H. c) Halla el área y el perímetro del trapecio H. H H H 8 H H 0, cm H + H 8 + 0, 0,6 cm 8 cm ,7 cm b) H 8 H 8 8,8 cm 6, 7 H cm H H 8 88, 8 H,69 cm c) erímetro (H ) H + H + +,9 cm H Área (H) H +, , 6 8,8 60,44 cm 4. En un trapecio rectángulo, la diagonal menor es perpendicular al lado oblicuo, la altura mide cm y la diferencia entre las bases es de 9 cm. alcula el perímetro y el área del trapecio. cm cm H l 9 cm En el triángulo : 9 6 cm cm En el triángulo H: l + 9 l cm erímetro del trapecio: cm Área del trapecio: cm

24 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas En el rectángulo de la figura, EF es paralelo a, y G es el punto medio de. E cm F G Si F cm, cuál es el área y el perímetro del pentágono FEG? 0 +, cm Los triángulos FE y son semejantes. or ello: F FE 8 FE 8, FE,46 cm En el triángulo FE, E FE F,46 E, cm E E 0, 7, cm G 6 cm G G 0,9 cm F 7 cm Área del triángulo FE,, cm Área del triángulo G cm Área del pentágono 0, 90 8,7 cm erímetro del pentágono: FE + E + G + G + F,46 + 7, , , cm 4. En estas dos circunferencias concéntricas, el radio de la mayor es el triple que el de la menor. 0 cm cm O Hemos trazado el diámetro y la cuerda, que es tangente a la circunferencia interior. Si 0 cm, cuánto miden los radios de cada circunferencia? Los triángulos y O son semejantes, por ser rectángulos con un ángulo agudo común. r O Si O r O r 6r 8 0 O O r 6 r r 0 r r Los radios miden cm y cm. 4

25 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas En el triángulo rectángulo, hemos trazado la altura sobre la hipotenusa H. H Halla el área del triángulo en el que conocemos cm y H 6 cm. H h 6 h h + 6 h 6 9 h cm Área 0 cm ± 4. No vale 9

26 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 ágina 9 roblemas y son dos edificios de 8 m y m, respectivamente, y que distan entre sí 4 m. esde el punto de corte,, de las rectas y, se traza una perpendicular a. H es el pie de esa perpendicular. a) alcula H. 8 m m b) emuestra que la longitud de H depende de la altura de los edificios y no de su separación. H 4 m a) Trazamos el segmento EF paralelo a y que pasa por. 8 m E y H 4 m z F m Los triángulos E & y H & son semejantes porque son rectángulos y E % H %. or una razón análoga también lo son F & y H &. Tenemos, por tanto: _ 8 y b z b ` 8 8 (8 )( ) z y b a ,8 m b) Hemos visto que la ecuación de la que hemos obtenido H es: h h ' donde h y h' son las alturas de los edificios. Esta ecuación no depende de y ni de z, los parámetros de los que depende la separación de los edificios. 48. Una esfera apoyada en el suelo proyecta una sombra que llega hasta 0 m del punto donde la esfera toca el suelo. En ese momento, un poste vertical de m de alto produce una sombra de m. alcula el radio de la esfera. O r r T m T 0 m m O Los triángulos T y T' son semejantes. 0 m cm m 0 m m 6

27 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 or la semejanza de O y, tenemos: O O 8 r 0 r r 0 r r ` + j 0 8 r 0 0` j 4,4 cm Una de las diagonales de un rombo mide 4 cm y el radio del círculo inscrito en dicho rombo es 8 cm. alcula el perímetro y el área del rombo. En el triángulo rectángulo O : ,94 cm O 8 d/ En el triángulo rectángulo O : ,6 cm 894, Lado del rombo: 8,94 + 7,6 6, cm erímetro del rombo: 4 6, 64,4 cm iagonal: cd m 6, d 0,7 d,46 cm Área: 4, 46 7, cm 0. En el cuadrado de la figura, E es el punto medio del lado, y F, el punto medio de. Si el lado del cuadrado mide cm, cuál es el área del cuadrilátero EF? E E cm F alcularemos el área de EF como el área del triángulo F menos el área del triángulo E. E F + F Los triángulos F y E son semejantes porque: ^ es común. % E % F por la igualdad de los triángulos E y F. E F E 8 E 8 F E E F 8 8 epfb abf ape 4 cm 7

