SGUICEG024MT22-A16V1. SOLUCIONARIO Ubicación de puntos, distancia y longitudes en el plano cartesiano

Transcripción

1 SGUICEG04MT-A16V1 SOLUCIONARIO Ubicación de puntos, distancia longitudes en el plano cartesiano 1

2 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA UBICACIÓN DE PUNTOS, DISTANCIA Y LONGITUDES EN EL PLANO CARTESIANO Ítem Alternativa 1 E A C 4 E 5 B 6 A 7 C 8 E 9 E 10 C 11 C 1 B 1 C 14 D 15 C 16 D 17 C 18 D 19 A 0 D 1 A B C 4 A 5 D

3 1. La alternativa correcta es E. El punto medio de un segmento cuos puntos etremos son ( 1, 1 ) (, ) se calcula 1 1 como,. Luego, si P (, 4) Q (8, ), entonces el punto medio de PQ es ,,, Por lo tanto, el punto medio de PQ es, 1.. La alternativa correcta es A. El punto medio de un segmento cuos puntos etremos son ( 1, 1 ) (, ) se calcula 1 1 como,. Luego, si P (5, 7), Q (, ) el punto medio es (4, 1), entonces 5 7 (4, 1) =, Igualando la segunda componente resulta 1 =. La alternativa correcta es C. 7. Entonces, = ( 7) = 5. El punto medio de un segmento cuos puntos etremos son ( 1, 1 ) (, ) se calcula 1 1 como,. Luego, si A (a, b), C (b, a b) el punto medio es a b b a b M (0, 6), entonces (0, 6) =, a b Igualando la segunda componente resulta 6 =. Entonces, (a b) = 6

4 4. La alternativa correcta es E. Al ubicar los puntos en el plano cartesiano, se tiene que: I) Verdadera, a que ambos puntos tienen igual ordenada, o sea PQ es un segmento horizontal. II) Verdadera, a que QR es un segmento vertical de abscisa 9. III) Verdadera, a que PQ es un segmento horizontal QR es un segmento vertical. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 5. La alternativa correcta es B. AP Si el punto P divide interiormente al segmento AB de manera que, entonces se PB cumple que tanto horizontal como verticalmente las coordenadas se dividen en esa razón. Entonces, si P(a, b), A( 1, ) B(4, 7): d( AP) d( PB) X X P B A P a ( 1) 4 a a + = 1 a a = d( AP) d( PB) Y Y P B A P b 7 b b 6 = 1 b b = Por lo tanto, las coordenadas del punto P son (, ). (Observación: también es posible resolver la pregunta de manera gráfica, bajo los mismos conceptos) 4

5 6. La alternativa correcta es A. Si AC es una diagonal del paralelógramo ABCD, entonces BD es la otra diagonal. Como las diagonales de un paralelógramo se dimidian, entonces el punto medio de AC es igual al punto medio de BD. Luego, si A (1, ), B (, 4), C (1, 7) D (p, m), entonces: A C A C B D B D,, 11 7 p 4 m,, 9 p 4,, m Igualando las coordenadas resulta: = + p p = 1 9 = 4 + m m = 5 Por lo tanto, las coordenadas del punto D son ( 1, 5). 7. La alternativa correcta es C. Al graficar los puntos los segmentos mencionados: I) Verdadera, a que RQ es un segmento horizontal PQ es un segmento vertical. II) Verdadera, a que PQ es un segmento vertical el eje de las ordenadas corresponde al eje Y. III) Falsa, a que RP es la hipotenusa del triángulo RQP, rectángulo en Q. Entonces, RP RQ. 1 1 R Q P Por lo tanto, solo las afirmaciones I II son verdaderas. 5

6 8. La alternativa correcta es E Dada una circunferencia de centro O (6, 8) un punto P (18, 1) perteneciente a ella, se puede determinar el radio r mediante la fórmula de distancia, entonces r d OP Dado el centro O (6, 8) de la circunferencia, perteneciente al cuadrante I, se debe tener en cuenta que para que la circunferencia pase por el cuadrante: * dos (II) es necesario que el radio sea maor que 6. * cuatro (IV) es necesario que el radio sea maor que 8. * tres (III) es necesario que el radio sea maor que la distancia desde el centro de la circunferencia al origen del plano cartesiano, o sea Entonces, la circunferencia pasa por los cuadrantes I, II, III IV. 9. La alternativa correcta es E Dado que el triángulo ABC es isósceles de base AB (segmento vertical), el punto medio de la base es (, 6), entonces el vértice C debe ubicarse en la línea horizontal que pase por el punto medio de AB. Es decir, las coordenadas de C son (a, 6). Como el área del triángulo ABC es igual a 10 la base AB es igual a 4, entonces se plantea el área como base altura 4 altura Área = 10 = altura = 5 Luego, como la altura es igual a 5, entonces el punto C debe ubicarse 5 unidades a la izquierda o a la derecha del punto (, 6), o sea debe tener coordenadas (, 6) o (7, 6). Sin embargo, como el triángulo ABC solo se encuentra en el cuadrante I, las coordenadas del punto C son (7, 6). 6

