SOLUCIONARIO Cuerpos redondos

Transcripción

1 SOLUCIONARIO Cuerpos redondos SGUICEG07EM2-A16V1 1

2 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA Cuerpos redondos Ítem Alternativa 1 E 2 D A 4 C 5 C 6 D 7 B 8 D 9 B 10 D 11 B 12 C 1 B 14 B 15 A 16 C 17 A 18 E 19 D 20 B 21 D 22 C 2 E 24 C 25 D 2

3 1. La alternativa correcta es E. El área de un cilindro es igual a la suma de las áreas que lo limitan. Luego: Área cilindro = 2πr 2 + 2πrh = 2π π 4 6 = 2π + 48π = 80π cm 2 2. La alternativa correcta es D. El volumen de un cilindro es igual a Área de la base Altura. Luego, reemplazando: Volumen cilindro = πr 2 h = 2 π 5 = 45π cm. La alternativa correcta es A. Al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura en torno al lado AD, se genera un cilindro de radio 11 cm y altura 7 cm. El volumen de un cilindro es igual a Área de la base Altura. Luego, reemplazando: Volumen cilindro = πr 2 h = 121π 7 = 847π cm 4. La alternativa correcta es C. Al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura en torno al lado AB, se genera un cilindro de radio BC, y altura 0 cm, como se muestra en la figura. D A 0 C 15 B

4 Como AB: BC = 2: 1, entonces BC = 15 cm. Luego, al calcular el volumen del cilindro resulta: Volumen cilindro = πr 2 h = 225π 0 = 6.750π cm 5. La alternativa correcta es C. Al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura en torno al lado AD, se genera un cilindro de radio 8 cm, y altura BC. Aplicando tríos pitagóricos, podemos determinar que BC = 6. Luego, calculemos el volumen de ese cilindro: Volumen cilindro = πr 2 h = 64π 6 = 84π cm 6. La alternativa correcta es D. El área de un cilindro se calcula como la suma de todas las áreas que lo limitan. Como el área de cada una de las dos bases mide π radio² y el área del manto mide 2π radio altura, entonces el área del cilindro es 2π radio (radio + altura). Si llamamos x al radio, entonces el diámetro mide 2x. Como el diámetro y la altura del cilindro tienen la misma medida, entonces la altura también mide 2x. Luego, Área total = 2π radio (radio + altura). Reemplazando resulta: = 2π x (x + 2x) 60 = 6πx² x² = Entonces, si el área del manto mide 2π radio altura, al reemplazar el valor del radio x resulta: 10 2π x 2x = 4π x² = 4π = 40 cm². Por lo tanto, el área del manto del cilindro mide 40 cm². 4

5 7. La alternativa correcta es B. El área total de un cilindro se calcula: Área total = 2π radio altura + 2π (radio) 2 (Reemplazando) 200π = 2π 5 altura + 2π 5 2 (Desarrollando) 200π = 10π altura + 2π π = 10π altura + 50π (Agrupando variables y constantes) 200π 50π = 10π altura 150π = 10π altura (Dividiendo por 10π) 150 π = altura (Simplificando) 10π 15 = altura Por lo tanto, su altura mide 15 cm. 8. La alternativa correcta es D. El rectángulo de la figura está formado por dos cuadrados congruentes. O sea, si el lado del cuadrado mide x cm, entonces el largo del rectángulo mide 2x cm y el ancho del rectángulo mide x cm. Cuando se hace girar un rectángulo en torno a uno de sus lados se forma un cilindro, cuyo volumen se calcula: Volumen = π (radio) 2 altura Cuando el rectángulo ABCD se hace girar indefinidamente en torno al lado AB, resulta el cilindro que se indica en la siguiente figura, con radio x cm y altura 2x cm. Por lo tanto, su volumen (que según el enunciado mide 2.000π cm ) se expresaría como: 5

6 Volumen = π (radio) 2 altura (Reemplazando) 2.000π = π x 2 2x 2.000π = 2π x (Dividiendo por 2π) = x (Aplicando raíz cúbica) 10 = x Luego, el largo del rectángulo mide (2x = 2 10) = 20 cm y el ancho del rectángulo mide 10 cm. Cuando el rectángulo ABCD se hace girar indefinidamente en torno al lado BC, resulta un cilindro como el de la siguiente figura, donde el radio mide 20 cm y la altura 10 cm. Por lo tanto, su volumen se calcula: Volumen = π (radio) 2 altura Volumen = π Volumen = π Volumen = 4.000π (Reemplazando) (Desarrollando las operaciones) Por lo tanto, al hacer girar indefinidamente el rectángulo ABCD en torno al lado BC se forma un cilindro cuyo volumen mide 4.000π cm. 6

