NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES GUÍA DE EJERCITACIÓN Teorema de Thales y división de segmentos

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Alba Nieto Tebar
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2 TABLA DE CORRECCIÓN TEOREMA DE THALES Y DIVISIÓN DE SEGMENTOS ÍTEM ALTERNATIVA HABILIDAD 1 E B A E 5 A 6 D 7 B 8 D 9 D 10 B 11 C 1 C 1 D Comprensión 1 C 15 D 16 B 17 E 18 C 19 A 0 A

3 1. La alternativa correcta es E. Según la figura, AC = AB + BC. Como BC mide 0 cm, entonces AB = AC 0. Luego: AB AC 5 (Reemplazando) AC 0 AC 5 5 (AC 0) = AC (Distribuyendo) 5 AC 00 = AC (Ordenando) 5 AC AC = 00 (Reduciendo) AC = 00 (Despejando AC ) 00 AC = (Dividiendo) AC = 100 Por lo tanto, AC mide 100 cm.. La alternativa correcta es B. AC = AB + BC = (x + ) + (x + 1) = x +. Luego: AC 9 BC (Reemplazando) x 9 x 1 (x + ) = 9 (x + 1) (Distribuyendo) 1x + 16 = 18x + 9 (Ordenando) = 18x 1x (Reduciendo) 7 = 6x (Despejando x) 7 x 6 Por lo tanto, el valor numérico de x es 6 7.

4 . La alternativa correcta es A. Como AB BC BC CD AB BC, entonces: BC CD AB BC CD BC Por lo tanto, como AC = AB + BC y BD = BC + CD, entonces: 7 7 BC BC BC BC BC AC AB BC BD BC CD 7 7 BC BC BC BC BC 7 7. La alternativa correcta es E. Si el punto D divide interiormente a AB en la razón : 7, entonces se puede plantear: AD = DB 7 p 1 = p 7 (Reemplazando las expresiones) 7(p + 1) = (p + ) (Distribuyendo) 7p + 7 = 6p + 1 7p 6p = 1 7 p = 5 (Ordenando) Luego, AD = (p + 1) = (5 + 1) = 6 cm y DB = (p + ) = ( 5 + ) = (10 + ) = 1 cm. Entonces, AB = (AD + DB) = (6 + 1) = 0 cm. Por lo tanto, la medida de AB es 0 cm.

5 5. La alternativa correcta es A. AD AB BC CD (Reemplazando, con BC = x) AD = 18 + x + 10 (Reduciendo) AD = x + 8 Luego: BC AD x (Reemplazando) x 8 15x = (x + 8) (Eliminando paréntesis) 15x = x + 56 (Ordenando) 15x x = 56 1x = 56 (Despejando x) 56 x 1 56 Por lo tanto, segmento BC mide 1 6. La alternativa correcta es D. I) Falsa, ya que PR RQ 5 II) Verdadera, ya que III) Verdadera, ya que PR 15 RQ 0 PR RQ Por lo tanto, solo los segmentos II y III están divididos en la razón : 8. 5

6 7. La alternativa correcta es B. CE es bisectriz del ángulo ABC. Aplicando el Teorema de la bisectriz: AC BC BE 1 BE = AE BE BE BE Por lo tanto, AB = + = 7 8. La alternativa correcta es D. Geometría de Proporción Aplicando el teorema de la bisectriz, tenemos AC AB, que al reemplazar queda: CD DB b c C (Despejando) a - DB DB b DB = ac c DB a b D b DB + c DB = ac DB (b + c) = ac ac DB A B b c c 6

7 9. La alternativa correcta es D. Como los ángulos correspondientes son iguales, entonces Thales: AB // CD. Aplicando teorema de q p C D r x p q p r x x(p q) = pr x = pr p q A B 10. La alternativa correcta es B. PC PB (Reemplazando) CD AB x 6 x (x + ) = 6 (x + ) (Distribuyendo) x + 6 = 6x + 1 (Ordenando) = 6x x (Reduciendo) 6 = x (Despejando x) 6 x (Simplificando por ) x Por lo tanto, el valor numérico de x es 7

