Lugares geométricos básicos.

Transcripción

1 Unidad 1.- Conceptos Requeridos 2 Lugares geométricos básicos. 1 NOCIONES SOBRE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS, PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD El tema central de este archivo adjunto está vinculado con los Lugares Geométricos básicos, pero para desarrollarlo necesitamos adelantar algunos conceptos que serán estudiados en la unidad siguiente. La finalidad de adelantarnos al proceso teórico es comenzar a resolver problemas lo antes posible. Los temas que estamos anticipando son: Figuras congruentes. Criterios de congruencia de triángulos. Condición necesaria y suficiente de paralelismo. Perpendicularidad entre rectas. 1.1 Figuras congruentes. La Geometría métrica tiene como principal objeto a estudiar los conjuntos de puntos, es decir: las figuras y entre ellas una relación denominada congruencia. Veamos algunas definiciones: Dos figuras se llama congruentes cuando existe una isometría que hace corresponder una con otra. Una isometría, movimiento o congruencia es una función biyectiva del plano en el plano que conserva las distancias. 1.2 Criterios de congruencia de triángulos. En la resolución de muchos problemas es necesario justificar que dos triángulos son congruentes, por lo cual debemos conocer las condiciones necesarias y suficientes que nos aseguran esta relación. Estas condiciones se llaman criterios de congruencia de triángulos y comúnmente se las enuncia en este orden: 1º) Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo comprendido, son congruentes. 1

2 2º) Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes un lado y los dos ángulos adyacentes, son congruentes. 3º) Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes los tres lados, son congruentes. 4º) Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes dos lados distintos y el ángulo opuesto al mayor de ellos, son congruentes. 1.3 Rectas paralelas. Recordemos algunos enunciados estudiados en el Complemento 1-1: Hemos definido: Rectas paralelas, son dos rectas coplanares no secantes. Observemos que dos rectas paralelas, no tienen ningún punto común o tienen todos sus puntos comunes. Axioma de paralelismo (o de Euclides 1 ) Dada una recta r y un punto P, existe una y sólo una recta paralela a r que pase por P. 1 Referencia histórica en la Web: 2

3 Paralelas cortadas por una secante. Consideremos dos rectas cortadas por una tercera y tomemos las siguientes definiciones: Los pares de ángulos α y α, β y β, se llaman alternos internos; γ y γ, δ y δ, se llaman alternos externos; α y γ, β y δ, γ y α, δ y β, se llaman correspondientes. Teniendo en cuenta estas denominaciones vale la siguiente propiedad: La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas, es que los pares de ángulos alternos internos (alternos externos o correspondientes) sean congruentes. 1.4 Rectas perpendiculares. En la unidad 2, diremos que: Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que determinan cuatro ángulos congruentes. Demostraremos, entonces, la siguiente propiedad: La perpendicular a una recta por un punto, existe y es única. 3

4 2 LUGARES GEOMÉTRICOS BÁSICOS Un Lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen con una propiedad común. Estudiaremos siete Lugares Geométricos que hemos denominado "básicos" puesto que a partir de ellos se pueden deducir otros. Ellos son: Mediatriz, Bisectriz, Paralela media, Circunferencia, Paralela a una recta, Semirrecta, y Arco capaz. Mediatriz Dado un segmento, el Lugar Geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos es la mediatriz del segmento. Bisectriz Dado un ángulo, el Lugar Geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados es la bisectriz del ángulo. Paralela media Dadas dos rectas paralelas a y b tales que d(a, b) = h, el Lugar Geométrico de los puntos del plano que equidistan de a y b es la paralela a ambas que dista de ellas 1 h. 4

5 Circunferencia Dado un punto O y un número real r no negativo, el Lugar Geométrico de los puntos del plano que distan r de O es la circunferencia de centro O y radio r. Paralelas a una recta Dada una recta x y un número real h no negativo, el Lugar Geométrico de los puntos del plano que distan h de x es la unión de las paralelas a x que distan h de x. Semirrectas Dada una semirrecta Os y un ángulo α, el Lugar Geométrico de los puntos P del plano para los cuales el ángulo POs es congruente con α es la unión de las semirrectas Oa y Ob tales que los ángulos aos y bos son congruentes con α. Arcos capaces - Dado un segmento AB y un ángulo α, el Lugar Geométrico de los puntos P del plano tales que APB es congruente con α es la unión de los arcos capaces de ángulo α y cuerda AB. 5

