DESIGUALDADES GEOMETRICAS

Transcripción

1 Desigualdades geométricas 1 DESIGUALDADES GEOMETRICAS Al hablar de desigualdades de segmentos y ángulos se está hablando de sus medidas. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES TRICOTOMIA x, y Re se cumple uno y solo uno de los siguientes casos: 1) x < y ) x = y 3) x > y PROPIEDAD TRANSITIVA Si x < y y < z entonces x < z PROPIEDAD ADITIVA a) Si x < y entonces x + c < y + c b) Si x < y a < b entonces x + a < y + b PROPIEDAD MULTIPLICATIVA Si a < b y c > 0 entonces ac < bc Si a = b + c; a, b, c R + a > b y a > c EJERCICIO HIPOTESIS: PS y RQ se bisecan TESIS: m( RQT ) m( R) 1. RMP SMQ 1. Por ser opuestos por el vértice. M es punto medio de RQ y PS. De hipótesis 3. RM MQ 3. De. Definición de punto medio PM MS 4. RMP SMQ 4. De 1 y 3. L A L 5. m( R) m( RQS) 6. m( RQT ) m( RQS ) m( SQT ) 5. De 4. Ángulos correspondientes de triángulos 6. Postulado de adición de ángulos 7. m RQT m( RQS ) 7. De 6. Propiedades de las desigualdades. 8. m RQT m R 8. Sustitución de 5 en7 ANGULO EXTERIOR DE UN TRIANGULO Es un ángulo adyacente a un ángulo interior de un triangulo que forma un par lineal con este y por lo tanto son suplementarios.

2 Desigualdades geométricas TEOREMA Un ángulo exterior de un triangulo es mayor que un ángulo interior no adyacente a él. HIPOTESIS: A B D CBD es un ángulo exterior TESIS: 1) m ( CBD ) m ( C ) ) m( CBD) m( CAB) 1. Por el punto medio M de CB, se traza 1. Postulado de construcción de, tal que AM MF segmentos congruentes..cm MB. De 1. Definición de punto medio 3. CMA FMB 3. Opuestos por el vértice. 4. CMA FMB 4. De 1,, 3. L A L 5. m( C) m( MBF ) 5. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 6. m( CBD) m( MBF ) m( FBD) 6. Adición de ángulos. 7. m( CBD) m( MBF ) 7. De 6. Propiedad de las desigualdades. 8. m( CBD) m( C) 8. Sustitución de 5 en 7. AF METODO INDIRECTO DE DEMOSTRACION. REDUCCION AL ABSURDO. Hasta ahora los métodos usados para demostrar teoremas han sido directos. En algunas ocasiones es necesario utilizar un método indirecto para llegar a la tesis. Este método consiste en considerar todas las conclusiones posibles. Cada una de estas conclusiones deben ser investigadas de acuerdo con la hipótesis. Si puede demostrarse que todas las conclusiones posibles, excepto una, conducen a una contradicción, entonces podemos concluir que la conclusión restante debe ser la correcta. En este método se niega la tesis y se sigue un razonamiento lógico hasta llegar a una contradicción. TEOREMA DE CONGRUENCIA LADO ANGULO ANGULO (L A A) HIPÓTESIS: AC DF; A D; B E TESIS: ABC DEF Se demuestra por reducción al absurdo o método indirecto. Se niega la tesis, o sea que ABC no es congruente con DEF, entonces suponemos AB no es congruente con DE, por lo tanto se pueden presentar dos casos: 1) AB < DE ) AB > DE.

3 Desigualdades geométricas 3 Primer caso 1. AB < DE 1. Suposición. En DE existe un punto P, tal que AB DP. Construcción 3. AC DF 3. De hipótesis De hipótesis A D 5. ABC DFP 5. De, 3, 4. L A L 6. m B m( FPD ) 7. m( FPD) m( E) 6. De 5 por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 7. Por ser un ángulo exterior del FPE 8. m( B) m( E) 8. Sustitución de 6 en m( B) m( E) 9. De hipótesis. 10. m( B) m( E) y m( B) m( E) 10. De 8 y 9. CONTRADICCION! Esta contradicción se origino al supone que AB < DE. Por lo tanto la negación de la tesis, no es congruente con, es falsa, entonces ABC DEF ABC DEF CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS TEOREMA Si dos triángulos rectángulos tienen respectivamente congruentes un cateto y un ángulo agudo, entonces son congruentes. TEOREMA Si dos triángulos rectángulos tienen sus hipotenusas congruentes y un ángulo agudo congruente entonces son congruentes. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La distancia de un punto a una recta es el segmento perpendicular trazado del punto a la recta. PQ es la distancia del punto P a la recta.

