Ángulos y segmentos proporcionales en la circunferencia

Transcripción

1 Ángulos y segmentos proporcionales en la circunferencia Circunferencia Una circunferencia, es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que su distancia a un punto fijo llamado centro es la misma para todos los puntos del conjunto. Esta distancia, es a la que llamamos radio, y el segmento que une dos puntos, pasando por el centro, se le denomina diámetro, el cual equivale a dos veces el radio. NOTA: No se debe confundir con el círculo, el cual, es la superficie compuesta por los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ellos. Ángulos en la circunferencia Ángulo central Su vértice se ubica en el Centro, y sus lados son dos radios. El ángulo central tiene por medida, la medida, la misma medida que el arco que subtiende. α = BA Nota: El arco es BA, y no AB, puesto que los arcos se miden en sentido antihorario. Ángulo inscrito Su vértice se ubica en la Circunferencia y sus lados son cuerdas. α = BA El ángulo Inscrito tiene por medida, la mitad del arco que subtiende. r = AO (radio) r = BO (radio) d = AB (diámetro) De lo anterior se deduce que: AO +BO = r AB = r = d

2 Ángulo interior Es el ángulo formado por la intercepción de dos cuerdas cualesquiera, su vértice se ubica en el interior de la circunferencia. La medida del ángulo interior, es igual, a la semisuma de los arcos que intersecta en la circunferencia α = BA+ DC Ángulo exterior Es el ángulo formado por secantes y/o tangentes, cuyo vértice se ubica fuera de la circunferencia. La medida del ángulo exterior, es igual, a la semidiferencia de los arcos que intersecta en la circunferencia α = BA DC Ángulo seminscrito Su vértice se ubica en la circunferencia, pero sus lados son una tangente y una cuerda. La medida del ángulo semiinscrito, es congruente, a la medida del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco, por tanto seria la mitad del arco que subtiende. Corolarios α = BA α = β 1. Todos los Ángulos Inscritos que subtiendan un mismo arco, son congruentes. α = β = γ = ÊD. Todo Angulo Inscrito en una semicircunferencia, es recto. α = β = γ = 90

3 3. Los Ángulos Opuestos en un cuadrilátero cualquiera, inscrito en la circunferencia, son suplementarios(suman 180 ). α+β = γ +δ = La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia. T r 5. El ángulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia es suplementario con el arco menor que determinan las rectas en la circunferencia. x+α = Dos líneas paralelas secantes a la circunferencia, la interceptan en dos arcos congruentes. Círculo Sector circular Área del sector = π r α 360 Segmento circular Área segmento circular = π r α 360 Área AOB

4 Corona o anillo circular Área del anillo = π (R r ) R = radio círculo mayor. r = radio círculo menor. Proporcionalidad en la circunferencia Teorema de las cuerdas Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el interior de ella, el producto de los segmentos determinadosenunadeellasesigualalproductodesegmentos determinados en la otra, es decir: AP PB = CP PD Teorema de las secantes Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior, es decir: PA PC = PB PD Teorema de la tangente y la secante Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la tangente es media proporcional geométrica entre la secante y su segmento exterior PT = PA PB

5 Ejercicios 1. En la figura AB = BC y O es centro de la circunferencia. Si AB // DE, entonces el ángulo α mide: a) 10 b) 40 c) 0 d) 70 e) 80. En la figura, se tiene un semicírculo de centro O y BAC = 0. El valor del x es: a) 0 b) 35 c) 40 d) 55 e) En la figura, O y O 1 son los centros de las circunferencias. En el triángulo ABC, el ángulo CAB mide, entonces el valor del ángulo α es: a) 68 b) 66 c) 57 d) 44 e) Ninguno de los valores anteriores 4. En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura, la medida del ángulo x es: a) 3 b) 6 c) 38 d) 5 e) 64

6 5. En la figura, CD es un diámetro de la circunferencia de centro O. Si el BOD = 0 y el arco AD es congruente con el arco DB, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)? I) CBO = 0 II) CAO = AOD III) AOD = BOD a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III 6. En la semicircunferencia de centro O de la figura, el BOC mide 100 o. Cuánto mide el AED en el triángulo isósceles AED? a) 70 b) 50 c) 40 d) 0 e) Ninguno de los valores anteriores 7. En la figura, el ángulo del centro correspondiente al arco PQ mide 110. Si R es un punto cualquiera del arco PQ, el x mide: a) 55 b) 70 c) 110 d) 15 e) 0