6 Recuerde que de los lugares antes mencionados, dispone de figuras dinámicas donde podrá visualizar sus propiedades y recordar las construcciones más importantes. Justificaremos uno de ellos: mediatriz de un segmento. Para que ustedes se ejerciten damos sugerencias en el caso de la bisectriz de un ángulo. Adoptemos la siguiente 3 MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO DEFINICIÓN: Se llama mediatriz de un segmento AB a la perpendicular a la recta AB en el punto medio del segmento. Basándonos en la definición considerada, justifiquemos el TEOREMA: Dado un segmento AB, el Lugar Geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos es la mediatriz del segmento. Debemos probar: Teorema directo H) AB es un segmento y P es un punto que cumple: AP = BP T) P mz (AB) Demostración 1) Si P AB, entonces P es punto medio de AB, lo que implica P mz(ab) por def. de mediatriz de un segmento. 2) Si P AB: Construimos M, punto medio de AB y consideramos los triángulos AMP y BMP que tienen: el lado MP común PA = PB por H) MA = MB por construcción Por el 3º criterio de congruencia de triángulos: AMP = c BMP AMP = BMP AMP adyacente de BMP AB PM Entonces, como M es punto medio de AB y AB PM, PM es la mediatriz de AB, o sea P mz(ab) 6

7 Teorema recíproco H) AB es un segmento y P mz (AB) T) AP = BP Demostración 1) Si P AB, por definición de mediatriz de un segmento, se tiene que P es punto medio de AB AP = BP 2) Si P AB: Por definición de mediatriz de un segmento, mz(ab) AB = {M} siendo M el punto medio de AB y mz(ab) AB. Consideramos los triángulos AMP y BMP que tienen: el lado MP común AMP = BMP = 1 recto MA = MB pues M = pm (AB) Por el 1 er criterio de congruencia de triángulos: AMP = BMP PA = PB 7

8 Partiremos de la siguiente 4 BISECTRIZ DE UN ÁNGULO DEFINICIÓN: Se llama bisectriz de un ángulo AOB a una semirrecta de origen en su el vértice O, interior a él, que lo divide en dos ángulos congruentes. TEOREMA: Dado un ángulo aob, el Lugar Geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados Oa y Ob es la bisectriz del ángulo. Debemos probar: Teorema directo H) aob es un ángulo y P es un punto que cumple: d(p,oa) = d(p,ob) T) P bz (aob) Sugerencia: Considerar los triángulos OPA y OPB, probar que son congruentes y deducir la congruencia de los ángulos AOP y BOP. Teorema recíproco H) aob es un ángulo y P bz (aob) T) d(p, Oa) = d(p,ob) Sugerencia: Trazar desde P las rectas perpendiculares a Oa y Ob que las cortarán en A y B respectivamente y probar la congruencia de los triángulos OPA y OPB. 8

9 5 ARCO CAPAZ Con la finalidad de introducir el concepto de Arco capaz, a continuación estudiaremos las propiedades de los ángulos teniendo en cuenta su posición relativa respecto a una circunferencia: ángulos inscriptos, semi-inscriptos, con el vértice interior y con el vértice exterior a una circunferencia. Ángulos Inscriptos Comencemos con la siguiente definición: Se llama ángulo inscripto en una circunferencia a aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son semirrectas secantes a ella. Si los puntos de intersección de los lados del ángulo con la circunferencia, distintos del vértice, son A y B, diremos que: 1) el ángulo inscripto APB abarca el arco AB contenido en él. 2) al ángulo APB le corresponde el ángulo al centro AOB (o ángulo central ). Para los ángulos inscriptos vale el siguiente teorema: Todo ángulo inscripto en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo al centro que abarca el mismo arco. APB = 1 AOB Para demostrar esta propiedad analizaremos tres casos particulares: 1º caso: El centro de la circunferencia pertenece a un lado del ángulo inscripto. 2º caso: El centro de la circunferencia es un punto interior al ángulo inscripto. 3º caso: El centro de la circunferencia es un punto exterior al ángulo inscripto. 1º caso 2º caso 3º caso 9

10 1º caso: H) APB es un ángulo inscripto en una circunferencia de centro O y radio r, que abarca el arco AB O V(B) T) APB = 1 AOB Demostración PO = AO = r por definición de circunferencia entonces el triángulo APB es isósceles, por consiguiente es isoángulo, de lo que deducimos: APO = PAO 1 El ángulo AOB es exterior al triángulo AOP, por el teorema del ángulo externo se tiene: AOB = APO + PAO 2 De 1 y 2 deducimos que: AOB = 2 APB, o sea APB = 1 AOB 2º caso: Demostración a completar. H) APB es un ángulo inscripto en una circunferencia de centro O y radio r, que abarca el arco AB O es interior al ángulo APB T) APB = 1 AOB Demostración Consideramos la semirrecta P(O) que corta al arco AB en el punto C. El ángulo APB queda dividido por la semirrecta interior P(C) en dos ángulos: APC y CPB que están en las condiciones del 1º caso, por tener uno de sus lados que pasa por el centro O. Entonces se cumple: APC = 1 AOC CPB =... Sumando miembro a miembro ambas igualdades: APC + CPB =... AVB = 10