28 Unidad 6. Semejanza. plicaciones Refleiona sobre la teoría. Verdadero o falso? Justifica tu respuesta. a) os triángulos rectángulos que tienen la misma hipotenusa son semejantes. b) Todos los pentágonos regulares son semejantes. a las Enseñanzas cadémicas 4 c) Si los lados de un triángulo son a, b, c ; y los de otro, a +, b +, c +, no son semejantes. d) Las pirámides cuadrangulares son todas semejantes entre sí. e) Una escala 00: significa que cm del dibujo corresponde a m en la realidad. a) Falso. ualquier triángulo inscrito en una circunferencia y que abarque un ángulo llano es rectángulo, pero no todos son semejantes. b) Verdadero. Todos los polinomios regulares con el mismo número de lados tienen sus ángulos iguales y los lados proporcionales. c) Falso. or ejemplo, si el triángulo es equilátero (a b c), entonces a + b + c + y los triángulos son semejantes. d) Falso. Las bases serán semejantes pero para que lo sean las pirámides, debería coincidir el cociente entre el lado de la base y la altura, cosa que no necesariamente ocurre. e) Falso. Una escala 00: es de ampliación, es decir, a cm de la realidad le corresponde m del dibujo.. Justifica en qué casos podemos asegurar que los triángulos y ''' son semejantes: a), ^ ^' b) ' ' ' ' c), ^ ^ ' ' ' ' ' d) ^ ' ', ^ ' ' ^ ', ^ ^ ' ^ ' En b), porque tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo que forman. En d), porque tienen los tres ángulos iguales.. Se llama homotecia de centro O y razón k a una transformación que hace corresponder a cada punto otro ' tal que O, y ' están alineados y O' : O k. Justifica si las figuras azul y roja son homotéticas y en caso afirmativo di cuál es el centro y la razón. Sí se trata de una homotecia de centro O y k, puesto que: O ' ' ' ' O,, ' están alineados. O,, ' están alineados. O,, ' están alineados. O,, ' están alineados. O' O' O' O' O O O O 8

29 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 4. Hemos aplicado una homotecia al cuadrilátero para obtener el cuadrilátero ''''. ' ' O ' a) uál es el centro y cuál es la razón? b) Justifica que y '''' son semejantes. c) plica a una homotecia de centro y razón. a) El centro de la homotecia es O y la razón es k, puesto que: O,, ' están alineados. O,, ' están alineados. O,, ' están alineados. O,, ' están alineados. O' O' O' O' O O O O b) Las figuras son semejantes puesto que todos sus lados son proporcionales, según se ha visto en el apartado a). demás, los ángulos son iguales. c) ' ' ' ' O ' 9

30 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 ágina 40 prende y refleiona El número de plata y el triángulo cordobés ompruébalo: +? Visto en el ejercicio b de la página. emuestra que el rectángulo coloreado sobre el octógono regular de la derecha es de plata. es la diagonal de un cuadrado de radio. Su medida es +. Los lados del rectángulo miden, por tanto, y +. + La relación entre ellos es +, número de plata. rueba que la relación entre los lados del triángulo cordobés (radio y lado del octógono regular) es: r +, (número cordobés) El radio del octógono es la mitad de la diagonal del rectángulo anterior: d `+ j r d 4+ + `+ j` j 4 4 ` j ` j, emostrar que estos dos triángulos son cordobeses es fácil (4 e isósceles). Otra cosa es obtener sus dimensiones a partir del lado en cada figura y probar que su cociente es el número cordobés. Intenta hacer ambas cosas en cada una de las dos figuras. Triángulo construido en el octógono: or construcción, b c y a b. El triángulo es isósceles. a b El ángulo ^ es un ángulo inscrito en la circunferencia y abarca un c ángulo de de or tanto, ^ 4. El triángulo es, por tanto, cordobés. 0

31 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 alculamos ahora la medida de los lados del triángulo. En el ejercicio anterior vimos que el radio del octógono es r. El lado a es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con dos catetos de medida r. or tanto: a ` + j El lado b, según vimos, es b +. Veamos que el cociente b es el número de plata: a `+ j `+ j` j 9 8, el número cordobés Triángulo construido en una hoja -4: b Los lados de una hoja -4 están en la relación b.. Es decir, c a alculamos el lado c aplicando el teorema de itágoras: c +. omo b c a, el triángulo es isósceles. El lado c es la diagonal de un cuadrado, luego el ángulo menor del triángulo es de 4. El triángulo construido es cordobés. Nos falta calcular la medida del lado a, que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos y : a + ` j ` j omprobamos que la relación entre los lados es el número cordobés: b a ` j