4 Desigualdades geométricas 4 TEOREMA Un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. (La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta.) HIPOTESIS: LP es la bisectriz de ELN PA LE y PB LN TESIS: PA = PB 1. PBL y PAL son triángulos rectángulos. 1. De hipótesis. Definición de triangulo Rectángulo. BLP ALP. De hipótesis. Definición de bisectriz 3. LP LP 3. Propiedad reflexiva 4. De 1, y 3. Por ser triángulos 4. PBL PAL rectángulos, con la hipotenusa un ángulo agudo congruentes. 5. De 4. Por ser lados correspondientes en 5. PA = PB triángulos congruentes TEOREMA Si dos lados de un triangulo, no son congruentes, los ángulos opuestos a ellos tampoco son congruentes y a mayor lado se opone mayor ángulo. HIPOTESIS: CA > CB TESIS: m m 1. En CB existe un punto P, tal que CA CP 1. Postulado de construcción de segmentos congruentes. ACP es isósceles.. De 1. Definición de triangulo isósceles. 3. m( CAP ) m( P) 3. De. En un triangulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes 4. m( CAP ) m( ) m( BAP ) 4. Adición de ángulos 5. m( CAP ) m( ) 5. De 4. Propiedad de las desigualdades.

5 Desigualdades geométricas 5 6. m( P) m( ) 6. Sustitución de 3 en m( ) m( P) 7. es un ángulo exterior en ABP 8. m( ) m( P) m( ) 8. De 6 y m( ) m( ) 9. De 8. TEOREMA. (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si dos ángulos de un triangulo no son congruentes, los lados opuestos a ellos no son congruentes y a mayor ángulo se opone mayor lado. m m HIPÓTESIS: TESIS: CA > CB Se demuestra por el método indirecto o reducción al absurdo. Se niega la tesis: CA no es mayor que CB, entonces quedan dos casos AC = CB o AC < CB (ley de la tricotomia) 1. AC = CB 1. Negación de la tesis.. ABC es isósceles. De 1. Definición de triangulo isósceles. 3. m( ) = m( ) 3. De. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 4. m( ) > m( ) 4. De hipótesis 5. CONTRADICCION! 5. De 3 y 4. Por la ley de la tricotomia. 6. AC < BC 6. Negación de la tesis. 7. m( ) > m( ) 7. De 6. En un triangulo a lado mayor se opone ángulo mayor. 8. m( ) < m( ) 8. De hipótesis. 9. CONTRADICCION! 9. De 7 y 8. Ley de la tricotomia. 10. Luego CA > CB 10. De 5 y 9. COROLARIOS DEL TEOREMA ANTERIOR: 1. La medida de la hipotenusa de un triangulo rectángulo es mayor que la medida de cualquiera de sus catetos.. El segmento mas corto que une un punto con una recta es el segmento perpendicular a ella. EJEMPLO Se da el triangulo rectángulo ABC, con el ángulo recto en A, se traza la bisectriz de ACB que corta a AB en D. Demostrar que DB > DA. (Trazar DE BC ) HIPOTESIS: TESIS: DB > DA 1. Se traza DE BC 1. Construcción auxiliar. ABC rectángulo en A CD es bisectriz del ángulo ACB

6 Desigualdades geométricas 6. es bisectriz de ACB. De hipótesis De. Definición de bisectriz De. Un punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo. 5. es rectángulo. 5. De 1. Definición de triangulo rectángulo. 6. DB > DE 6. De 5. En un triangulo rectángulo la hipotenusa es mayor que un cateto. 7. DB > DA 7. Sustitución de 4 en 6. CD 1 AD DE DEB NOTA: El caso de congruencia de triángulos L L A no se da en todos los casos, por ejemplo: El caso L L A; solo se da cuando el ángulo congruente es el mayor ángulo del triangulo. TEOREMA. UNICO CASO DE CONGRUENCIA L L A Si dos triángulos tienen respectivamente dos lados congruentes y un ángulo congruente, pero estos ángulos son opuestos a los lados de mayor longitud, entonces son congruentes los triángulos. HIPOTESIS: AC DF; BC EF B E AC AB; AC BC DF DE; DF EF TESIS: ABC DEF La demostración se hace por el método indirecto Se niega la tesis o sea que ABC no es congruente al DEF 1. AB DE 1. Negación de la tesis. AB > DE o AB < DE. De 1. Ley de la tricotomia 3. AB > DE 3. De 4. Existe un punto Q en ED, tal que EQ AB 4. De 3. Postulado de construcción de segmentos congruentes. 5. CB FE 5. De hipótesis. 6. B E 6. De hipótesis 7. ABC QEF 7. De 4, 5, 6. L A L 8. AC QF 8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 9. DF AC 9. De hipótesis. 10. DF QF 10. De 8 y 9. Propiedad transitiva