11 3º caso: Demostración a realizar. Para demostrar este caso, se procede en forma análoga al caso anterior. Se traza la semirrecta P(O) que corta a la circunferencia en el punto P y C. En este caso el ángulo APB se obtendrá como diferencia de los ángulos CPB y CPA. 11

12 Ángulos semi-inscriptos Los introduciremos a partir de la siguiente definición: Se llama ángulo semi-inscripto en una circunferencia a aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia, uno de sus lados es secante y otro tangente ella. Diremos que: 1) el ángulo semi-inscripto TPA abarca el arco PA, contenido en él. 2) al ángulo TPA le corresponde el ángulo al centro POA (o ángulo central ). Estos ángulos verifican la siguiente propiedad: Todo ángulo semi-inscripto en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo al centro que abarca el mismo arco. APT = 1 AOP Para demostrar esta propiedad analizaremos tres casos particulares: 1º caso: El centro de la circunferencia pertenece a un lado del ángulo semi-inscripto. 2º caso: El centro de la circunferencia es un punto interior al ángulo semi-inscripto. 3º caso: El centro de la circunferencia es un punto exterior al ángulo semi-inscripto. 1º caso 2º caso 3º caso 12

13 1º caso: H) APT es un ángulo semi-inscripto en una circunferencia de centro O y radio r, que abarca el arco AP O P(A) T) APT = 1 POA Demostración PO PT por propiedad de la tangente 2, entonces: APT = 1 recto 1 O(P) y O(A) son semirrectas opuestas, por lo tanto: POA = 1 llano 2 De 1 y 2 deducimos que: APT = 1 POA 2º y 3º casos: Demostraciones a realizar. Se demuestran aplicando el 1º caso demostrado. El ángulo semi-inscripto se obtiene como suma o diferencia de un ángulo inscripto y uno semi-inscripto, trazando las semirrectas de origen P que pasan por el centro O de la circunferencia. En este caso, tomar el ángulo semi-inscripto TPA como la diferencia entre el ángulo TPC (en las condiciones del 1º caso) y el inscripto APC. 2 La tangente a una circunferencia en uno de sus puntos es perpendicular a la recta que contiene al radio en el punto de tangencia. 13

14 Ángulos interiores Se llama ángulo interior a una circunferencia a aquel cuyo vértice es un punto interior a la circunferencia. Diremos que: 1) el ángulo interior AIB abarca el arco AB, contenido en él y que su opuesto por el vértice abarca el arco CD. 2) en este caso hay dos ángulos al centro: AOB y COD Se cumple que: Todo ángulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma de los ángulos al centro que abarcan él y su opuesto por el vértice. Demostración a completar. AIB = 1 (AOB + COD) H) AIB es un ángulo interior a la circunferencia de centro O y radio r T) AIB = AOB + COD 2 Demostración Consideramos el triángulo CIB. El ángulo AIB es externo al triángulo CIB, entonces: AIB = ICB + IBC I A(C) ICB = ACB AIB =.. I B(D) IBC =.. Por propiedad de los ángulos inscriptos: ACB =... DBC =... Sustituyendo en AIB =... 14

15 Ángulos exteriores Se llama ángulo exterior a una circunferencia a aquel cuyo vértice es un punto exterior a la ella y sus lados son semirrectas secantes a la misma. Diremos que: 1) el ángulo exterior AEB abarca los arcos AB y CD contenidos en él. 2) en este caso hay dos ángulos al centro: AOB y COD La propiedad que cumplen es: Todo ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de los ángulos al centro que él abarca sobre la circunferencia. AIB = 1 (AOB COD) H) AEB es un ángulo exterior a la circunferencia de centro O y radio r T) AEB = AOB - COD 2 La demostración queda como ejercicio. Sugerencia: Trazando por C la recta paralela a AE, se obtiene el ángulo FCB, que resulta congruente con AEB por ser correspondientes. es inscripto en la circunferencia. No debemos olvidar: Considerar otros ángulos con vértice exterior a la circunferencia que verifican propiedades análogas: los que tienen uno o ambos lados tangentes a la circunferencia. 15