GUIA Nº3 GEOMETRIA EN EL ESPACIO

Transcripción

1 GUIA Nº Obtenga las longitudes de los lados del triángulo ABC determine si éste es rectángulo, isósceles o ambos: a) A(,, ) B(,, ) C(,, ) b) A(,, ) B(,, ) C(,, ) c) A(,, ) B(,, ) C(6,, ) d) A(,, ) B(,, ) C(,, ) Determine el punto medio del segmento que une los puntos A B: a) A(,, 6) B(,, ) b) A(,, 5) B(6,, ) Halle las coordenadas de los tres puntos que dividen al segmento AB en cuatro partes iguales a) A(,, ) B(,, 5) b) A(, 6, ) B(6,, ) Uno de los etremos de un segmento de recta es P (, 6, ) el punto medio es Q(,, 6) Encuentre el otro etremo 5 Uno de los etremos de un segmento de recta es P (,, 6) el punto medio Q está en el plano = El otro etremo P está en la intersección de los planos de ecuaciones = = 6 Encuentre las coordenadas de P de Q 6 Determine si los tres puntos dados en cada caso son colineales a) A(,, ), B(,, ) C(,, ) b) A(,, ), B(, 6, 5) C(,, ) c) A(,, ), B(,, ) C(, 6, ) Describa el conjunto de puntos del espacio definido en cada caso: a) {(,, ): = ; = } b) {(,, ): 5} c) {(,, ): ; ; } d) {(,, ): + + < } Demuestre que las coordenadas de un punto Q(,, ) que divide al segmento de recta con etremos P (,, ) P (,, ) en una raón de p es a q, están dadas por las fórmulas: = p q, = p q p q, = p q p q p q 9 Obtenga la ecuación de la gráfica de todos los puntos del espacio que son equidistantes de los puntos de coordenadas (,, ) C(,, ) Podría usted describir esta gráfica? Obtenga la ecuación de la gráfica de todos los puntos del espacio tales que la suma de sus distancias a (,, ) C(,, ) es siempre igual a Describa la gráfica

2 GUIA Nº Los puntos A(,, ), B(,, ), C(,, ) D(,, ) son los vértices de una figura de cuatro lados Demuestre que los cuatro lados miden, pero que no se trata de un rombo Encuentre un conjunto de números directores un conjunto de cosenos directores para cada recta que pasa por los puntos A B dados a) A(,, ) B(, 5, ) b) A(,, ) B(, 5, ) c) A(,, ) B(,, 5) d) A(6,, ) B(, 5, ) En cada caso, se da un punto P un conjunto de números directores Obtenga las coordenadas de otro punto de la recta L que determina cada punto P los números directores que le acompañan a) P (, 6, ) los números directores, b) P (,, ) los números directores, 5 c) P (, 5, ) los números directores, d) P (,, ) los números directores, En cada caso, determine si la recta que pasa por los puntos P P es paralela a la recta que pasa por los puntos Q Q a) P (,, ) P (,, ); Q (, 5, ) Q (,, ) b) P (,, ) P (,, ); Q (,, ) Q (,, ) c) P (,, ) P (,, 5); Q (, 6, ) Q (, 5, ) 5 En cada caso, determine si la recta que pasa por los puntos P P es perpendicular a la recta que pasa por los puntos Q Q a) P (,, ) P (,, 5); Q (,, ) Q (,, 6) b) P (,, ) P (,, ); Q (,, ) Q (,, ) c) P (,, ) P (5,, ); Q (,, ) Q (,, ) 6 En cada caso, obtenga cos, donde es el ángulo entre la recta L que pasa por los puntos P P la recta L que pasa por los puntos Q Q a) P (,, ) P (,, ); Q (, 5, ) Q (,, ) b) P (,, 5) P (,, ); Q (,, ) Q (, 5, ) c) P (,, 5) P (,, ); Q (,, 6) Q (,, ) Un tetraedro regular es una figura con cuatro caras que son triángulos equiláteros Proponga cuatro puntos del espacio que sean vértices de un tetraedro regular con aristas de unidades

3 GUIA Nº Dado el conjunto S = {(,, ): + + = }, halle los puntos de SL, donde L es la recta que pasa por el origen con números directores, 9 Determine el centro el radio de la esfera cua ecuación es: a) b) Obtenga las ecuaciones para cada recta que pasa por los puntos A B dados a) A(,, ) B(,, ) b) A(,, ) B(,, ) c) A(,, 5) B(,, ) d) A(5, 5, ) B(6,, ) En cada caso, halle las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P dado con los números directores que le acompañan a) P (,, ) los números directores, b) P (,, ) los números directores, c) P (,, ) los números directores, d) P (,, ) los números directores, En cada caso, decida si las rectas L L son perpendiculares a) L : ; L : b) L : ; L : c) L : ; L : d) L : 5 5 ; L : e) L : ; L : Encuentre los puntos de intersección de L = {(,, ): } con cada uno de los planos coordenados Demuestre que las siguientes rectas son coincidentes: 5

