GEOMETRÍA DEL ESPACIO

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1 GEOMETRÍA DEL ESPACIO

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3 Lic. Saúl Villamizar Valencia 33 1 GEOMETRÍA DEL ESPACIO Definición: Es la parte de la geometría que estudia las propiedades de las figuras y sólidos geométricos cuyos elementos no están en un mismo plano. C A B D M M Espacio: Término no definido. Intuitivamente es el lugar donde están contenidos todos los sólidos geométricos. Plano: Término no definido. Intuitivamente se considera formado por infinitos puntos. Para representarlo utilizamos un paralelogramo. 2. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS Dos planos en el espacio pueden ser: a.- Secantes. Su intersección es una recta. b.- Paralelos 3. POSICIONES DE UNA RECTA Y UN PLANO a.- La recta está contenida en el plano. b.- La recta atraviesa el plano.

4 34 Actualización Permanente en el Área Matemática Postulado: Si dos planos diferentes se cortan, su intersección es un lía recta. 4. EQUIVALENCIA ENTRE MASA, VOLUMEN Y CAPACIDAD MASA VOLUMEN CAPACIDAD Tm m 3 Kl Kg dm 3 l gr cm 3 ml Unidad de Volumen Para medir el volumen de un cuerpo se toma como unidad un cubo de arista igual a la unidad de longitud. La unidad más usada para medir volúmenes es el metro cúbico, que es la cantidad de espacio ocupado por un cubo de un metro de arista. PRINCIPIO DE CAVALIERI (Descubierto por el Sacerdote Jesuita italiano Buenaventura Cavalieri, a principios del siglo XVII y de grandes aplicaciones para el cálculo de volúmenes). Si dos cuerpos o sólidos geométricos cumplen las siguientes condiciones: 1. Tienen sus bases apoyadas en un mismo plano, son equivalentes y además tienen la misma altura. 2. Las secciones producidas por cualquier plano paralelo al de las bases son equivalentes (tienen la misma área). Entonces estos dos cuerpos tienen el mismo volumen. Ejemplo

5 Lic. Saúl Villamizar Valencia 35 Si sobre una mesa hay dos paquetes de hojas de papel idénticas, con igual número, se cumple el Principio de Cavalieri : Puesto que las bases están sobre un mismo plano, tienen la misma altura y las secciones producidas por cualquier plano son equivalentes, en consecuencia los volúmenes son iguales. POLIEDROS Definiciones Se llama poliedro un cuerpo o sólido geométrico, limitado por superficies planas. Las superficies que limitan el sólido se llaman caras del poliedro. Los lados de las caras se llaman aristas y las intersecciones de las aristas se llaman vértices. Ángulo diedro de un sólido es el ángulo formado por dos caras concurrentes en una arista. Ángulo Poliedro Se llama ángulo poliedro a la figura formada por varios ángulos planos que concurren a un mismo punto. Diagonal de un poliedro es un segmento de recta que une dos vértices opuestos de bases diferentes. 6. Poliedros regulares Un poliedro es regular si sus caras son polígonos regulares y sus ángulos poliedros son iguales. Existen únicamente cinco poliedros regulares que están limitados por triángulos equiláteros; cuadrados, o pentágonos regulares. El Octaedro regular Que está limitado por ocho triángulos equiláteros, unidos de cuatro en cuatro. En este sólido cada uno de los ángulos poliedros mide

6 36 Actualización Permanente en el Área Matemática Tiene: 8 caras, 12 aristas y 6 vértices. El icosaedro regular Que está limitado por veinte triángulos equiláteros, unidos de cinco en cinco. Cada ángulo poliedro mide Tiene: 20 caras, 30 aristas y 12 vértices. El dodecaedro regular Que está constituido por doce pentágonos unidos de tres en tres. Cada ángulo poliedro mide Tiene: 12 caras, 30 aristas y 20 vértices. El tetraedro El tetraedro está limitado por cuatro triángulos equiláteros, unidos de tres en tres. En este sólido cada uno de los ángulos poliedros mide Tiene: 4 caras, 6 aristas y 4 vértices. El hexaedro o cubo El cubo está limitado por seis cuadrados unidos de tres en tres. Cada ángulo poliedro mide Tiene: 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. 7. PROCEDIMIENTO PARA CONSTRUIR ALGUNOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS EL PRISMA DE BASE TRIANGULAR Pestaña A

7 Lic. Saúl Villamizar Valencia 37 Procedimiento para construir un prisma de base triangular 1. Dibuje tres rectángulos de dimensiones cualquiera, en los extremos de uno de ellos (en este caso el A) construya un triángulo equilátero de lado igual al ancho del rectángulo. 2. Cuente el número de caras, vértices y aristas. Señale algunas aplicaciones prácticas. EL TETRAEDRO REGULAR A Procedimiento para construirlo 1. Dibuje un triángulo equilátero, A, de cualquier longitud por lado y sobre cada lado de este triángulo construya otro triángulo equilátero congruente con el primero. Trace las pestañas como se indica en la figura; recorte y pegue para obtener el tetraedro. 2. Cuente el número de: vértices, caras, aristas. Qué aplicaciones prácticas podemos indicar? EL HEXAEDRO O CUBO Procedimiento para construirlo 1. Construya seis cuadrados, elabore pestañas en los cuadrados, 1; 2; 3, como se indica en la figura.