7 10. La alternativa correcta es C. F E A(,0) 4 G(6, 0) D(10, 0) h 4 4 B C Un heágono regular tiene todos los lados congruentes entre sí. Al trazar las diagonales, se forman seis triángulos equiláteros congruentes. Luego, si la diagonal AD es igual a 8, entonces el lado de cada triángulo es igual a 4. El triángulo GDC es un triángulo equilátero de base GD la altura h es transversal de gravedad, por lo cual une el punto medio del lado GD con el vértice opuesto C, su longitud es Luego, el vértice C se puede obtener desplazando G unidades a la derecha h unidades hacia abajo. Por lo tanto, el punto C tiene coordenadas. 11. La alternativa correcta es C. Aplicando la fórmula de la distancia entre los puntos A B d AB = 1 1 ( 6 ) (4 1) ( 4) () = 5 7

8 1. La alternativa correcta es B. Aplicando la fórmula de la distancia entre A B, tenemos: d AB La alternativa correcta es C. ( 5 9) ( ) I) Verdadera, a que se forma un cuadrado de lado 6. Luego, el perímetro es cuatro veces la medida del lado, siendo 4. II) Verdadera, a que cada diagonal de un cuadrado mide el lado por, siendo 1. III) Falsa, a que el área es lado² = 6 = 7. Por lo tanto, solo las afirmaciones I II son verdaderas. 14. La alternativa correcta es D. Ubicando los puntos dados en el plano cartesiano, se forma un romboide, representado en la figura. Cuando las coordenadas de dos puntos difieren solo en una de sus componentes, la distancia entre ellos es la diferencia positiva entre ellas. Luego, la distancia entre (0, 0) (5, 0) es igual a la distancia entre (, 5) (7, 5), que es 5. (, 5) (0, 0) (7, 5) (5, 0) 8

9 En caso contrario, se debe aplicar la fórmula d = (, 5) (5, 0) (7, 5) resulta 9. (, que para (0, 0) 1 ) ( 1 ) Luego, el perímetro es La alternativa correcta es C. Ubicando los puntos dados en el plano cartesiano, se obtiene el triángulo representado en la figura,de altura 1 base 8. (4, 1) base altura 18 Entonces, el área es La alternativa correcta es D. (0, 0) (8, 0) I) Verdadera, a que se forma un cuadrado de lado 5, luego el perímetro es 0. II) Falsa, a que el valor de cada diagonal es 10. III) Verdadera, a que sus diagonales son iguales perpendiculares. Por lo tanto, solo las afirmaciones I III son verdaderas. 9

10 17. La alternativa correcta es C. Como el triángulo PQR es isósceles en Q, entonces la altura que sale de Q llega al punto medio del lado PR. Luego, la longitud de la altura es igual al distancia entre Q (, ) el punto medio de PR. El punto medio de un segmento cuos puntos etremos son ( 1, 1) (, ) se calcula como 1 1, 0 0 es, = ( 1, 1).. Luego, si P (, 0) R (0, ), entonces el punto medio de PR Entonces, la longitud de la altura es igual al distancia entre Q (, ) el punto medio de PR. La distancia entre dos puntos ( 1, 1) (, ) se calcula como ( 1 ) ( 1) ( ( 1)) ( 1) =, entonces la altura que cae sobre el lado PR mide ( ) = 18 = El lado PR mide ( 0 Luego, el área del triángulo es ( )) ( 0) = base altura = 8 = PR h = = 6. Por lo tanto, el área del triángulo PQR es La alternativa correcta es D. Aplicando la fórmula de la distancia entre A (, ) B (1, m), resulta: d AB 5 = B A B A ( 1 ( )) ( m ) 10

