Indicar y Justificar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:

Transcripción

1 GEOMETRÍ DEL ESIO ompetencias: Reconoce a la recta y el plano en R. Describir las posiciones relativas entre dos planos y entre una recta y un lano. Describir el Teorema de las tres perpendiculares. Definir un ángulo Diedro. Describir y describir los poliedros regulares e irregulares. Describir a los sólidos y superficies de revolución: ilindro, ono y Esfera. Modelar diversas aplicaciones en los que intervienen los elementos de la geometría del espacio. arte I: RLELISMO Y ERENDIULRIDD Indicar y Justificar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: 1. Una recta que es paralela a dos planos que se cortan es paralela a su intersección. 2. Una recta y un plano perpendiculares a otra recta son paralelos. 3. Una recta que forma ángulos iguales con otras tres rectas que pasan por su pie en el plano, es paralela a dicho plano. 4. La proyección de un segmento paralelo a un plano tiene igual longitud que el segmento. 5. Si una recta es perpendicular a dos rectas distintas de un plano, es perpendicular al plano. 6. La intersección de tres planos no paralelos es un punto. 7. or una recta oblicua a un plano no se puede trazar un plano perpendicular al primero. 8. Si un plano es perpendicular a una recta, es paralelo a un plano cualquiera que pasa por dicha recta. 9. Toda recta perpendicular a la intersección de dos planos, es perpendicular a uno de los dos planos. 10. or un punto de un plano sólo se puede trazar un plano que le sea perpendicular. 11. or una recta cualquiera del espacio, siempre se puede trazar un plano paralelo a un plano dado. 1

2 ROLEMS: Resuelva los siguientes problemas: 1. or el vértice de un cuadrado D de lado a se levanta F perpendicular al plano del cuadrado tal que F = a. Si M es punto medio de D, hallar el área del triángulo DMF. 2. En un plano R se ubica una circunferencia de centro O en la cual se traza la cuerda de 8 cm. de longitud que dista 2 cm. del centro. Se levanta E perpendicular a R siendo E = 4 cm. hallar EO. 3. La distancia de un punto a un plano R es 12. Las distancias de a los extremos de un segmento de longitud 8 contenido en R son 13. Hallar la distancia de a. 4. En la figura, los planos, Q y R son paralelos. Si M = 12 y ND = 9, calcular sabiendo que excede a D en 7m. M N Q D R 5. Se tiene dos triángulos equiláteros y D de lado L que se encuentran en planos perpendiculares. Hallar D. 6. Se tiene una circunferencia de diámetro 8 cm contenida en un plano y un punto exterior que dista 3 cm del plano. Si la distancia mínima del punto a la circunferencia es 5, hallar la distancia máxima de dicho punto a la circunferencia. 7. or el centro M de un cuadrado D de 1 cm de lado se levanta la perpendicular M al lado del cuadrado. Hallar la longitud de M sabiendo que la distancia de a uno de los vértices del cuadrado es Un plano tiene una inclinación de 60º sobre un plano Q. qué distancia del plano Q se debe trazar otro plano paralelo que corte a, tal que sus intersecciones disten 42 cm? 9. En un plano T se encuentra una circunferencia de diámetro = 2 a. or se levanta F perpendicular a T tal que F =. Si M es punto medio de. Hallar el área del triángulo FM. 2

3 10. Un triángulo rectángulo en se proyecta sobre un plano que pasa por de modo que es el triángulo proyectado. Si D es la altura, D = 6.4 cm D = 3.6 cm y D = 2.4 cm, calcular la medida del diedro. 11. Se tiene un triángulo rectángulo en tal que = 15m y = 20m. or se levanta la perpendicular = 12 3 al plano del triángulo. Si se une con y, hallar la medida del diedro. 12. Sobre una circunferencia se toman los puntos y tales que = 120º. or se levanta perpendicular al círculo siendo = 4. Si = 4 3 y O es el centro del círculo, hallar el área del triángulo O. 13. En un triángulo, = 6, = 8 y = 10. or se levanta D perpendicular al triángulo. Si M es punto medio de y D = 2 5, hallar el ángulo que forman y DM al cruzarse. 14. Desde un punto exterior a un plano se trazan, y D oblicuas a formando ángulos de 45º, 60º y 30º respectivamente. Si = 6, hallar y D. 15. or el vértice de un triángulo recto en se levanta D perpendicular al triángulo. Si = 8, = 8 3 / 3 y D = 3, hallar la medida del diedro. 16. En la figura, el diedro mide 60º. Hallar Q si = 3m, = 4m y Q = 2m. Q 17. En la figura 1 y 2 son dos planos perpendiculares. es un segmento tal que pertenece a 1 y pertenece a 2, si = 8 u, la medida del ángulo entre y 1 es igual a 30, la medida del ángulo entre y 2 es igual a 45, calcule la distancia entre y D. 1 D 2 3

4 arte I : OLIEDROS Resuelva los siguientes problemas: 1. Se da un hexaedro regular de 2 m de arista. Hallar la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta. 2. Se da un hexaedro regular de 3 m de arista. Hallar la distancia de un vértice a la diagonal del sólido que no contenga a dicho vértice. 3. Se tiene un tetraedro regular de 2 m de arista. Hallar la altura de dicho poliedro. 4. En la figura, la arista del cubo mide a. Hallar el área del triángulo sombreado. 5. Hallar el ángulo formado por dos diagonales cuales quiera de un octaedro regular. 6. Si partiendo de cierto vértice de un cubo se trazan las diagonales de dos caras contiguas, hallar el ángulo que forman. 7. Hallar el área de la región sombreada, si el sólido es un cubo de arista a. 8. alcular el área de la región sombreada en el tetraedro regular de arista a, siendo y Q puntos medios de las aristas y respectivamente. V Q 4