7 Desigualdades geométricas QDF es isósceles. 11. De 10. Definición de triangulo isósceles. 1. FDQ Q 1. De 11. Los ángulos de la base de un triangulo isósceles son congruentes. 13. DF > EF 13. De hipótesis. 14. QF > EF 14. Sustitución de 10 en De 14. En, a lado mayor se opone ángulo mayor m E m FDQ 16. Sustitución de 1 en FDQ Q QEF m FDQ m E 17. Por ser FDQ un ángulo exterior en 18. CONTRADICCION! Analizar el caso AB < DE para llegar a una contradicción. 18. De 17. Porque la suposición de que el triangulo ABC no es congruente con el triangulo DEF es falsa. FDE NOTA: El teorema anterior se demostró para poder demostrar el siguiente teorema, teniendo en cuenta que el lado mayor de un triangulo rectángulo es la hipotenusa, entonces el teorema anterior si se cumple, porque el ángulo congruente que es el recto que se opone a los lados más grandes. TEOREMA Si la hipotenusa y un cateto de un triangulo rectángulo son respectivamente congruentes a la hipotenusa y un cateto de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes. RESUMEN DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS: 1. Cateto Cateto. Cateto Angulo agudo 3. Hipotenusa Angulo agudo 4. Hipotenusa Cateto NOTA: El teorema L L A no se cumple siempre, como lo vemos en la siguiente gráfica. Los triángulos ABE y ABC no son congruentes y sin embargo tienen: AB AB; AE AC; B B, o sea que tienen dos lados respectivamente congruentes y un ángulo congruente, en este caso no se cumple el teorema L L A puesto que el ángulo no está opuesto a los lados de mayor longitud.

8 Desigualdades geométricas 8 TEOREMA: LA DESIGUALDAD TRIANGULAR. La suma de las medidas de dos lados de un triangulo es mayor que la medida del tercer lado. HIPÓTESIS: cualquiera ABC TESIS: AC + CB > AB 1. En AC existe un punto P tal que CP CB y unimos B con P. 1. Construcción.. AP = AC + CP. Adición de segmentos. 3. AP = AC + CB 3. Sustitución de 1 en 4. m( P) m( PBC) 4. A lados iguales se oponen ángulos congruentes. 5. m( PBA) m( PBC) m( CBA) 5. Adición de ángulos 6. m( PBA) m( PBC) 6. De 5. Propiedad de las desigualdades. 7. m( PBA) m( P) 7. Sustitución de 4 en 6 8. AP > AB 8. En el PAB a mayor ángulo se opone mayor lado. 9. AC + CP > AB) 9. De 8. Adicion de segmentos. 10. AC + CB > AB 10. Sustitución de 1 en 9. TEOREMA DE LA ENVOLVENTE HIPOTESIS: ABC cualquiera. O es un punto en el interior del triángulo TESIS: AC CB AO OB 1. De hipótesis. O es un punto interior 1. La BO corta a AC en D. AD + DO > AO. Desigualdad triangular en ADO 3. DC + CB > BD 3. Desigualdad triangular en DCB 4. AD + DO + DC + CB > AO + BD 4. De y 3. Suma de desigualdades. 5. AC + CB + DO > AO + BD 5. De 4. Adición de segmentos 6. AC + CB + DO > AO + OB + DO 6. De 5. Adicion de segmentos 7. AC + CB > AO + OB 7. De 6. Ley cancelativa.

9 Desigualdades geométricas 9 TEOREMA Si dos lados de un triangulo son respectivamente congruentes a dos lados de otro triangulo y el ángulo incluido en el primer triangulo es mayor que el ángulo incluido en el segundo triangulo, entonces al tercer lado del primero es mayor que el tercer lado del segundo triangulo. HIPÓTESIS: AC DF; CB FE m( ACB) m( F) TESIS: AB > DE 1. Trazamos CK, tal que ACK F 1. Construcción. En CK existe un punto G, tal que CG FE. Postulado de construcción de segmentos congruentes 3. AC DF 3. De hipótesis 4. ACG DFE 4. De 1,, 3. L A L 5. Trazamos la bisectriz de GCB que corta a AB en H y trazamos GH. 5. Construcción 6. GCH HCB 6. De 5. Definición de bisectriz 7. GC FE 7. De 1 8. FE CB 8. De hipótesis 9. GC CB 9. De 7 y 8. Propiedad transitiva 10. CH CH 10. Propiedad reflexiva 11. CGH CHB 11. De 6, 9, 10. L A L 1. GH HB 1. De 11. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 13. AG DE 13. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes. 14. AH + HG > AG 14. Desigualdad triangular en AGH 15. AH + HB > AG 15. Sustitución de 1 en AB > AG 16. De 15. Adición de segmentos 17. AB > DE 17. Sustitución de 13 en 16.