11 5 = (1 ) m 4m 4 5 = 9 m 4m 4 5 = m 4m 1 (Elevando al cuadrado) 5 = m² 4m = m² 4m 1 (Factorizando) 0 = (m 6)(m + ) Luego, m puede valer 6 o, pero como m es un número positivo, entonces m = 6. Con ello, el punto C tiene coordenadas (1, m 1) = (1, 5). Aplicando la fórmula de la distancia entre A (, ) C (1, 5), se tiene: d AC = 1 1 = ( 1 ( )) (5 ) ) = ( 1 Por lo tanto, la distancia entre el punto A el punto C es. 19. La alternativa correcta es A. En la figura se ubican los puntos en un gráfico, tomando a como unidad. a P Considerando el lado PR (que mide 4a unidades) como base, entonces la altura (h) que cae sobre la base mide a unidades. base altura PR h 4a a Luego, Área = = 6a². a a a R Por lo tanto, el área del triángulo PQR es 6a². Q a h 11

12 0. La alternativa correcta es D. La transversal de gravedad es un segmento que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Entonces, la longitud de la transversal de gravedad que cae sobre el lado AB es la distancia entre el punto C el punto medio de AB. El punto medio M de AB, con A (, ) B ( 1, 1), es A B, A B ( 1) 1 4 4,, = (, ). La distancia entre C (1, ) M (, ) es d CM B A B A ( 1) ( ) ( ) ( 1) 10 Por lo tanto, la longitud de la transversal de gravedad del triángulo que cae sobre el lado AB es La alternativa correcta es A La distancia entre A (, 1) B (8, 1) es igual a 6. Luego, el triángulo equilátero ABC tiene lado l de longitud 6. Como ABDE es un rectángulo, la medida de BD es igual a la altura h del triángulo equilátero ABC, es decir l BD h 6 Con lo anterior, se tiene que las coordenadas del punto D son 8, 1. Entonces, la distancia entre los puntos A D es igual a d AB

13 Por lo tanto, la distancia entre los puntos A D es igual a. (Observación: La distancia entre A D también se puede obtener mediante el teorema de Pitágoras). La alternativa correcta es B Dado que el segmento AB es vertical de longitud 4, para que el triángulo ABC sea rectángulo en B, es necesario que el segmento BC sea perpendicular al segmento AB. Es decir, debe pertenecer a la recta. Además, el triángulo ABC cumple con el teorema de Pitágoras, por lo cual, dado que el cateto AB es igual a 4 la hipotenusa AC es igual a 5, el cateto BC debe ser igual a, por tríos pitagóricos. Luego, C está tres unidades a la derecha o tres unidades a la izquierda de B. Por ende, C tiene coordenadas (5, 9) o ( 1, 9). De las coordenadas propuestas, la que está dentro de las opciones es ( 1, 9).. La alternativa correcta es C I) Verdadera, a que el diámetro AB tiene puntos, luego el centro de la circunferencia O corresponde al punto medio de los etremos del diámetro O,, II) Falsa, a que se tiene que la longitud del radio r de la circunferencia es igual a la mitad de la longitud de su diámetro. Luego r d AB , 7 4 1

14 III) Verdadera, a que si la distancia entre un punto el centro de una circunferencia es mide lo mismo que el radio de esta, entonces ese punto pertenece a la circunferencia. Luego, la distancia entre P Q es d = (7 5) (5 7) ( ) AB Luego, el punto P pertenece a la circunferencia. Por lo tanto, solo I III son verdaderas. 4. La alternativa correcta es A. (1) PQ es paralelo al eje Y. Con esta información, es posible determinar el punto medio del segmento PQ, a que se conclue que la abscisa es igual en ambos puntos. Luego, Q tiene coordenadas (, ) el punto medio del segmento PQ es (, 1). () OQ =. Con esta información, no es posible determinar el punto medio del segmento PQ, a que ha dos puntos de la forma Q(a, a) cua distancia al origen es, son (, ) (, ). Con el primero de ellos, el punto medio del segmento PQ es (, 1), pero con el segundo el punto medio del segmento PQ es (0, 4). Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola. 5. La alternativa correcta es D. Como A C tienen la misma abscisa, entonces el segmento AC es paralelo al eje Y. Como B C tienen la misma ordenada, entonces el segmento BC es paralelo al eje X. Entonces, AC BC, lo que significa que BCA = 90. Luego: (1) BCA = 5 CAB. Con esta información, es posible determinar el CAB, a que BCA 90 CAB = =

15 () ABC = 7. Con esta información, es posible determinar el CAB, a que el ABC el CAB son complementarios. Entonces CAB = (90 ABC) = (90 7 ) = 18. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola. 15