8 38 Actualización Permanente en el Área Matemática 2. Recorte y tome cualquier cuadrado como base, para formar el cuerpo o sólido geométrico denominado hexaedro o cubo. 3. Cuente los vértices, sus aristas, calque una cara, Qué figura obtiene? Indique al menos dos aplicaciones prácticas. EL PARALELEPÍPEDO Procedimiento para construirlo Dibuje cinco rectángulos con las medidas que se indican. (No son únicas). Utilice cualquier rectángulo como base, tomando en consideración las siguientes instrucciones. Si la base es el rectángulo A, entonces para los dos rectángulos laterales C y B, el largo es de 5 cm (altura del paralelepípedo. 9cm 5cm A 6cm C D B 5cm 6cm 6cm Cuente el número de vértices, caras y aristas. Cuáles son sus aplicaciones prácticas. Si Ud. calca una cara, qué figura obtiene?

9 Lic. Saúl Villamizar Valencia 39 ÁREA Y VOLUMEN DE ALGUNOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Prisma Definiciones A C D C Se llama prisma el poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas y las otras caras son paralelogramos. V F E H Las caras iguales y paralelas son las bases del prisma y las otras son las caras laterales. El prisma se denomina según el polígono que tenga por base. Así diremos prisma triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. Si las bases son triángulos, cuadrados, pentágonos etc. a. Prisma recto Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a sus bases. b. Prisma regular Es el prisma recto cuyas bases son polígonos regulares.. Área del prisma El área de un prisma puede ser lateral o total. El área lateral comprende el área de todas las caras laterales, y el área total comprende el área lateral más el área de las bases. Área lateral de un prisma El área lateral de un prisma recto es igual al perímetro de la base por la arista o altura. Área total de un prisma

10 40 Actualización Permanente en el Área Matemática El área total de un prisma recto es igual al área lateral más el área de las dos bases. PARALELEPÍPEDO Definición Es todo prisma cuyas caras laterales son paralelogramos. PARALELEPÍPEDO RECTÁNGULO Definición Es el paralelepípedo cuyas arista laterales son perpendiculares a las bases y sus seis caras son rectángulos. Observación Por ser el paralelepípedo un prisma, son válidos los conceptos de éste para calcular el área lateral y el área total de aquel. Volumen de un paralelepípedo rectángulo y el prisma a 1 4 a Todos los prismas de la figura anterior tienen sus bases apoyadas sobre dos planos paralelos y por tanto tienen la misma altura; si suponemos además que todas sus bases son equivalentes, como al trazar un plano paralelo al de las bases la sección producida en cada prisma es igual a la de su propia base cumplen las condiciones del Principio de Cavalieri y por tanto todos los

11 Lic. Saúl Villamizar Valencia 41 prismas de la figura tienen igual volumen. Como este principio puede aplicarse a cualquier otro prisma de bases equivalentes a los de la lámina y de igual altura, concluimos que: Todos los prismas que tienen sus bases equivalentes y la misma altura, tienen el mismo volumen. El más sencillo de estos es el paralelepípedo rectángulo, cuyo volumen se halla aplicando el siguiente postulado, denominado postulado de la unidad: el volumen de un paralelepípedo rectángulo es igual al área de la base por la altura. Volumen de un prisma cualquiera El volumen de un prisma cualquiera es igual al área de la base por la altura. Ejemplos 1. Calcular el área lateral, total y el volumen de un prisma triangular regular, si la apotema de la base mide 9 cms y la arista lateral 36cm. Establecer las equivalencias entre masa, volumen y capacidad. Solución. Base : Triángulo equilátero. Propiedad: En todo triángulo equilátero la apotema es la tercera parte de la altura. a p = h 3 h = 3 a p Altura del triángulo equilátero en función del lado. h = l 3 2 de donde: 2h = l 3 l = 2 h ap= 9 cms. h = 3 ( 9cms) = 27 cms. l = 2 ( 27 cms) = cms Al = 3(31.17cms)36cms