10 Desigualdades geométricas 10 TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y el tercer lado del primero es mayor que el tercer lado del segundo, entonces la medida del ángulo opuesto al tercer lado del primero es mayor que la medida del ángulo opuesto al tercer lado del segundo. HIPÓTESIS: AC DF BC EF AB DE TESIS: m( C) m( F) 1. no es mayor que 1. Negación de la tesis. = o es menor que. De 1. Ley de la tricotomia 3. m( C) m( F) 3. De Suposición m( C) m( C) m( F) m( C) m( F) m( F) 4. AC DF y BC EF 4. De hipótesis 5. ABC DEF 5. De 3 y 4. L A L 6. AB DE 6. De 5. Lados correspondientes en triángulos s 7. AB > DE 7. De hipótesis. 8. CONTRADICCION! 8. De 6 y 7 9. m( C) m( F) 9. De. Suposición 10. AB < DE 10. De 9 y 4. Teorema anterior. 11. AB > DE 11. De hipótesis 1. CONTRADICCION! 1. De 10 y 11. Ley de la tricotomia. Luego las suposiciones son falsas y por lo tanto se cumple que m( C) m( F) EJERCICIOS RESUELTOS 1).Si desde un punto A que no pertenece a la recta l, se traza una perpendicular a la recta y dos segmentos oblicuos, es mayor, el que está más alejado del pie de la perpendicular. HIPOTESIS: AP l; PC PB TESIS: AC AB 1. m( APB) 90º 1. De hipótesis. Definición de perpendicular. m( 1) 90º. De 1 y por ser 1 un ángulo exterior en el triangulo APB

11 Desigualdades geométricas es agudo 3. De. Por ser el suplemento de un ángulo obtuso. 4. m( ) m( 3) 4. Por ser un ángulo exterior en triangulo CBA 5. m( 1) m( ) 5. Por ser 1 obtuso y agudo 6. m( 1) m( 3) 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva 7. AC > AB 7. De 6. En el CBA a mayor ángulo se opone mayor lado. ) HIPOTESIS: O es un punto interior del triangulo ABC TESIS: 1) a b c m n r ) a b c m n r 1. m + n > c 1. Desigualdad triangular en AOB. m + r > a. Desigualdad triangular en BOC 3. n + r > b 3. Desigualdad triangular en COA 4. m + n + r > a + b + c 4. De 1,, 3. Propiedad de adición de las desigualdades 5. (m + n + r) > a + b + c 5. De 4. Factor común a b c 6. m n r 6. De 5. Transposición de términos. Para la segunda parte de la demostración se sigue el proceso del ejemplo y se llega a lo siguiente: b + a > n + m c + a > m + r b + c > r + n y sumando las tres desigualdades se tiene: a + b + c > m + n + r de donde (a + b + c) > (m + n + r) a + b + c > m + n + r. 3) 1. m ( ADB) > m ( DEB) 1. Por ser ADB un ángulo exterior en DEB. m ( DEB) > m( C). Por ser DEB un ángulo exterior en AEC 3. m ( ADB) > m( C) 3. De 1,. Propiedad transitiva.

12 Desigualdades geométricas 1 4) Demostrar que en cualquier triangulo la suma de dos ángulos interiores en menor que 180º HIPÓTESIS: ABC cualquiera TESIS: m( ) m( ) 180º m( ) m( ) 180º m( ) m( ) 180º 14. es un ángulo exterior 1. Definición de ángulo exterior 15. m( ) > m( ). De 1. Por ser DEB un ángulo exterior 16. m( ) + m( γ) = 180º 3. Por ser suplementarios. 17. m( ) = 180º - m( γ) 4. De 3. Transposición de términos º - m ( γ) > m( ) 5. Sustitución de 4 en º > m( ) + m( γ) 6. De 5. Transposición de términos 0. m( ) + m( γ) < 180º 7. De m( ) > m( ) 8. De 1. Por ser un ángulo exterior. 180º - m( γ) > m( ) 9. Sustitución de 4 en º > m( ) + m( γ) 10. De 9. Transposición de términos. 4. es un ángulo exterior en ABC 11. Definición de ángulo exterior 5. m( ) > m( ) 1. De 11. Un ángulo exterior es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente a el. 13. m( ) + m( ) = 180º 13. Por ser suplementarios. 14. m( ) = 180º - m( ) 14. De 13. Transposición de términos º - m( ) > m( ) 15. Sustitución de 14 en º > m( ) + m( ) 16. De 15. Transposición de términos. 5) En un triángulo ABC, A F C y A D B, de manera que FC DB. Si AB > AC, demostrar que FB > CD 1. AB > AC 1. De hipótesis. m ( ACB) > m ( ABC). De 1. Si un triangulo tiene dos lados desiguales al mayor se opone el ángulo mayor 3. FC DB 3. De hipótesis 4. BC BC 4. Propiedad reflexiva

13 Desigualdades geométricas FB > CD 5. De, 3, 4. Si dos triángulos tienen dos lados congruentes y el ángulo incluido en el primero es mayor que el incluido en el segundo, entonces el tercer lado del primero es mayor que el tercero del segundo. 6) Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triangulo es mayor que su semiperimetro y menor que su perímetro. HIPOTESIS: CH; AH 1; AH son alturas del triangulo TESIS: AB BC CA AH 1 CH BH AB BC CA CH A; BHC; AH B son rectángulos AC AH BC CH AB BH 1 3. AB BC AC AH1 CH BH 4. AH1 H1B AB AH1 H1C AC CH HB BC CH HA AC BH CH BC BH AH AB De hipótesis. Definición de altura y de triangulo rectángulo. De 1. En un triangulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquier cateto. 3. De. Propiedad de la adición de las desigualdades 4. Teorema de la desigualdad triangular. AH 1 CH BH H 1 B H 1 C HB HA ( CH AH ) 5. De 4.Propiedad de las desigualdades AB BC AC 6. AH 1 CH BH BC AB AC AB BC AC 6. De 5. Adición de segmentos AH CH BH AB BC AC BC AB AC De 6. transposición de términos