7 8. En la circunferencia de centro O de la figura, AB es diámetro, DOC = 60 y DB es bisectriz del OBC. Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) OBC = AOD II) ACB = BDA III) AED = BEC a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) I, II y III 9. En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de centro O, cuál es la medida del ángulo x? a) 0 b) 40 c) 70 d) 110 e) En la figura, cuál es el radio de la circunferencia de centro O, si la cuerda AC = ángulo ABC es inscrito de 45 o? y el a) 4 b) 1 3 c) 1 4 d) 1 e) Si dos circunferencias son congruentes, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? a) Sólo III b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III I) Sus perímetros son iguales. II) Sus radios son de igual longitud. III) Sus centros son coincidentes. e) I, II y III

8 1. Se tiene el triángulo ABC isósceles rectángulo en A. Sus catetos miden 1. AD, DE y DF son radios de la semicircunferencia y DF es perpendicular a BC. Cuánto vale el radio de la semicircunferencia inscrita? a) +1 b) c) 1 d) 3 1 e) 13. En la circunferencia de centro O de la figura, el ángulo OCB mide 4. Cuál es la medida del ángulo AOC? a) 1 b) 4 c) 48 d) 13 e) En la figura, PT es tangente en P a la circunferencia circunscrita al triángulo PQR. La medida del ángulo α es: a) 80 b) 100 c) 10 d) 15 e) En la figura, los puntos A, B y C están sobre la circunferencia de radio r y la medida del ángulo ACB es 30 o. La longitud del arco AB es: a) 1 3 πr b) 1 6 πr c) 3 πr d) 1 1 πr e) Ninguna de las anteriores

9 16. En la circunferencia de centro O de la figura, si α+β = 3, entonces el valor del ángulo γ es: a) 16 b) 3 c) 48 d) 64 e) Indeterminable 17. En la figura, la medida del ángulo inscrito α en la circunferencia de centro O es: a) 60 b) 70 c) 80 d) 110 e) En la circunferencia de la figura. AB // DC, Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) α = β II) γ = α+β III) α+β +γ = 180 a) Sólo III b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III 19. En la circunferencia de centro O, AD es diámetro y ABC = DAB. La medida del ABC es: a) 100 b) 30 c) 35 d) 60 e) 70

10 0. Según la siguiente figura, en el triángulo ABC se traza una semicircunferencia con diámetro AB. Entonces es verdadero que: a) AR es perpendicular a BC b) ABC es isósceles c) ARC es isósceles d) AR es simetral de BC e) ABR es equilátero 1. ABC es un triángulo isósceles de base AB, si el ángulo ACB = 5 o entonces el ángulo x mide: a) 64 b) 104 c) 18 d) 138 e) Ninguna de las anteriores. En la figura, BC y CA son rectas secantes a la circunferencia C, pertenece a ella y L es una recta que contiene al diámetro AB, cuál de las siguientes relaciones es siempre verdadera? a) α+β = δ b) α = β c) (α+β) > 90 d) α = β = δ e) δ = α+β 3. En la figura EB y FC son diámetros de la circunferencia de centro O y CF es bisectriz del ángulo ECA. La medida del x es: a) 60 b) 40 c) 80 d) 90 e) 10

11 4. Si en la circunferencia de diámetro 30 cm de la figura, la distancia desde el centro O de ella, hasta la cuerda AB es de 9 cm, entonces la cuerda AB mide: a) 6 cm b) 1 cm c) 18 cm d) 0 cm e) 4 cm 5. En la figura, PQ es un diámetro de la circunferencia de centro O y radio r. PR es tangente en P y mide r. Si M es el punto medio de QR, entonces la longitud de PM, en términos de r, es: a) r b) r 5 c) r 3 d) r e) 4r 3 6. En la figura, los puntos P, Q, R y S están sobre la circunferencia de centro O. Si QT : TP = 3 : 4, QT = 6 y ST = 1, entonces RT mide: a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) En la figura, se tiene una circunferencia de centro O, radio r y diámetro AB. Si por el punto medio M de OB, se traza la cuerda CD perpendicular al diámetro, entonces la longitud de la cuerda CD es: a) r 3 b) r c) 3 r 3 d) 3 r 3 e) 3 r

12 8. En una circunferencia de diámetro 0 cm la distancia desde el centro hasta una cuerda AB es 6 cm. Entonces la cuerda AB mide: a) 8 cm b) 10 cm c) 1 cm d) 16 cm e) Ninguno de los valores anteriores 9. En la circunferencia de centro O, AB es diámetro, CD BD, CD = 4, BD = 3. El radio es: a) 5 b) 5 3 c) 5 3 d) 5 9 e) En la circunferencia de radio 6 y centro O de la figura, MP = OP Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) MQ = 6 II) PQ = 3 3 III) QN = 6 3 a) Sólo I b) Sólo III c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III 31. En la figura, el segmento BC mide 15 cm y es tangente en C a la circunferencia de centro O. Si O está en el segmento AB que mide 5 cm y A pertenece a la circunferencia, cuántos centímetros mide el diámetro? a) 8 b) 16 c) 9 d) 16,6 e) 4,6