RESUMEN DE GEOMETRIA EUCLIDIANA. Profesor: Manuel J. Salazar Jiménez. Relaciones no definidas: pertenecer a, estar entre, congruente a, equidistar

Transcripción

1 RESUMEN DE GEOMETRIA EUCLIDIANA Profesor: Manuel J. Salazar Jiménez Nociones no definidas o nociones primitivas: Punto, recta, plano, espacio, distancia. Relaciones no definidas: pertenecer a, estar entre, congruente a, equidistar I Postulados de conexión. I - 1 Por dos puntos dados pasa una recta y solo una. I - 2 Toda recta contiene al menos dos puntos distintos, y respecto a una recta hay al menos un punto que no está en ella. Definición 1: Puntos colineales son aquellos que están sobre una misma recta, los puntos que están en un mismo plano se llaman coplanares. I Tres puntos distintos cualesquiera no colineales, determinan un plano y solo uno al cual pertenecen. I 4 Todo plano contiene al menos tres puntos distintos no colineales, y respecto a un plano cualquiera hay por lo menos un punto que no está en él. I 5 Si dos puntos de una recta están en un plano, la recta está contenida en el plano. I 6 Si dos planos diferentes se cortan, su intersección es una recta. Teorema 1: Si dos rectas diferentes se cortan, su intersección es un solo punto. Teorema 2: Si dos rectas diferentes se interceptan existe un plano único que las contiene. Teorema : Si l es una recta y A un punto que no pertenece a ella, existe un plano único que contiene a la recta y al punto. II Postulados de orden. II - 1 Si el punto C está entre los puntos A y B, lo cual notaremos A C B, entonces A, B y C están todos sobre la misma recta y C está entre A y B, B y A, y B no está entre C y A, y A no está entre C y B. II 2 Respecto a dos puntos distintos cualesquiera, A y B, hay siempre un punto C que está entre A y B, y un punto D es tal que B está entre A y D. II Si A, B, C son tres puntos distintos sobre la misma recta, entonces uno de los puntos está entre los otros dos. Definición 2: Segmento AB = { X A X B} U { A, B}. El conjunto { X A X B} es el interior del segmento AB. A y B son los extremos. Definición : A un conjunto no vacío de puntos se le denomina figura. Definición 4: Diremos que una figura es convexa si dados dos puntos cualesquiera de ella, el interior del segmento determinado por estos puntos, esta contenido en el interior de la figura, en caso de no cumplirse este enunciado diremos que la figura no es convexa. Es cóncava. Definición 5: Sea O un punto de la recta l, A y B otros dos puntos diferentes de la misma, si O no esta entre A y B, diremos que los puntos A y B están sobre l a un mismo lado de O, si O esta entre A y B diremos que los puntos A y B estas en lados diferentes con respecto a O. II -4 Axioma de separación de la recta: Un punto O de la recta l divide a los demás puntos de ésta en dos subconjuntos disjuntos, de modo que dos puntos cualesquiera de l

2 pertenecientes al mismo subconjunto están a un mismo lado de O, mientras que dos puntos pertenecientes a diferentes subconjuntos se encuentran en lados diferentes de O. A cada uno de éstos conjuntos se les denomina semirrectas. Definición 6: Semirrecta AB ; AB = { X A X B} U { B} U { X A B X }. Observación: Si los puntos A y B están a un mismo lado de O, entonces la semirrectas OB y OA son las mismas. Si los puntos A y B están a lados diferentes de O entonces las semirrectas OA y OB son opuestas. O OA o sea que el origen de la semirrecta no pertenece a ella. Si O OA, entonces OA se denomina rayo. Definición 7: (Angulo BAC). El conjunto formado por la unión de las dos semirrectas AB y AC incluyendo el origen A, se denomina ángulo BAC. Observación: Lasa semirrectas AB y AC son los lados del ángulo y A es el vértice del ángulo. Si las dos semirrectas coinciden entonces el ángulo es nulo, y si son opuestas se llama ángulo llano. II 5 Axioma de separación del plano: Cada recta l contenida en un plano π, divide los puntos de este plano en dos subconjuntos disjuntos ( a los cuales ésta no pertenece), de tal manera que dados dos puntos cualquiera A y B de π, si ABI l = φ, entonces A y B pertenecen al mismo subconjunto, y si ABI l φ, entonces A y B están en subconjuntos diferentes. Observación: Los subconjuntos determinados por la recta l en el plano π, se denominan SEMIPLANOS. Π : Semiplano determinado por la recta l que contiene al punto A. ( l / A) Π : Semiplano determinado por la recta l que no contiene al punto A. ( l / noa) Definición 8 : I interior de un ángulo, ánguloaob = π I π Int. ( ) ( ) ( ). OA / B OB / A Teorema 4: Si P es un punto sobre una recta l y Q un punto que no esta en dicha recta, entonces la semirrecta PQ está contenida en el π l: Q. Corolario 1: La semirrecta que tiene su origen en el vértice de un ángulo no nulo y un punto en el interior de dicho ángulo, esta contenida en el interior del ángulo. II 6 Axioma de separación del espacio: Todo plano π divide los puntos del espacio que no le pertenecen en dos conjuntos no vacíos, de tal manera que dos puntos cualesquiera A y B de conjuntos diferentes, determinan un segmento AB dentro del cual hay algún punto del plano π, mientras que dos puntos cualesquiera A y A` de un mismo conjunto, determinan un segmento AA` dentro del cual no hay puntos comunes con el plano π Observación: Los conjuntos definidos por el axioma O8 se denominan semiespacios y establece una partición del espacio en tres conjuntos convexos y disjuntos. Teorema 5: La intersección no vacía de dos figuras convexos, es convexa. Teorema 6: Dado el àngulo BAC no nulo y no llano, los puntos interiores del segmento BC estàn en el interior de dicho àngulo