14 Desigualdades geométricas 14 AB BC CA AH CH BH 8. De 7. Aritmética AB BC CA AH CH BH De 9. Lo mismo escrito de otra manera EJERCICIOS DE DESIGUALDADES 1. HIPÓTESIS: AC EC E D C B TESIS:1) CE > CD ) AE > AD. 3. Se da un ABC y la mediana AM. Demostrar que Sugerencia: en AM existe un punto P, tal que AM AB AC AM MP 4. Demostrar que un triángulo cualquiera, la suma de las tres alturas es menor que el perímetro del triangulo. 5. HIPOTESIS: CD CB 1) AC DC ) m( ADC) m( A) TESIS: 3) m( 1) m( A) 4) AD BD

15 Desigualdades geométricas HIPÓTESIS: AD AB CD CB CD AD TESIS: m( DAB) m( DCB) 7. HIPOTESIS: DA DB A D C AD AB TESIS: m( A) > m( C) 8. HIPÓTESIS: ABC cualquiera TESIS: m( ADB) m( C) 9. HIPOTESIS: ADB es isosceles con DA DB DB > AB A D C TESIS: Triángulo ABC es un triangulo escaleno.

16 Desigualdades geométricas HIPOTESIS: Triángulo ABC cualquiera El punto O es un punto en el interior del triangulo. TESIS: 1) a b c m n r ) m n r a b c 1. Demostrar el siguiente teorema: Un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. (La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta). 13. Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triangulo es mayor que su semiperimetro y menor que su perímetro. 14. En un triángulo ABC, A F C y A D B, de manera que FC DB. Si AB > AC, demostrar que FB > CD.

17 Desigualdades geométricas En el ABC, AC > AB. Demostrar que si D es un punto cualquiera entre B y C, entonces AC > AD. 16. Demostrar que si dos alturas de un triangulo son congruentes, el triangulo es isósceles. 17. Demostrar que si AM es una mediana del triangulo ABC, entonces los segmentos desde B y C, perpendiculares a AM, son congruentes. 18. Escribir el reciproco de cada uno de los siguientes enunciados y decidir si cada enunciado y cada reciproco es verdadero o falso: A. Si dos ángulos son congruentes, entonces son rectos. B. Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios. C. Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces equidista de los extremos del segmento. D. Si dos ángulos son agudos, entonces son complementarios. E. Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces son congruentes. Será verdadero el reciproco de todo enunciado verdadero? Ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise Recopilados por: José Manuel Montoya Misas. EJERCICIOS RESUELTOS DE DESIGUALDADES Demostrar utilizando el método indirecto de demostración o reducción al absurdo: HIPOTESIS: BC BA DC DA TESIS: BD no es bisectriz de CBA 1. BD es bisectriz de CBA 1. Negación de la tesis. Suposición.. 1. De 1. Definición de bisectriz 3. BD BD 3. Propiedad reflexiva

18 Desigualdades geométricas BC BA 4. De hipótesis 5. BDC BDA 5. De, 3, 4. L A L 6. DC DA 6. De 5. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 7. DC DA 7. De hipótesis. 8. CONTRADICCION 8. De 6 y 7. Ley de la tricotomia Por lo tanto la suposición 1 es falsa y por consiguiente es verdad que BD no es bisectriz. HIPOTESIS: AB BD DC TESIS: AD > DC 1. ABD es isósceles 1. De hipótesis. Definición de triangulo isósceles. 3. De 1. Por ser ángulos de la base de un triangulo isósceles 3. BDC es isósceles 3. De hipótesis. Definición de triangulo isósceles De 3. Por ser ángulos de la base de un triangulo isósceles 5. m( 4) > m( ) 5. Por ser un ángulo exterior del triangulo ABD 6. m( 5) > m( ) 6. Sustitución de 4 en En ADC: AD > DC 7. De 6. En un triangulo a mayor ángulo se opone mayor lado HIPOTESIS: AD AB CD CB CD > AD TESIS: m ( DAB) > m ( DCB) 1. CD > AD 1. De hipótesis. m( 1) > m( ). De 1. En el ADC a mayor lado se opone mayor ángulo. 3. AD AB y CD CB 3. De hipótesis. 4. CB > AB 4. Sustitución de 3 en m( 3) > m( 4) 5. De 4. En el ABC a mayor lado se opone mayor ángulo. 6. m( 1) + m( 3) > m( ) + m( 4) 6. De y 5. Suma de desigualdades. 7. m( DAB) > m( DCB) 7. De 6. Suma de ángulos.

