VOLÚMENES DE POLIEDROS PRISMA:

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Ángeles García Alarcón
hace 8 años
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1 VOLÚMENES DE POLIEDROS CONCEPTO: El volumen es la medida de la capacidad que posee un sólido. Todo sólido requiere tres dimensiones: largo, ancho y altura (profundidad ó espesor), es por ello que el volumen tiene unidades cúbicas. A continuación se enuncian las propiedades de los principales poliedros. PRISMA: CONCEPTO: Se denomina prisma a todo sólido que posee dos polígonos paralelos llamados bases y sus caras laterales son rectangulares. El área lateral del prisma es igual al perímetro de la base por su altura AL = P b.. H El área total del prisma es la suma del área lateral más el área de sus dos bases AT = AL + 2B Los prismas se clasifican según el polígono que haya en su base así: Triangular regular: Su base es un triángulo equilátero Cuadrangular regular: Su base es un cuadrado Pentagonal regular: Su base es un pentágono regular Hexagonal regular: Su base es un hexágono regular Es de tener en cuenta que esta misma clasificación se utiliza en la pirámide.

2 El volumen del prisma es el producto del área de la base por su altura Volumen del prisma = B. H PIRÁMIDE: CONCEPTO: Se denomina pirámide a todo sólido que posee como base un polígono, normalmente regular, y sus caras laterales son triángulos isósceles APOTEMA: Se llama apotema de todo polígono regular al segmento trazado perpendicularmente desde el centro de dicho polígono a uno de sus lados. La apotema de la pirámide es cualquiera de las alturas de una de las caras laterales que conforman el sólido. Existen varias relaciones en la pirámide, una de ellas está conformada por la altura de la pirámide, la apotema de la base y la apotema de la pirámide quienes forman un triángulo rectángulo. A P H A p 2 = H 2 + A b 2 A b

3 El área lateral de una pirámide regular es el producto del perímetro de la base por la apotema sobre dos AL = P b. A p 2 El área total de una pirámide regular es igual a la suma de las áreas. AT = AL + AB Recordemos que el área de la base está definida por el polígono que conforma la base del sólido en cuestión El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura: Volumen de la piramide = AB. H CILINDRO: CONCEPTO: Se denomina cilindro a todo sólido en el cual las bases son círculos y las caras laterales son circunferencias. Un cilindro se genera cuando un rectángulo gira alrededor de uno de sus lados.

4 El área de la base del cilindro es igual al producto del doble de pi por el radio al cuadrado Donde R es el radio de la base. AB = 2π. R 2 El área lateral del cilindro es igual al producto del doble de pi por la altura AL = 2π. H El área total se deduce de la siguiente expresión: AT = AL + B = 2πRH + 2πR 2 AT = 2πR(H + R) El volumen del cilindro es igual a pi por el radio al cuadrado por la altura Volumen del cilindro = πr 2 H CONO: CONCEPTO: Se denomina cono al sólido generado cuando un triángulo gira alrededor de uno de sus lados o alturas

5 H g Como se forma un triángulo rectángulo: g 2 = H 2 + R 2 R Donde: g = Generatriz R = Radio de la base H =Altura El área de la base del cono es igual al producto de pi por el radio al cuadrado AB = π. R 2 El área lateral del cono es igual al producto de pi por el radio por la generatriz El área total del cono es igual a: El volumen del cono es igual a: AL = π. R. g AT = π. R 2 + π. R. g AT = π. R(R + g) Volumen del cono = π. R2. H Al igual que en la pirámide, el volumen del cono es la tercera parte del cilindro que tenga las mismas dimensiones

6 ESFERA: CONCEPTO: Se denomina esfera al sólido generado por el giro completo de una semicircunferencia alrededor de su diámetro. El área de la esfera está dada por: El volumen de la esfera es: A Esf = 4π. R 2 Volumen de la esfera = 4π. R

7 EJEMPLOS: 1. La apotema de la base de una pirámide hexagonal regular mide 0 centímetros y una de las aristas laterales mide 50 centímetros. Calcule su volumen. Para resolver el problema sobre el volumen de la pirámide se requiere dibujar la base de ésta y una cara lateral, no la pirámide en si L ab L 2 Para el caso del hexágono regular la apotema de la base es la altura de uno de los triángulos equiláteros que lo conforman, esta también es una mediana y mediatriz. Por Pitágoras: L 2 = a b 2 + ( L 2 ) 2 L 2 = a b 2 + L2 4 a b 2 = L 2 L2 4 L2 4 = a b 2 L = 2a b Luego, L = 2.0 L = 20 Area del triángulo: 1 2 L a b

8 Reemplazando: Area del triángulo: Area del triángulo: 00 cm 2 El hexágono regular está conformado por 6 triángulos equiláteros, por lo tanto: Área del hexagono = 6 Área del triángulo Área del hexagono = B = 6.00 cm 2 AB = 1800 cm 2 Cara lateral a L a L = 50 Cm a p L = 0 Cm Por ser un triángulo isósceles, su altura ó apotema de la pirámide divide el lado de la base en dos partes iguales. Por Pitágoras: a 2 l = ( L 2 2 ) + a 2 p a p = a 2 l ( L 2 2 ) Reemplazando: a p = 50 2 (15 ) 2 a p = 5 7 cm