32 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 ágina 4 Entrénate resolviendo problemas Roberto y armina van a compartir un helado. qué altura deben cortar el cucurucho para que las dos mitades sean iguales? 6 cm 9 cm Hallamos primero el volumen del cucurucho entero: Volumen de la media esfera: V < 4 π π F 6 8π cm Volumen del cono: V [π 6] 8π cm Luego, simplemente, habría que cortar a 6 cm de altura; es decir, el cono (cucurucho) para uno y la media esfera para el otro. ara preparar una empanada de pulgadas de diámetro y pulgada de grosor, se necesitan 8 onzas de masa. uántas onzas de masa se necesitarán para una empanada de pulgada y media de grosor y pulgadas de diámetro? El volumen de la primera empanada es, en pulgadas cúbicas, π c m, y para prepararla se necesitan 8 onzas. ara la segunda empanada se necesitarán este número de onzas: 8 c m, 8 c m 8 7 onzas

33 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4 os localidades y se encuentran al mismo lado de una autopista recta, de la cual distan 0 km y 0 km, respectivamente. Se desea construir una carretera lo más corta posible, que una ambas localidades en un punto de la autopista. Sabiendo que la distancia entre y es de 6 km, halla la longitud de la carretera. El dibujo nos ayuda a relacionar los datos con lo que se nos pregunta. 6 km 0 km N M UTOIST 0 km ' Observamos que el recorrido M tiene la misma longitud que 'M. Y que este recorrido es mínimo cuando el punto M está a lineado con ' y. or tanto: 0 km 0 0 N 6 km N N km La longitud de la carretera es: M + M ' N + N' 4 + ( 0 + 0) 8,4 km

34 Unidad 6. Semejanza. plicaciones utoevaluación a las Enseñanzas cadémicas 4. Queremos hacer una maqueta de un jardín rectangular a escala :400. Su perímetro es de 80 m, y su área, de 7 00 m. uáles serán estas medidas en la maqueta? erímetro 80, m, cm 400 Área ,47 m 4,7 cm. En un triángulo rectángulo, se inscribe un rectángulo de lados paralelos a los catetos en el que la base mide el doble que la altura. Si los catetos miden cm y 8 cm, cuáles son las dimensiones del rectángulo? Los triángulos & afirmar: y FE & son semejantes, por lo que podemos 8 cm F 8 8( ) , cm cm E La altura es de 4, cm y la base, 9 cm.. Un barco que navega hacia puerto se sitúa en un punto tal que su posición forma un ángulo recto con los faros F y F. esde ese punto, la línea que lo une al puerto es perpendicular a la costa. Sabemos que F km y que F 6 km. km 6 km F alcula la distancia del barco al puerto y a cada uno de los faros. ara calcular, aplicamos el teorema de la altura: 6 8,8 km F 6 + F, km F F,84 km F 4. Un centro comercial está situado entre dos vías paralelas r y s. Se quiere unir, mediante carreteras, con las poblaciones,, y. on los datos de la figura, calcula e y. 6,7 km r Los triángulos y son semejantes. y 6 67, 8 km 9 s y 67, 9 km y 7, km km 0 km 4

35 Unidad 6. Semejanza. plicaciones a las Enseñanzas cadémicas 4. En una esfera de diámetro 8 cm, se inscribe un cono cuya altura es 6 cm. uánto medirá el radio de la base del cono? El triángulo & es rectángulo en ^. El radio del cono, r, es la altura sobre la hipotenusa de & 6. r Utilizando el teorema de la altura: r 6 r 7 8,49 cm 6. Tenemos un vaso con forma de tronco de cono en el que los diámetros de las bases miden 0 cm y 6 cm y su altura es de cm. Si lo llenamos, cabe más de medio litro de agua, o menos? cm cm cm V cono grande π ( + 8) 0π cm V cono pequeño π 8 4π cm V vaso 0π 4π 96π 6,7 cm En el vaso cabe más de medio litro de agua. 7. Las diagonales de un rombo miden cm y 4 cm. or un punto de la diagonal menor, tal que 9 cm, se traza una paralela a la diagonal, que corta en M y N a los lados y. alcula el área y el perímetro del pentágono MN. Los triángulos O y M son semejantes. or ello: M 9 O 6 cm 6 M 8 M 6 9 cm cm N M + 9 cm M 0 cm 4 cm erímetro MN `M + + M j ( ) 74 cm Área pentágono Área rombo Área triángulo MN cm