19 Desigualdades geométricas m( ADB) > m( DEB) 1. Por ser un ángulo exterior en el DEB. m( DEB) > m( C). Por ser un ángulo exterior en el ACE 3. m( ADB) > m( C) 3. De 1 y. Propiedad transitiva.

20 Desigualdades geométricas 0 1. SOLUCIONARIO DE LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD DE DESIGUALDADES HIPÓTESIS AC TESIS 1) EC E D C CE CD ) AE AD 1.CE CD DE 1. Suma de segmentos.ce CD. Propiedad de las desigualdades 3. m( 1) m( ) 3. Por ser un ángulo exterior del triangulo ADE 4. m( 3) m( ACD) 4. Por ser un ángulo exterior del triángulo ACD 5. m( ACD) De hipótesis, definición de perpendicularidad 6. m( 3) Sustitución de 5 en es obtuso 7. De 6, definición de ángulo obtuso 8. 1 es el suplemento de 3 8. Definición de ángulos suplementarios 9. 1 es agudo 9. De 8, el suplemento de un ángulo obtuso es agudo 10. m( 3) m( 1) 10. De 9 y 7, un ángulo obtuso es mayor que un ángulo agudo 11. m( 3) m( ) 11. De 10 y 3, propiedad transitiva 1. De 11, en el triángulo ADE a mayor ángulo se 1. AE AD opone mayor lado

21 Desigualdades geométricas 1. HIPÓTESIS: AB BD DC TESIS: AD > DC 1. ABD es isósceles 1. De hipótesis. Definición de triangulo isósceles.. De 1. Por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles 3. BDC es isósceles 3. De hipótesis. Definición de triangulo isósceles De 3. Por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles 5. m( 4) > m( ) 5. Por ser un ángulo exterior del triángulo ABD 6. m( 5) > m( ) 6. Sustitución de 4 en En ADC: AD > DC 7. De 6. En un triángulo a mayor ángulo se opone mayor lado

22 Desigualdades geométricas 3. Se da un ABC y la mediana AM Sugerencia: en AM AB AC. Demostrar que AM existe un punto P, tal que AM MP HIPÓTESIS AM es mediana TESIS AM AB AC 1. Se prolonga la mediana AM hasta un punto P, tal que AM MP 1. Construcción auxiliar.. Por ser ángulos opuestos por el vértice 3. M es punto medio de BC 3. De hipótesis, definición de mediana 4. MC MB 4. De 3, definición de punto medio 1 5. CMA MBP 5. De 1, 3 y 5, por L A L 6. AC BP 6. De 5, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 7. En APB : AB BP AP 7. Desigualdad triangular 8. AB AC AP 8. Sustitución de 6 en 7 9. AP AM MP 9. Suma de segmentos 10. AP AM AM AM 10. Sustitución de 1 en AB AC AM AB AC 1. AM 1. De 11, algebra 11. Sustitución de 10 en 8

23 Desigualdades geométricas 3 4. Demostrar que un triángulo cualquiera, la suma de las tres alturas es menor que el perímetro del triángulo. HIPÓTESIS AE, BD, CF son alturas TESIS AE BD CF AC CB BA 1. ACE es rectángulo 1. De hipótesis, definición de altura. De 1, en un triángulo rectángulo la hipotenusa. AC AE es mayor que cualquier cateto 3. CBF es rectángulo 3. De hipótesis, definición de altura 4. De 3, en un triángulo rectángulo la hipotenusa 4.CB CF es mayor que cualquier cateto 5. ABD es rectángulo 5. De hipótesis, definición de altura 6. De 5, en un triángulo rectángulo la hipotenusa 6. BA BD es mayor que cualquier cateto 7. AC CB BA AE CF BD 7. De,4 y 6, suma de desigualdades

24 Desigualdades geométricas 4 5. HIPÓTESIS: CD CB DCB 1 TESIS: 1) AC CD ) m( ADC) m( A) 3) m( 1) m( A) 4) AD BD 1. AC AB CB 1. Suma de segmentos. AC CB. De 1, propiedad de las desigualdades 3. CD CB 3. De hipótesis 4. AC CD 4. Sustitución de 3 en 5. m( ADC) m( A) 5. De 4, en el triángulo ADC, a mayor lado se opone mayor ángulo 6. es isósceles 6. De 3, definición de triangulo isósceles De 6, por ser los ángulos de la base de un triángulo isósceles 8. m( ) m( A) 8. Por ser un ángulo exterior del triángulo ABD 9. m( 1) m( A) 9. Sustitución de 7 en m( 3) m( 1) 10. Por ser un ángulo exterior del triángulo DBC 11. m( 3) m( A) 11. De 9 y 10, propiedad transitiva 1. De 1. En el triángulo ABD a mayor ángulo se opone 1. AD BD mayor lado

25 Desigualdades geométricas 5 6. HIPÓTESIS: AD AB CD CB CD > AD AD AB TESIS: m ( DAB) > m ( DCB) 1. CD > AD 1. De hipótesis. m( 1) > m( ). De 1. En el ADC a mayor lado se opone mayor ángulo. 3. y CD CB 3. De hipótesis. 4. CB > AB 4. Sustitución de 3 en m( 3) > m( 4) 5. De 4. En el ABC a mayor lado se opone mayor ángulo. 6. m( 1) + m( 3) > m( ) + m( 4) 6. De y 5. Suma de desigualdades. 7. m( DAB) > m( DCB) 7. De 6. Suma de ángulos.