12 42 Actualización Permanente en el Área Matemática Al = cm 2 Como la base es un triángulo equilátero, su área es : A = l 2 cm 2 3 ( ) 3 = = cm 4 4 Área de las dos bases = 2( cm 2 ) = cm 2 At = cm cm 2 = cm 2 Volumen = Área de la base por la arista. V = 420,87 cm 2 x 36 cm V = cm cm 3 equivalen a 15151,32 ml ò 15,15132l ó 15,15132 Kg. 2 Ejemplo 2 El radio de una circunferencia inscrita en la base de un prisma cuadrangular regular mide 9 cms. Calcular; El área lateral, el área total y el volumen si la arista del prisma es de 8 cms. Establezca equivalencias entre peso, volumen y capacidad. Cuál es sus equivalencia en Kl?. Expresar su respuesta en notación científica. M Solución. C EC = diámetro = 18 cms = lado del cuadrado ex-inscrito o base del prisma. Al = 4(18 cms)8 cms Al = 576 cm 2 At = 576 cms 2 +(18 cms) 2 At = 900 cms 2 V = (18 cms) 2 8cms V = 2592 cms 3 que equivalen a 2.592x 10-3 Kl

13 Lic. Saúl Villamizar Valencia 43 Volumen de un paralelepípedo rectángulo El volumen de un paralelepípedo rectángulo es igual al producto de sus tres dimensiones Ejemplo Las dimensiones de un paralelepípedo rectángulo son: 16 cms de largo, 11 cms de ancho y 4 cms de alto. Hallar el área lateral, el área total y el volumen. Al = 2(11cms)4cms +2(16 cms)4cms. Al = 216 cms 2 At = 216 cms 2 +2(11cms)16cms At = 568 cms 2 V= 16 cms.11cms.4cms V= 704 cms 3 Ejercicio Demuestre que la diagonal de un paralelepípedo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de sus tres dimensiones. c d b a x EL CUBO

14 44 Actualización Permanente en el Área Matemática Área lateral y área total El área lateral está constituida por el área de cuatro cuadrados y el área total está formada por el área de seis cuadrados de lado a. a a a Volumen de un cubo El volumen de un cubo es igual a la arista al cubo. V = a.a.a V = a 3 Ejemplo Hallar el área lateral, total y el volumen de un cubo de 5 cms de arista o lado. Al = 4(5cms) 2 Al = 100cms 2 At = 6(5cms) 2 At = 150 cms 2 V = (5cms) 3 V = 125 cms 3

15 Lic. Saúl Villamizar Valencia 45 PIRÁMIDE S a p SN y SQ = Apotema A D N E Q C Definición. Es el poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y por caras laterales triángulos que concurren a un mismo punto. Este punto se llama vértice o cúspide de la pirámide. Una pirámide puede ser triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., según que su base sea un triángulo, un cuadrado, un pentágono, etc. Altura: Es la perpendicular trazada desde el vértice a la base. Aristas laterales: Son los lados que limitan las caras laterales. Pirámide regular Es aquella que tiene por base un polígono regular y el pie de al altura coincide con el centro de la base. Apotema: Es cada una de las alturas de las caras laterales. Observación En una pirámide regular se pueden formar los siguientes triángulos rectángulos: 1. La altura de la pirámide, las aristas laterales y las rectas que unen los vértices de la base con el pie de la altura.

16 46 Actualización Permanente en el Área Matemática 2. La altura de la pirámide, las apotemas de la base y las apotemas de la pirámide. 3. Las apotemas de la pirámide, las aristas laterales y las mitades de los lados de la base. Área lateral Teorema siete El área lateral de una pirámide regular es igual al semiproducto del perímetro de la base por la apotema de la pirámide. S A D a p N E Q C SN y SQ = a p Al = 1/2a p xae + 1/2a p xec + 1/2a p xcd +1/2a p xad. Por qué? Al = 1/2ap(AE +EC +CD +AD ) Al = 1/2a p xp. P = Perímetro. Área total El área total de la pirámide está constituida por el área lateral mas el área de la base At = 1/2a p xp + B. B = Área de la base Volumen de una Pirámide Experimentalmente se puede determinar el volumen de la pirámide aplicando el principio de Arquímedes: todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta una pérdida de peso que es igual al peso del líquido que desaloja. Para ello se utiliza un tetraedro y un prisma triangular cuyas áreas de las bases son equivalentes y ambos sólidos tienen la misma altura; coloca la pirámide de base triangular en una probeta de vidrio graduada que contiene

17 Lic. Saúl Villamizar Valencia 47 agua y se observa el nuevo nivel, se extrae el agua correspondiente a la diferencia de niveles y se pesa. Luego se realiza el mismo procedimiento con el prisma. Aplicando la equivalencia entre peso y volumen se obtiene como conclusión que el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen del prisma triangular. Por tanto el volumen de la pirámide de base triangular es: B.h V = B = Área de la base 3 5 cm 15 cm Tomado de Geometría Intuitiva. Juan A. Viedma Ejemplo Construir una pirámide triangular regular de 8 cms de lado; calcular: El área lateral. el área total y el volumen. Establecer equivalencias entre peso, volumen y capacidad. Usar notación científica. Solución Al = Semiproducto del perímetro de la base por la apotema de la pirámide. Al = p. a p 2 p = perímetro At = Al + A b A b = Área de la base V = A. h b 3 h p = altura de la pirámide