7 9. La alternativa correcta es B. Para calcular la cantidad de vasos que se pueden llenar, se debe dividir el volumen del jarro por el volumen del vaso. El volumen de un cilindro se calcula: Volumen = π (radio) 2 altura. Como el jarro tiene 12 cm de diámetro, entonces tiene 6 cm de radio. Luego, calculando el volumen del jarro: Volumen = π (radio) 2 altura Volumen = π Volumen = 1.080π (Reemplazando) (Desarrollando las operaciones) Entonces, el jarro contiene 1.080π cm de jugo. Como cada vaso tiene un tercio del radio y la mitad de la altura del jarro, entonces tiene un radio de 2 cm y una altura de 15 cm. Luego, calculando el volumen de cada vaso: Volumen = π (radio) 2 altura Volumen = π Volumen = 60π (Reemplazando los valores conocidos) (Desarrollando las operaciones) Entonces, cada vaso tiene una capacidad de contener 60π cm de jugo. Luego, la cantidad de vasos que se pueden llenar con el contenido del jarro es: Volumen jarro Volumen vaso 1.080π = 18 60π Por lo tanto, se podrán servir 18 vasos si se llenan completamente. 7

8 10. La alternativa correcta es D. Aplicando tríos pitagóricos, tenemos que la generatriz es 5. El área de un cono es igual a la suma de las áreas que lo limitan. Luego: Área cono = πr 2 + πrg = π 2 + π 5 = 9π + 15π = 24π La alternativa correcta es B. Para determinar la altura del cono, se puede aplicar Pitágoras o considerando que un cateto mide la mitad de la hipotenusa considerar el triángulo rectángulo de hipotenusa 6 y cateto, como la mitad de un triángulo equilátero de lado 6. Luego, su altura sería h = 6 Por otro lado, como el volumen de un cono es igual a 1 (Área de la base Altura), entonces: r 2 h Volumen cono = = 9 = 9 8

9 12. La alternativa correcta es C. Aplicando tríos pitagóricos, AC = 5 cm. Al rotar indefinidamente el triángulo ABC en torno al lado AB, se genera un cono de radio de 5 cm y altura 12 cm. Como el volumen de un cono es igual a 1 (Área de la base Altura). Entonces: r 2 h Volumen cono = = = 100 cm 5 C A 1 12 B 1. La alternativa correcta es B. Para calcular el volumen NO cubierto debemos restar los volúmenes del cilindro y del cono. Aplicando teorema de Pitágoras, la altura del cono y del cilindro mide 8 cm. Luego, calculemos el volumen del cono y del cilindro 8 4 Volumen cilindro = r 2 π h = 4 2 π 8 = 128π Volumen cono = r 2 h = = Entonces, Volumen NO cubierto = 128π = cm Observación: En general, si un cilindro y un cono tienen el mismo radio y la misma altura, el volumen del cono es 1 del volumen del cilindro, y el volumen NO cubierto por el cono es 2 del volumen del cilindro. 9

10 14. La alternativa correcta es B. Si la generatriz del cono mide 10 cm y el radio 6 cm, entonces la altura del cono mide 8 cm. Luego, el volumen del cono es: 8 10 r 2 h Volumen cono = = 6 8 = 96 cm La alternativa correcta es A. Por trío pitagórico, AC = 12 cm. Al rotar indefinidamente el triángulo ABC en torno al lado AB, se genera un cono de radio 12 cm y altura 9 cm. Luego, el volumen del cono es: 12 cm C 15 cm r 2 h Volumen cono = = = 42 cm A 9cm B 16. La alternativa correcta es C. I) Verdadera, ya que la medida de la generatriz de un cono corresponde a la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo que originó al cono. Como este es isósceles de cateto 4 cm, entonces su hipotenusa mide 4 2 cm. 10

11 II) Falsa, ya que el volumen de un cono se calcula: Volumen = 1 π radio2 altura. Como los catetos del triángulo rectángulo isósceles miden 4 cm, entonces el radio y la altura del cono miden 4 cm. Entonces: Volumen = 1 π Volumen = π cm III) Verdadera, ya que el diámetro siempre es el doble del radio y, en este caso, el radio es igual a la altura. Entonces, el diámetro es el doble de la altura. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas. 17. La alternativa correcta es A. El volumen de un cubo se calcula como: Volumen = arista (Reemplazando el volumen) 216 = arista (Aplicando raíz cúbica) 6 = arista Luego, las aristas del cubo miden 6 cm. Como la base del cono está inscrita en la cara inferior del cubo, y el vértice del cono se encuentra en el centro de la cara superior del cubo, entonces la altura y el diámetro del cono miden 6 cm. Luego, el radio del cono mide cm. El volumen de un cono se calcula: Volumen = 1 π radio2 altura Volumen = 1 π 2 6 (Reemplazando) (Desarrollando las operaciones) Volumen = 1 π 9 6 Volumen = 1 π 54 Volumen = 18π Por lo tanto, el volumen del cono mide 18π cm. 11