9 Utilizando la relación de la pirámide, para calcular la altura: a p H a b Por Pitágoras: a p 2 = a b 2 + H 2 H = a p 2 a b 2 Reemplazando: H = (5 7) H = H = 925 H = 5 7 Cm El volumen de la pirámide es: Volumen de la pirámide = AB. H Volumen de la pirámide = Volumen de la pirámide = Cm

10 2. Cuál es el volumen de un cono generado por un triángulo equilátero de 20 cm de lado, si gira alrededor de una de sus alturas? H L=g Por Pitágoras L 2 L 2 = ( L 2 ) 2 + H 2 H 2 = L 2 L2 4 H2 = L2 4 H = L2 4 H = L 2 H = 20 2 H = 10 Cm Luego, el volumen del cono es: Volumen del cono = π. R2. H Sustituyendo en la fórmula y operando: Volumen del cono = π(10cm2 ).10 Volumen del cono = 1000π Cm

11 EJERCICIO PROPUESTO N 0 1. Calcular el área lateral y el área total de un prisma hexagonal regular, si la apotema de la base mide 12 cm y la arista lateral mide 6 RESPUESTA:AL: 1728 Cm 2, AT204 cm 2 2. El área total de un paralelepípedo rectángulo es de 76 cm 2 Cuáles son sus dimensiones si están en la relación de,4 y 5. Calcular la arista de un prisma triangular regular, si su altura es igual al lado de la base y el área total es de 10 dm 2 4. Calcule el volumen de un prisma triangular regular si la altura de la base es de 6 cm y la altura del prisma es tres veces el lado de la base 5. La diagonal de la base de un prisma cuadrangular regular mide 12 dm y la arista lateral mide 40 dm. Cuál es su volumen en centímetros cúbicos? RESPUESTA: cm 6. Calcular el volumen, el área lateral, el área total y la diagonal de un cubo cuya arista mide 24 cm. 7. Cuánto pesa dentro del agua un cuerpo de 00 kg de forma cúbica, si su arista mide 60 cm? RESPUESTA 84 kg 8. La diagonal de un cubo mide 15 cm. Calcular su volumen RESPUESTA: 75 cm 9. Calcular el volumen de un prisma hexagonal regular, si la apotema de la base mide 9 cm y la altura del prisma es de 48 cm 10. La apotema de la base de una pirámide regular mide 18 cm, y la altura de la pirámide mide 24 cm. Calcular la apotema de la pirámide 11. Expresar en función de la arista el área lateral del tetraedro regular.

12 12. La apotema de una pirámide triangular regular mide 45 cm y la apotema de la base mide 27 cm. Calcular su volumen RESPUESTA: cm 1. Calcular el volumen de una pirámide triangular regular si el lado de la base mide 12 cm y la arista lateral mide 24 cm 14. Una pirámide regular tiene por caras laterales tres triángulos rectángulos isósceles; la hipotenusa de cada triángulo mide 18 cm. Calcular su volumen 15. La apotema de la base de una pirámide hexagonal regular mide 15 cm. Calcular su volumen si la altura de la pirámide es de 45 cm 16. Encuentre el volumen de un tetraedro regular cuya arista mide K. 17. Cuántos metros cúbicos de agua contiene un pozo cilíndrico de 6 m de profundidad y 2.5 m de diámetro, si su contenido solo llega a los 2/5? 18. Un recipiente cilíndrico de 1.8 m de altura tiene una capacidad de 180 litros. Calcular el radio de la base 19. El lado de un triángulo equilátero mide 8 cm. Calcular el área total y el volumen del cono generado por dicho triángulo, si gira alrededor de la altura. 20. Un cono tiene 0 cm de volumen. Calcular el área de la base, sabiendo que la altura del cono es dos veces el radio de la base. 21. Calcular el área de la superficie de una tienda de forma cilíndrica rematada por un cono, sabiendo que tanto la generatriz del cilindro como la generatriz del cono y el diámetro común miden 2.5 m c/u. 22. Se quiere construir un embudo de 12 cm de diámetro y 18 cm de generatriz. Cuánto costará el material para construirlo, si se paga a 0.80 dólares el dm 2? 2. Calcular el radio de la base de un cono de 12 cm de altura, si su volumen es igual al de una esfera de 8 cm de radio

13 24. Calcular la capacidad de una caldera cilíndrica rematada por dos hemisferios, sabiendo que el diámetro común y la generatriz del cilindro mide cada uno 2.5 m 25. Calcular el radio de una esfera de hierro que pesa Kg (Densidad del hierro 7.8 g/cm ) 26. El área de una esfera es de cm 2 Calcular el volumen de la esfera 27. La circunferencia exterior máxima de una esfera hueca tiene 6 cm y su espesor es de 2 cm. Calcular su capacidad y el volumen del espesor. 28. Una esfera hueca de cobre tiene 40 cm de diámetro. Calcular su peso sabiendo que su espesor es de cm (Densidad del cobre 8.9 g/cm )

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