18 48 Actualización Permanente en el Área Matemática 1. La base es un triángulo equilátero de 8 cm de lado. Hallamos la altura de este triángulo que es igual a la apotema de la pirámide. h = l 3 2 Comprobarlo h = cm h = 6,92cm Al = 3(8cm)(6,92cm) Al = 166,08 cm 2 3. La base es un triángulo equilátero y su área está definida como A = l Comprobarlo A b = ( 8 ) 2 cm 3 A b = Área de la base 4 A b = 27,68 cm 2 At = 166,08 cm 2 +27,68 cm 2 4. Para hallar el volumen necesito la altura de la pirámide, la cual determino mediante el siguiente triángulo rectángulo. Altura de la pirámide mide. h p a pb = Apotema de la base app= Apotema de la pirámide = Altura de la pirámide. a pb = Apotema de la base. a pp= Apot ema de la a pb =Como la base es un triángulo equilátero, la apotema es la tercera parte de la altura. a pb = 1/3h a pb = 1/3(6,92 cm) pirá

19 Lic. Saúl Villamizar Valencia 49 apb = 2,3 cm hp= ( 6, 92cm) ( 2, 3cm) hp = 6,52 cm 2 2 V = ( 27, 68 2 cm )( 6, 52 cm ) 3 V = 60,21 cm 3 = 6,021x10-2 litros V = 6,021x10-2 Kg PROBLEMAS GENERALES Nota: Para todos los problemas propuestos para la pirámide las caras laterales son triángulos equiláteros 1. La altura de la base de un prisma triangular regular mide 10cms y la arista del prisma 30 cms. Hallar: Al, At y volumen. Cuál es la capacidad en KL? 2. El área de la base de un prisma triangular regular es de 240 cm 2 Calcular el área lateral si la altura del prisma es de 40 cms. 3. La diagonal de la base de un prisma cuadrangular regular mide 12 cms. Determinar el volumen del prisma si su arista mide 50 cms. 4. Calcular la arista de un prisma triangular regular, si su altura es igual al lado de la base y el área total es de 20 dm Calcular el área lateral, total y el volumen de un prisma hexagonal regular si la apotema de la base mide 11 cms y la altura del prisma 50 cms. 6. El lado de la base de un prisma triangular regular mide 18 cm y la altura del prisma mide 60 cms. Calcular el área lateral.

20 50 Actualización Permanente en el Área Matemática 7. La diagonal de un paralelepípedo rectángulo mide 19 cms, la diagonal de la base mide 9 cms. El largo del paralelepípedo mide 7 cms. Hallar el área lateral, el área total y el volumen. 8. Qué cantidad de cartulina se necesita para construir una caja sin tapa, en forma de paralelepípedo rectángulo, cuya dimensiones son: 75 cms de largo, 29 cms de ancho y 47 cms de alto. Cuánto mide la diagonal de la base y cuánto la diagonal de la caja. 9. Un paralelepípedo rectángulo tiene 20 cms de largo,10 cms de alto y la diagonal de la base mide 35 cms. Calcular su volumen. 11. Compruebe que la diagonal de un cubo es d = a La diagonal de un cubo es 1,23 m. Calcular: Al, At, y V 13. Un tanque en forma de cubo tiene una capacidad de litros. Cuáles son las dimensiones. 14. La diagonal de una de las caras de un cubo mide 324 cms. Hallar el volumen. 15. El volumen de un cubo es de 79507m 3. Hallar: La diagonal de una de sus caras, la diagonal del cubo. El área total. 16. En un paralelepípedo rectángulo se conoce la siguiente información: diagonal del paralelepípedo 16m; diagonal de la base 12cm; largo 7cm. Calcular su volumen. 17. La apotema de la base de un tetraedro mide 13cms. Calcular el área total y el volumen. 18. La apotema de la base de una pirámide cuadrangular regular mide 17 cms. Calcular el área total y el volumen. 19. El volumen de un tetraedro es de 420 m3 y las altura del mismo es 123 cm. Hallar el lado de la base. 20. La apotema de una pirámide triangular regular mide 23 m. Hallar el volumen? 21. En una pirámide cuadrangular regular el lado de la base mide 9 Dm. Hallar el área total. 22. Construir un cubo de 9cm de lado.

21 Lic. Saúl Villamizar Valencia Hallar el área total y el volumen de un tetraedro de 18 cms de lado. Expresar su equivalencia en Kl y notación científica Kl.