5 9. En el cubo D EFGH, M es punto medio de E, es punto medio de GH. Una hormiga está en el punto M y se dirige hacia el vértice, luego al punto y finalmente al punto M. Si l es la longitud de la arista del cubo, determine la mínima longitud que caminó la hormiga. H G E F M D 10. Se quiere empapelar un cuarto cuya longitud es de 9.25 m la anchura 4.75 m y la altura 4.80 m, las aberturas no empapeladas representan una superficie total de m2. uántos rollos de 12 m por 50 cm se necesitarán, y cual será el gasto si el rollo vale 3.75 dólares? 11. Hay que demoler la pared que tiene 46 m de largo 1.50 m de alto y 0.70 m de espesor. Reedificada tendrá 80 cm. de espesor y 1 m. de alto. or la demolición de la pared antigua, extracción de piedras y acarreo de escombros se pagan 1.40 dólares por m3 y 4.50 por la construcción de 1 m3 de la nueva. uánto costará el trabajo? 12. En una pared de ladrillo, los espacios vacíos están valuados en un 20% del volumen total. Qué cantidad de argamasa se necesitará para llenar esos vacíos, si la pared tiene 2.40 m de alto, 9.50 m de largo y 20 cm de espesor? 13. Se quieren fundir en uno solo dos cubos de latón cuyas aristas respectivas miden 15cm. y 24 cm. uál será la arista del cubo? 14. Hallar el volumen de la mayor de las pirámides de Egipto cuya base es un cuadrado de 230 metros de lado, sabiendo que las caras laterales son triángulos equiláteros. 15. El volumen de un obelisco es de m3; este obelisco tiene la forma de un tronco de pirámide de bases cuadradas y paralelas de 2.40 m y 72 cm de lado. alcula su altura y la longitud de la arista lateral 16. La base de concreto de un poste de luz está construida en forma de una pirámide truncada cuadrangular regular, como se muestra en la figura. uál es el volumen de la base del poste? uál será la masa de dicho soporte si la densidad del concreto es concreto = lb/pulg3?

6 17. Ingeniería ivil. La figura muestra la sección transversal de un camino. Encuentre el número de yardas cúbicas de concreto necesarias para pavimentar 1 milla de ese camino (1 yd = 3 pies, 1 milla = 1760 yd) En la figura se muestra el esquema de una campana extractora de una cocina. Si las dimensiones están en pulgadas, calcular cuántos pies cuadrados de plancha metálica se necesitarán para fabricar toda la campana incluyendo el ducto prismático de sección cuadrada. (1 pie = 12 )

7 arte III: SÓLIDOS DE REVOLUIÓN Resolver los siguientes problemas: 1. Se ha cavado un pozo de forma cilíndrica de metros de profundidad por 1.90 metros de diámetro. uál es su volumen?. Se construye después en esa excavación una pared de mampostería alrededor y verticalmente. oncluida la obra, el pozo cilíndrico tiene 1.50 m de diámetro. cuánto asciende el gasto total si se han dado 80 dólares por metro cúbico de tierra extraída y 250 dólares por metro cúbico de mampostería? 2. uántos ladrillos se necesitarán para construir un pozo de 3.45 m de profundidad y de 1.10 m de diámetro, si los ladrillos tienen 12 cm de ancho y 6 cm de alto? La longitud del ladrillo representa el espesor de la pared. 3. uántos metros cuadrados de hojalata se necesitan para hacer un vaso cuya forma es la de un tronco de cono con tapa, si las dos bases tienen 30 y 40 cm de radio y la profundidad es 50 cm? 4. Hallar el área interior y exterior de la base superior de una chimenea que mide 22 m, de altura y cuyos radios interior y exterior de la base superior tienen 30 y 40 cm y los de la base inferior 1m y 1.20 m 5. Una cuba llena de vino tiene la forma de un cono truncado de 1m. de profundidad; el diámetro del fondo es de 85 cm, el de la abertura de 1.25 m uántos toneles de 108 litros de capacidad se podrán llenar con el vino de la cuba? 6. Desde el vértice de una hojalata rectangular de lados a y b (a < b) se describe un arco de circunferencia con un radio igual al lado menor; y se construye un cono con el sector obtenido. Halla la altura y el volumen de este cono? 7. Una caldera de vapor de forma cilíndrica termina en sus extremos en una semiesfera de 40 cm de radio. Hallar el área externa de esta caldera, si el cilindro tiene un radio igual al de las esferas y la longitud es el dublo del diámetro. 8. Una esfera hueca tiene 43 cm de radio exterior y 4 cm de espesor. Halla el radio de otra esfera maciza de igual volumen. 9. Un cubo y una esfera tienen igual área que es de 2.4 m 2 Qué diferencia de volumen hay entre ambos cuerpos? 10. Un barril de vino en forma de tronco de cono tiene una base cuyo diámetro es 90 cm y la otra base mide 80 cm de diámetro. uántos litros contiene si su altura es 1.5m? 11. uántos pies cuadrados de plancha de acero se necesitarán para fabricar un recipiente en forma de cono (sin tapa) como se muestra en la figura?