8 11. La alternativa correcta es C. Esquematizando la situación, se obtiene la siguiente figura, donde CS = 1, 5 metros y AB = x AB // PQ, PQ = 0 cm, CT = 0 cm, P C T Q Aplicando el teorema de Thales: CT CS (Reemplazando) PQ AB 0 1,5 (Despejando x) 0 x 1,5 0 x 0 x =,5 A S B Por lo tanto, el diámetro de la luz que proyecta el foco en el suelo mide,5 metros. 1. La alternativa correcta es C. Según el teorema general de Thales, rectas paralelas producen trazos proporcionales. En a x este caso, se cumple que:. Luego: y a I) Verdadera, ya que a x a = x y y a II) Falsa, ya que despejando x, resulta: x a ; despejando y, resulta: y a. Luego: x y a a a a 9 8

9 III) Verdadera, ya que despejando x, resulta: x a ; despejando y, resulta: 9 1 y a. Luego: x y a a a a a Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas. 1. La alternativa correcta es D. Comprensión I) Verdadera, ya que según el primer teorema particular de Thales: CP PQ intercambiando los segmentos PQ y CA, resulta. CA AB CP PQ CA. Luego, AB II) Verdadera, ya que según el teorema general de Thales: CP PA CQ QB CQ CB III) Falsa, ya que según el primer teorema particular de Thales:, y es un error PQ AB común considerar en la segunda razón el segmento incompleto QB, en vez de todo el lado CB, que es lo correcto. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. 9

10 1. La alternativa correcta es C. Como L 1 // L // L, entonces se puede aplicar el teorema general de Thales: a = b ( a b) a(a + b) = b (Distribuyendo) a² + ab = b (Ordenando) a² = b ab (Factorizando) a² = b( a) (Despejando b) a = b a Por lo tanto, la medida de b es a. a 15. La alternativa correcta es D. PQ // MN, entonces MN RN. Por tríos pitagóricos, en RNT, RN = cm Aplicando Teorema de Thales: RN MP MP 5 MP = 10 RT PT MP = = 6 cm NQ = 6 cm 5 S M 6 P 10 T 5 R N 6 Q Aplicando Teorema de Thales: RT RP PQ = 15 TN PQ PQ PQ = 15 5 PQ = 1 cm M P S R T N Q Por lo tanto, el perímetro del trapecio PQNT es ( ) cm = cm 10

11 16. La alternativa correcta es B. Por trío pitagórico en triángulo ABG, AB =. Del dibujo se deduce que BG // CF // DE, entonces aplicando Teorema de Thales: 5 G F E 9 9 DE = 9 DE = DE 7 DE = A B C D 17. La alternativa correcta es E. Como la razón de homotecia es 0,6, entonces se cumple que OP = k OS OP = 0,6 OS. Por otro lado, como P y S se encuentran en el eje vertical, ambos a cinco unidades del eje X, entonces OP + OS = 10. Luego, al reemplazar la primera ecuación en la segunda resulta: 10 0,6 OS + OS = 10 1,6 OS = 10 OS = 6, 5 1,6 Por lo tanto, el valor de m es igual a la diferencia vertical entre la medida del segmento OS y la distancia de S al eje X. Es decir, m = 6,5 5 = 1,5 = 5. 11

12 18. La alternativa correcta es C. Si el lado del cuadrado P mide a y el lado del cuadrado Q mide b, entonces según la figura se cumple que (a + b) = 7 y (b a) =. Resolviendo el sistema que queda planteado, resulta a =,5 y b =,5. Como la homotecia transforma al cuadrado P en el cuadrado Q, entonces se cumple que b,5 b = k a k = 1, 8 a,5 Por lo tanto, el valor de la razón de homotecia es 1, La alternativa correcta es A. (1) AB AC que: 7. Con esta información, se puede determinar la razón entre AB y BC, ya AB AC 7 (Como AC = AB + BC) AB AB BC 7 7 AB = (AB + BC) (Distribuyendo) 7 AB = AB + BC (Ordenando) 7 AB AB = BC (Reduciendo) AB = BC (Dividiendo) AB BC () BC = 0. Con esta información, no se puede determinar la razón entre AB y BC, ya que sólo se tiene un elemento de la razón. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola. 1

13 0. La alternativa correcta es A. (1) CB = 8. Con esta información, se puede determinar el valor numérico de k, ya que se QR 1 conocen los lados homólogos QR y CB. Entonces, QR = k CB k. CB 8 1 Como la imagen está invertida, entonces k = () AB = 10. Con esta información, no se puede determinar el valor numérico de k, ya que no se conoce ninguna de las tres parejas de lados homólogos. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola. 1

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