12 18. La alternativa correcta es E. Si el radio de la esfera es 9 cm y entonces el área de la esfera es: Área esfera = 4πr 2 = 4π 9 2 = 24π Luego, el área mide 24π cm La alternativa correcta es D. Si el diámetro de la esfera es 6 cm, entonces el radio mide cm, y su volumen es: Volumen esfera = 4 r = = = 6 Luego, el volumen de la esfera es 6π cm 20. La alternativa correcta es B. Como el triángulo QPS es rectángulo en Q y el arco SR es un cuarto de circunferencia de centro Q y radio 6, entonces RQ = SQ = 6. Dado que RP = 18, entonces QP = 12. Al girar indefinidamente el arco SR en torno a RQ, se genera una semiesfera de radio 6. Luego, su volumen es radio = = 144π. 2 = 216 Al girar indefinidamente el triángulo QPS en torno a QP se genera un cono de radio 6 y altura 12. Luego, su volumen mide 1 radio 2 altura = = 144π. Por lo tanto, al girar indefinidamente la figura completa en torno a RP se genera un cuerpo cuyo volumen es (144π + 144π) = 288π. 12

13 21. La alternativa correcta es D. El volumen de una esfera se calcula como 24 Luego, radio = radio. El área de una esfera se calcula como 4π radio². Luego, Área = 4π Al desarrollar la raíz, resulta Por lo tanto, el área de la esfera mide (4π 12 ) = La alternativa correcta es C. El área de una esfera se calcula: Área = 4π (radio) 2. Como, en este caso, el área de la esfera mide.600π cm 2, entonces: Área = 4π (radio) 2.600π = 4π (radio) 2 (Dividiendo por 4π) 900 = (radio) 2 (Aplicando raíz cuadrada) 0 = radio Por lo tanto, el radio de la esfera mide 0 cm. Al cortar una esfera por la mitad, en dos partes iguales, dicho cuerpo geométrico está formado por dos superficies: un círculo y una semiesfera, como se muestra en la figura. Luego, el área total corresponderá a la suma de ambas superficies. Entonces: 1

14 Área total = área círculo + área semiesfera Área total = π (radio) π (radio) 2 Área total = π (radio) 2 + 2π (radio) 2 Área total = π (radio) 2 Área total = π 900 Área total = 2.700π (Reemplazando) Por lo tanto, el área total de cada una de las mitades de la esfera es 2.700π cm La alternativa correcta es E. ESE I) Verdadera, ya que la longitud que se midió en la pelota (24π cm) fue el perímetro de la circunferencia máxima, que está relacionada con el radio de la esfera. El perímetro de una circunferencia se calcula: Perímetro = 2π radio (Reemplazando el perímetro) 24π = 2π radio (Dividiendo por 2π) 12 = radio O sea, el radio de la pelota mide 12 cm. Luego, el diámetro de la pelota mide 24 cm. II) Verdadera, ya que la superficie (área) de una esfera se calcula: Área = 4π (radio) 2 Área = 4π 12 2 Área = 4π 144 Área = 576π (Reemplazando el radio) (Desarrollando las operaciones) Luego, la superficie de la pelota mide 576π cm 2. III) Verdadera, ya que el volumen de una esfera se calcula: Volumen = 4 π radio Volumen = 4 π 12 (Reemplazando el radio) (Desarrollando las operaciones) 14

15 4 Volumen = π Volumen = 2.04π Luego, el volumen de la pelota mide 2.04π cm. Por lo tanto, las afirmaciones I, II y III son verdaderas. 24. La alternativa correcta es C. (1) El perímetro de la base mide 12 cm. Con esta información, no es posible determinar el volumen de un cono, ya que se puede conocer el radio pero no la altura. (2) La altura del cono mide 9 cm. Con esta información, no es posible determinar el volumen de un cono, pues no se conoce el radio. Con ambas informaciones, sí es posible determinar el volumen del cono, ya que podemos determinar el radio y la altura es conocida. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas. 25. La alternativa correcta es D. (1) El radio de la esfera mide 9 cm. Con esta información, sí es posible determinar el área de una esfera, ya que solo reemplazamos en la fórmula. (2) El volumen de la esfera mide 972 cm. Con esta información, sí es posible determinar el área de una esfera, ya que podemos determinar el radio, y posteriormente aplicar la fórmula para determinar el área. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola. 15