26 Desigualdades geométricas 6 7. HIPÓTESIS DA DB A D C AD AB TESIS m( A) m( C) 1. DA DB 1. De hipótesis. ADB es isósceles. De 1, definición de triangulo isósceles A 3. De, por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles AD AB 4. De hipótesis 5. m( 1) m( ) 5. De 4, en el triángulo ADB a mayor lado se opone mayor ángulo 6. m( ) m( C) 6. Por ser un ángulo exterior del triángulo BDC 7. m( 1) m( C) 7. De 5 y 6, propiedad transitiva 8. m( A) m( C) 8. Sustitución de 3 en m( ADB) > m( DEB) 1. Por ser un ángulo exterior en el DEB. m( DEB) > m( C). Por ser un ángulo exterior en el ACE 3. m( ADB) > m( C) 3. De 1 y. Propiedad transitiva.

27 Desigualdades geométricas 7 9. HIPÓTESIS ABD es isósceles con DA DB DB AB A D C TESIS ABC es escaleno De hipótesis. Por ser los ángulos de la base de un triangulo isósceles. m( ABC) m( 1) m( DBC). Suma de ángulos 3. m( ABC) m( 1) 3. De, propiedad de las desigualdades 4. m( ABC) m( A) 4. Sustitución de 1 en 3 5. DB AB 5. De hipótesis 6. m( A) m( ) 6. De 5, en el triángulo ADB a mayor lado se opone mayor ángulo 7. m( ) m( C) 7. Por ser un ángulo exterior del triángulo BDC 8. m( A) m( C) 8. De 6 y 7, propiedad transitiva 9. m( ABC) m( C) 9. De 4 y 8, propiedad transitiva 10. De 10, 8 y 4, por no tener ningún par de 10. ABC es escaleno ángulos congruentes, si tuviera un par congruente seria isósceles A 1

28 Desigualdades geométricas AE ED AD. DC CB DB 3. AE ED DC CB AD DB 4. AE ED DC CB AB AD DB AB 1. Por desigualdad triángulos en el triángulo AED. Por desigualdad triángulos en el triángulo DCB 3. De 1 y, suma de desigualdades 4. A una desigualdad se le puede sumar la misma cantidad a ambos miembros 11. HIPÓTESIS: O es un punto interior del triangulo ABC TESIS: 1) a b c m n r ) a b c m n r 1. m + n > c 1. Desigualdad triangular en AOB m + r > a. Desigualdad triangular en BOC 3. n + r > b 3. Desigualdad triangular en COA 4. m + n + r > a + b + c 4. De 1,, 3. Propiedad de adición de las desigualdades 5. (m + n + r) > a + b + c 5. De 4. Factor común 6. a b c m n r 6. De 5. Transposición de términos. Para la segunda parte de la demostración se sigue el proceso del ejemplo y se llega a lo siguiente: b + a > n + m c + a > m + r b + c > r + n y sumando las tres desigualdades se tiene: a + b + c > m + n + r de donde (a + b + c) > (m + n + r) a + b + c > m + n + r.

29 Desigualdades geométricas 9 1. Demostrar el siguiente teorema: Un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. (La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta). HIPÓTESIS AP es bisectriz de PB y PC Distancias a los lados del ángulo BAC TESIS PB PC 1. PB AB 1. De hipótesis definición de distancia de un punto a una recta. 3. PC AC 3. De hipótesis definición de distancia de un punto a una recta 4. PCA es rectángulo 4. De 3, definición de triangulo rectángulo 5. BAP CAP 5. De hipótesis, definición de bisectriz de un ángulo 6. AP AP 6. Propiedad reflexiva 7. ABP ACP 7. De 5, 4 y, cateto ángulo agudo 8. PB PC 8. De 7, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes PBA es rectángulo. De 1, definición de triangulo rectángulo

30 Desigualdades geométricas Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triángulo es mayor que su semiperimetro y menor que su perímetro. En el ejercicio 4 se demostró que es menor que el perímetro, vamos a demostrar que es mayor que su semiperimetro HIPÓTESIS AE, BD, CF son alturas TESIS AE BD CF AC CB BA 1. AE EC AC. AE EB BA 3. BD DC CB 4. BD DA BA 5.CF FB CB 6.CF FA AC 7.AE BD CF EC EB DC DA FB FA AC BA CB 8. AE BD CF CB AC BA AC BA CB 1. Desigualdad triangular en el triángulo AEC. Desigualdad triangular en el triángulo AEB 3. Desigualdad triangular en el triángulo BDC 4. Desigualdad triangular en el triángulo BDA 5. Desigualdad triangular en el triángulo CFB 6. Desigualdad triangular en el triángulo CFA 7. Suma de las seis desigualdades anteriores 8. De 7, suma de segmentos

