Geometría - Ayudantía Martes 25 Abril

Transcripción

1 1 Geometría - yudantía artes 5 bril 1. ados los puntos y fuera de una recta y en la misma región, hallar el camino más corto para ir desde hasta tocando la redcta dada. P P Sea la recta dada y y los puntos dados. Sea P el punto que hay que tocar en la recta y simétrico de respecto de. P = P P + P = P + P =. Sea P cualquier otro punto en. Sabemos que: < P + P por lo tanto P es el punto pedido. Para encontrarlo basta con encontrar, el simetrico de respecto a, y trazal la recta. EL puinto donde esta recta intersecta a es el punto P pedido.. emostrar que el segmento que une el vértice del ángulo recto con el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide la mitad de la hipotenusa Sea triángulo rectángulo en. Sea el punto medio de la hipotenusa. Tracemos una paralela a que pase por y prolongemos para que intersecte esta recta. Llamemos a este punto de intersección. = por lo tanto = y = 1 por el teorema de Tales. Por el criterio L..L. = = y como = 1 = 1

2 3. emostrar que el ángulo que forma la transversal de gravedad con la altura en un triángulo rectángulo, trazadas ambas desde el vértice del ángulo recto, es β γ Sea el triangulo rectángulo en. Sea el punto medio de y H el punto donde cae la altura del vertice. a 1 3 aa b H g Sea α el ángulo que forman la transversal de gravedad con la altura H. Por demostrar que α = β γ H = β ya que β γ = 90 H = α + α 3 = β El triángulo es isósceles ya que la mediana es igual a la mitad de la hipotenusa. = α 3 = γ Si α + α 3 = β y α 3 = γ α = β γ 4. emuetre que en el triángulo el ángulo que forman las bisectrices de los ángulo β y γ es igual a un ángulo recto más α a O q b1 g 1 b g β 1 = β = β, γ 1 = γ = γ En el O θ + β + γ = 180 θ = 180 β γ θ = 180 (β + γ)

3 En el α + β + γ = 180 β + γ = 180 α β + γ = 90 α Reemplazando en θ = 180 (β + γ) tenemos que θ = 90 α 5. ado un triángulo en el cual =, si por un punto tomado en se traza la recta E paralela a demuetre que = E 3 E E = y E = por ser E paralela a omo es isósceles = E = E por lo que el E es isóceles y = E, como además = se conluye que = E 6. ado un triángulo se trazan las bisectrices interiores de los ángulos β y γ y por el punto donde se cortan, se traza la recta N paralela a. emuetre que N = + N. q q 1 N b g b1 g 1 Por hipótesis β 1 = β. θ 1 = β 1 por alternos internos θ 1 = β por lo que el es isósceles =. nalogamente vemos que N también es isósceles y que N = N. omo N = + N = + N 7. En un triángulo si las perpendiculares sobre H sobre y P sobre son iguales, demuestre que el triángulo es isósceles.

4 4 P H Por hipótesis P = H. P R = H por el criterio.l.l. ( P = H, lado común, P = H por hipótesis). Por lo que conluimos que P = H = y es isósceles. 8. emuetre que en todo triángulo rectángulo la perpendicular bajada desde el ángulo recto a la hipotenusa es menor que ésta. La perpendicular es menor que cualquier oblicua que parat de y que llegue a Por lo tanto < y < por lo tanto <. 9. En todo triángulo una altura es menor que la semisuma de los lados adyacentes y la suma de las tres alturas es menor que el perímetro del triángulo. < ya que es la perpendicular a y es mas pequeña que cualquier otra + recta que parta de y que llegue a. < por lo tanto <. nálogamente + E < + F <. Sumando las tres desigualdades: + E + F < + + =perímetro. 10. La transversal de gravedad de un triángulo es menor que la semisuma de los dos

5 5 F E lados adyacentes. Hecho en clase. 11. La suma de las tres transversales de gravedad de un triángulo está comprendida entre el perímetro e el semiperímetro del mismo. F E el ejercico anterior sabemos que: + < + E < + F <

6 6 Sumando estas tres desigualdades: + E + F < + + =perímetro. O + O > // O + OE > E//O + OF > F Sumando estas tres desigualdades: E + + F > F + E + = + + =semiperímetro. 1. La recta que une los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto de la bisectriz de un ángulo a los lados de éste es perpendicular a la bisectriz. O Sea la bisectriz del y y las perpendiculares desde a los lados y respectivamente. = por.l.l = O = O por L..L O = O = 90 ya que son ángulos suplementarios. e aqui concluimos que.