3 Teorema 7: Sea ABC un àngulo no nulo y no llano, D un punto del interior de BAC. Si F es un punto tal que F-A-C, entonces los puntos B y F estàn en el mismo semiplano determinado por la recta AD. Teorema 8: (Teorema de la barra transversal). Si D es un punto del interior del àngulo BAC (no nulo y no llano), entonces la semirrecta AD intersecta al segmento BC. Definición 9: (Circunferencia). La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro. La distancia del centro a la circunferencia se llama radio. A la circunferencia de centro O y radio r la notaremos C(o,r). Definición conjuntista de circunferencia: C ( o, r) = { x / d( o, x) = r}. Tercer Postulado de Euclides. Con un punto dado y una distancia, puede describirse una circunferencia. Notación: A la circunferencia de centro O y radio r, la notaremos C(o, r ). III Postulados de congruencia III - 1 Axioma de construcción del segmento AB: Sea AB un segmento cualquiera y CE una semirrecta, entonces existe un único punto D CE que CD AB. III 2 Axioma: La congruencia de segmentos es una relación de equivalencia, esto es, cumple con: i) Propiedad reflexiva: cada segmento es congruente consigo mismo, es decir: AB AB para todo segmento AB. ii) Propiedad de simetría: si AB CD, entonces CD AB. iii) Propiedad transitiva: si AB CD y CD EF entonces AB EF. III - Suma de segmentos congruentes y diferencia de segmentos congruentes Sean A, B, C puntos de una recta y A, B, C puntos de la otra recta b, tales que B esta entre A y C y B esta entre A y C : Si AB A B y BC B C entonces AC A C Si AB A B y AC A C, entonces BC B C III - 4 Axioma de construcción de un ángulo: Sea AOB un ángulo cualquiera y O un punto de la recta L situada en el plano π. Se Π L uno cualesquiera de los semiplanos en que L divide a Π y O C una de las semirrectas en que O divide a L. entonces existe una semirrecta única O D situada en el semiplano Π L tal que Ángulo (AOB) = ángulo (C O D ). III - 5 Axioma: La congruencia de ángulos es una relación de equivalencia, esto es: es reflexiva, simétrica y transitiva, en términos similares a los del axioma III. III -6 Suma de ángulos congruentes y diferencia de ángulos congruentes: Similar a la suma de segmentos. Suma de ángulos congruentes son congruentes y diferencias de ángulos congruentes son congruentes. Definición 10: i) Dados dos segmentos AB y A B se dice que AB > A B, si existe un punto C AB tal que AC A, B,. ii) Dados dos ángulos AOB y CTD se dice que AOB > CTD si existe ( AOB) OH int tal que AOH CTD. Definición 11. (Bisectriz de un ángulo) Sea BAC un ángulo no nulo, D un punto del interior de BAC, entonces AD es bisectriz de BAC si y solo si BAD DAC.