4 GUIA Nº 5 Halle las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(,, ) es perpendicular e intercepta a la recta de ecuaciones [Sugerencia: Llame (,, ) al punto de intersección determine sus coordenadas] 6 Obtenga la ecuación del plano que pasa por el punto P que tiene los números posicionales dados a) P (,, );,, b) P (,, 5);,, c) P (,, 5);,, d) P (,, );,, Construa la ecuación del plano que pasa por los tres puntos dados a) (,, ); (,, ); (,, ) b) (,, ); (,, ); (, 5, ) c) (,, ); (,, ); (,, ) d) (,, ); (,, ); (,, ) Determine la ecuación de un plano que pasa por el punto P que es perpendicular a la recta L a) P (,, ); L : = + t, = + t, = t b) P (,, ); L : = t, = t, = + t c) P (,, ); L : = + t, =, = t 9 Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P que es perpendicular al plano dado M a) P (,, ); M : + + = b) P (,, ); M : + = c) P (,, ); M : + + = Determine la ecuación de un plano que pasa por el punto P es paralelo al plano a) P (,, ); : + + = b) P (,, ); : = c) P (,, ); : + 6 = Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P es paralela a la recta L a) P (,, ); L: b) P (,, ); L: c) P (,, ); L:

5 GUIA Nº En cada caso, determine la ecuación de un plano que contiene a las rectas L L a) L : b) L : d) L : ; L : ; L : ; L : (L paralela con L ) Demuestre que el plano 5 6 = contiene a la recta de ecuaciones = + t; = + t; = + t Un plano tiene números posicionales A, B, C, una recta tiene números directores a, b, c Qué condición se debe satisfacer para que el plano la recta sean paralelos? 5 Demuestre que los tres planos de ecuaciones respectivas, 5 =, + =, = ; contienen a una recta común Entregue las coordenadas de dos puntos de esta recta 6 Calcule cos, donde es el ángulo que forman los planos dados a) + =, + 6 = b) =, + + = c) + 5 =, + = Construa las ecuaciones paramétricas para la recta de intersección de los planos dados a) =, + + = b) + + =, = c) + + =, + + = Determine el punto de intersección del plano la recta dados a) + 5 =, b) =, c) + + =, 9 Calcule la distancia desde el punto dado al plano dado a) (,, ); =

6 GUIA Nº b) (,, ); = c) (,, ); + = Determine la ecuación de un plano que pasa por la recta que es perpendicular al plano + + = Encuentre la ecuación de un plano que pasa por la recta que es paralelo a la recta Determine la ecuación del plano que pasa por la recta paralelo a la recta que es Obtenga las ecuaciones de cualquier recta que pase por el punto (,, ) que sea paralela al plano + + = Halle la ecuación del plano que pasa por (,, ) (,, ) que es paralelo a la recta 5 Determine todos los puntos de intersección de los tres planos dados Si los tres planos pasan por una recta, obtenga las ecuaciones paramétricas para ella a) + =, + + =, + + = b) + + =, + =, + 5 = c) + =, + =, + + = 6 Construa las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto dado P que intersecta es perpendicular a la recta dada L a) P (,, ); L: b) P (,, ); L: Si A + B + C + D = A + B + C + D = son dos planos que se intersectan, cuál es la gráfica de todos los puntos que satisfacen la ecuación A + B + C + D + k (A + B + C + D ) =, donde k es una constante real? Obtenga la ecuación del plano que pasa por el punto (,, ) por la intersección de los planos + = ; + + =

7 GUIA Nº Resultados Geometría Vectorial - a) AB, BC AC, triángulo escaleno 9 - b),, 9 - b), 9 5,,,,,,, - b) Bloque que se etiende al infinito en las direcciones X Z limitada por los planos a) números directores:,,-6 6 cosenos directores:,, c) AB, BC 5 AC 5- P,5, 6, Q,, 6- b) No son colineales, triángulo rectángulo d) Interior de una esfera de radio b) números directores:,-6,- 6 cosenos directores:,, - b) (,,) - a) paralela c) no es paralela 5- b) perpendicular 6- a) c) 9 9- a) centro: (6,-,) ; radio: - a) c) ,,,,,, 5,, - a) c) a) - a) c) c) - d) 5 6- a) c) - a) 5t, 9 t, t 9- a) c) t, t, b),, 6- a) t, 5t, t 5 5 5