31 Desigualdades geométricas AE BD CF AC BA CB CB AC BA 10. AE BD CF AC BA CB ( AE BD CF) AC BA CB 11. AE BD CF AC BA CB 9. De 8, transposición de términos 10. De 9, términos semejantes 11. Algebra 14. En un triángulo ABC, A F C y A D B, de manera que FC DB. Si AB > AC, demostrar que FB > CD 1. AB > AC 1. De hipótesis. m ( ACB) > m ( ABC). De 1. Si un triángulo tiene dos lados desiguales al mayor se opone el ángulo mayor 3. FC DB 3. De hipótesis 4. BC BC 4. Propiedad reflexiva 5. De, 3, 4. Si dos triángulos tienen dos lados congruentes y el ángulo incluido en el primero es 5. FB > CD mayor que el incluido en el segundo, entonces el tercer lado del primero es mayor que el tercero del segundo.

32 Desigualdades geométricas Utilizar la demostración por reducción al absurdo o método indirecto de demostración para demostrar que si una mediana de un triángulo no es perpendicular al lado que corta, entonces al menos dos lados del triángulo no son congruentes. HIPÓTESIS AM es mediana AM no es perpendicular a CB TESIS: AC no es congruente con AB 1. AC AB 1. Negación de la tesis. es isósceles. De 1, definición de triangulo isósceles 3. AM es mediana 3. De hipótesis 4. AM es altura 4. De y 3, en un triángulo isósceles la mediana sobre la base es también altura 5. AM CB 5. De 4, definición de altura 6. AM no es perpendicular a CB 6. De hipótesis 7. CONTRADICCION! 7. De 5 y 6 Como se llegó a una contradicción por considerar que había dos lados congruentes, entonces AC no es congruente con AB ABC

33 Desigualdades geométricas Demostrar que si dos alturas de un triángulo son congruentes, el triángulo es isósceles. HIPÓTESIS: AD y BE son alturas del triangulo AD BE TESIS: ABC es isósceles 1. AD BC 1. De hipótesis, definición de altura en un triangulo. es rectángulo. De 1, definición de triangulo rectángulo 3. BE AC 3. De hipótesis, definición de altura en un triangulo 4. BEA es rectángulo 4. De 3, definición de triangulo rectángulo 5. AD BE 5. De hipótesis 6. AB AB 6. Propiedad reflexiva 7. De, 4, 5 y 6, por tener congruentes la hipotenusa y 7. ADB BEA un cateto De 7, por ser ángulos correspondientes en EAB DBA triángulos congruentes 9. ABC es isósceles 9. De 8, por tener dos ángulos congruentes ADB

34 Desigualdades geométricas Demostrar que si AM es una mediana del triángulo ABC, entonces los segmentos desde B y C, perpendiculares a AM, son congruentes. HIPÓTESIS: AM es una mediana BD AM CE AM TESIS BD CE 1. BD AM 1. De hipótesis. es rectángulo. De 1, definición de triangulo rectángulo 3. CE AM 3. De hipótesis 4. CEM es rectángulo 4. De 3, definición de triangulo rectángulo 5. M es punto medio de BC 5. De hipótesis, definición de mediana 6. MB MC 6. De 5, definición de punto medio Por ser ángulos opuestos por el vértice 8. De, 4, 6 y 7, por tener congruentes la hipotenusa y 8. BDM CEM un ángulo agudo 9. BD CE 9. De 8, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes BDM 18. Escribir el reciproco de cada uno de los siguientes enunciados y decidir si cada enunciado y cada reciproco es verdadero o falso: A. Si dos ángulos son congruentes, entonces son rectos. B. Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios. C. Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces equidista de los extremos del segmento. D. Si dos ángulos son agudos, entonces son complementarios. E. Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces son congruentes. Será verdadero el reciproco de todo enunciado verdadero? Si dos ángulos son congruentes, entonces son rectos FALSO RECIPROCO: Si dos ángulos son rectos, entonces son congruentes VERDADERO Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios VERDADERO RECIPROCO: Si dos ángulos son suplementarios entonces forman un par lineal FALSO

35 Desigualdades geométricas 35 Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces equidista de los extremos del segmento. VERDADERO RECIPROCO: Si un punto equidista de los extremos de un segmento, entonces pertenece a la mediatriz de dicho segmento. VERDADERO Si dos ángulos son agudos, entonces son complementarios FALSO RECIPROCO: Si dos ángulos son complementarios, entonces son agudos VERDADERO Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces son congruentes. VERDADERO RECIPROCO: Si dos ángulos son congruentes, entonces son opuestos por el vértice. FALSO Conclusión: No todos los recíprocos se cumplen