4 Definición 12: (Triángulo). Sean A; B; C, tres puntos no colineales. La unión de los segmentos AB, BC, CA determinan el triangulo ABC. AB, BC, CA son los lados del triángulo ABC y los puntos A, B, C, los vértices. Definición 1: Congruencia de triángulos. AB AB ' ', AC A'C',BC B'C' < ABC < ABC ' ' ' pa pa', p B B', p C C' Observación: La anterior definición nos dice que si dos triángulos tienen respectivamente congruentes sus tres lados y sus tres ángulos, entonces dichos triángulos son congruentes y recíprocamente, dos triángulos congruentes tienen respectivamente congruentes sus lados homólogos y sus ángulos homólogos. L : AB AB ' ' III -8 Axioma LAL: Si A : Â Â' ABC A B C L : AC AC ' ' Definición 14: El triángulo que tiene dos lados congruentes se denomina triángulo isósceles. Teorema 9: Los ángulos adyacentes a la base en un triángulo isósceles son congruentes. Definición 15: Ángulos adyacentes, par lineal y ángulos opuestos por el vértice. 1) Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado en común y los lados de uno de ellos no está en el interior del otro. 2) Dos ángulos hacen par lineal si son adyacentes y los lados no comunes forman semirrectas opuestas. ) Dos ángulos se llaman opuestos por el vértice si tienen el mismo vértice y los lados de ambos ángulos forman semirrectas opuestas. Definición 16: Se denomina triángulo equilátero a aquel que tiene tres lados iguales. Construcción: Construir un triángulo equilátero de lado l. Esta es la primera proposición de libro Los elementos de Euclides. Veamos como se construye: Sobre una recta tómese el segmento AB congruente a l. Haciendo centro primero en A y luego en B, con una abertura de compás igual a l, se trazan dos circunferencias las cuales se cortan en P. Los segmentos AP, PB y AB son congruentes por ser radios de circunferencias iguales. Luego el triángulo APB es equilátero. A : Aˆ Aˆ Teorema 10: ALA: Si L : AB AB ' ' ABC A B C ˆ A : B Bˆ' Teorema 11: Teorema del par lineal: Si uno de los ángulos de un par lineal son congruentes a uno de los ángulos de otro par lineal, entonces los otros dos ángulos también son congruentes. Corolario 1: Todos los ángulos llanos son congruentes. Corolario 2: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Teorema 12: En todo triángulo isósceles los ángulos adyacentes a la base son congruentes. Teorema 1: LLL. Teorema 14: LAA..

5 Teorema 15: ley de tricotomía para segmentos: Dados dos segmentos cualesquiera AB y CD siempre se cumple una de éstas afirmaciones: AB menor que CD, AB mayor que CD o AB CD. Teorema 16: Propiedad transitiva: sean AB menor que CD y CD menor que EF entonces AB menor que EF. Corolario 4: Si AB CD y CD < EF entonces AB < EF. Corolario 5: Si el segmento CD está contenido en el segmento AB entonces CD < AB. Perpendicularidad y paralelismo. Definición 17: Angulo recto. Dos ángulos que forman un par lineal son rectos, si y solamente si, son congruentes. Definición 18: Angulo agudo y ángulo obtuso. Angulo agudo es el que es menor que un recto, el ángulo que es mayor que un ángulo recto decimos que es obtuso. Cuarto postulado de Euclides: Todos los ángulos rectos son congruentes. Definición 19: Triángulo rectángulo. Un triángulo se llama rectángulo si alguno de sus ángulos es recto. Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Teorema 18: Casos de congruencia de triángulos rectángulos. a) Primer Caso: Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes los dos catetos. b) Segundo caso: Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes un cateto y el ángulo agudo adyacente a éste cateto. c) Tercer caso: Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo. d) Cuarto caso: Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un cateto. Definición 20: Punto medio de un segmento AB. O int( AB), es punto medio de AB, si y solamente si AO OB. Teorema 19: El punto medio de un segmento es único. Definición 21: Rectas perpendiculares. Dos rectas son perpendiculares si y solamente si, se cortan formando ángulos rectos. Si l y s son perpendiculares lo notaremos l s. Definición 22: Mediatriz de un segmento. La mediatriz de un segmento AB es la recta perpendicular trazada por su punto medio. Teorema 20: Todo punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento. Teorema 21: Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. Teorema 22: Por un punto de una recta de un plano π pasa una y solo una perpendicular a dicha recta. Definición 2: Mediana es el segmento que va de un vértice al punto medio del lado opuesto. Teorema 24: Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto interior del triángulo situado a 2/ del vértice y a 1/ del lado. Definición 25 : Altura es el segmento perpendicular trazado del vértice al lado opuesto. Teorema 25 : Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto. Teorema 26: En todo triángulo isósceles la mediana correspondiente a la base es altura y bisectriz y está contenida en la mediatriz de la base.

6 Teorema 24:Dado el ABC, entonces: 2 1 AO = AM, y OM = AM. 2 1 BO = BN, y ON = BN. 2 1 CO = CG, y OG = CG. AM, BN, y CG, sus medianas, O baricentro.