Geometría Plana y Trigonometría (SEP-INAOE)

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Geometría Plana y Trigonometría (SEP-INAOE)"

Rosa María Quiroga Vargas
hace 7 años
Vistas:

1 Examen 1 15-Nov-008 Geometría Plana y Trigonometría (SEP-INOE) Nombre completo: Nombre instructor: No. de grupo: alificación: 1.- Demostrar que: + + D + DE > G + GF + FE..- Hallar el ángulo que es igual a la mitad de su suplemento. 3.- Figura izquierda: la recta E es bisectriz del D y =. Demostrar que E. 4.- Figura derecha: DE, EF; HI DE, HK EF y JHI = 150. Hallar. 5.- Los ángulos en la base de un triángulo isósceles miden 40 cada uno. uánto mide el ángulo opuesto a la base? 6.- El es isósceles; D y F son los puntos medios de Demostrar que, O = O, DO = FO y 3= 4. y.

2 7.- uál es el polígono cuya suma de ángulos interiores vale 340? 8.- Un ángulo de un romboide mide 36. uánto miden los otros tres ángulos? 9.- Hallar gráficamente la longitud del segmento x que es la tercera proporcional a segmentos a y b que miden 3 cm y 4 cm, respectivamente Si E D, = 1 m, E = 8 m y D = 10 m. alcular lasificar el triángulo cuyos lados miden: a = 3 cm, b = 4 cm y c = cm. 1.- En el desarrollar una expresión algebraica para calcular la altura h= D en función de los lados a, b y c, considerando que el ángulo es agudo. c h b D a

3 1.- Demostrar que: + + D + DE > G + GF + FE. Revisor: M.. Daniel López Las hipótesis para resolver este problema son: DE es una poligonal envolvente, GFE es la poligonal envuelta, y,e son los extremos comunes a ambas poligonales convexas. La construcción auxiliar consiste, en este caso, en prolongar G hasta cortar DE en H y GF hasta cortar DE en I. demás, por suma de segmentos, D G F H I DH + HI + IE = DE E Demostración: aplicando el postulado de la menor distancia entre dos puntos vemos que en DHG se tiene que + + D + DH > G + GH (1) en GHIF se obtiene GH + HI > GF + FI () análogamente, en FIE FI + IE > FE (3) sumando (1), () y (3) ( + + D + DH ) + ( GH + HI) + ( FI + IE) > ( G + GH ) + ( GF + FI) + FE equivalentemente ( + + D) + ( DH + HI + IE) + ( GH + FI) > ( G + GF + FE) + ( GH + FI) (4) de donde, al aplicar suma de segmentos (ver hipótesis adicional) y simplificar el último término igual a ambos lados de la desigualdad (4), queda demostrada la proposición dada..- Hallar el ángulo que es igual a la mitad de su suplemento. Sea x el ángulo buscado, por definición, su suplemento está dado por x y según el planteamiento dado, se cumple que [0,½,1] 1 x = (180 x ) de donde x= 180 x 180 entonces, 3x= 180 y x= = 60. 3

4 Revisor: M.. arlos Ortiz 3.- Figura izquierda: la recta E es bisectriz del D y =. Demostrar que E. 1 La suma de los ángulos interiores en el está dada por + + = 180 (1) análogamente, los ángulos consecutivos formados sobre la recta D suman dos rectos, es decir, = 180 () por transitividad de (1) y () se sigue que + = 1+ demás, por hipótesis, de modo que = y 1 = = 1 y = onsecuentemente la recta secante D forma ángulos correspondientes iguales con las rectas E y, por tanto E (postulado de una secante). Equivalentemente, la recta secante forma ángulos alternos internos iguales con las rectas E y, en consecuencia E (teorema recíproco). 4.- Figura derecha: DE, EF; HI DE, HK EF y JHI = 150. Hallar. [0,½,1] Por hipótesis, el ángulo agudo FED y el ángulo obtuso JHI tienen sus lados mutuamente perpendiculares, por lo tanto son suplementarios. Entonces, FED = 180 JHI = = 30 Por otra parte, los ángulos agudos FED y son iguales por tener sus lados paralelos y orientados en el mismo sentido. Por tanto, = FED = 30

5 Revisor: Dr. Juan Pablo Torres [0,½,1] 5.- Los ángulos en la base de un triángulo isósceles miden 40 cada uno. uánto mide el ángulo opuesto a la base? En un triángulo isósceles los ángulos en la base son iguales y como la suma de los ángulos interiores en un triángulo es igual a dos rectos, resulta que + + = R= 180 entonces, + = 180, de donde = 180 = = = 100 (ángulo opuesto a la base) 6.- El es isósceles; D y F son los puntos medios de Demostrar que, O = O, DO = FO y 3= 4. y. Por ser el isósceles, =. Siendo además D y F los puntos medios de los lados iguales, se tiene que F = D. sí, F = D por tener dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos. 1 Por lo tanto, a los lados homólogos F y D se oponen ángulos iguales, es decir, F = D y como por hipótesis es isósceles, los ángulos en su base son iguales. De este modo, 1= F = D =. onsecuentemente, el O es también isósceles y a ángulos iguales se oponen lados iguales, así O = O, y como, por hipótesis D = F, se deduce que OD = OF, por tener dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos, ya que DO = F = D = FO, de donde los opuestos son iguales DO = FO. Finalmente, por ser ángulos exteriores al O, 3= 1+ = 4.

6 Revisor: M.. nmi García 7.- uál es el polígono cuya suma de ángulos interiores vale 340? La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados está dada por [0,½,1] Si Si = R( n ), entonces n= + y al substituir, R 340 n = + = 13+ = que resulta ser un polígono de 15 lados o pentedecágono. 8.- Un ángulo de un romboide mide 36. uánto miden los otros tres ángulos? Por definición, un romboide tiene los ángulos contiguos desiguales y como todo romboide es un paralelogramo, estos ángulos son suplementarios. sí, de acuerdo a la figura mostrada, se obtienen D = 36 (hipótesis) = R = = 144 = R = = 36 D= R = = 144

7 Revisor: M.. Juan arlos Valdiviezo 9.- Hallar gráficamente la longitud del segmento x que es la tercera proporcional a segmentos a y b que miden 3 cm y 4 cm, respectivamente. La construcción gráfica consiste en formar el ángulo de cuyo vértice se traza la semirrecta sobre la cual se llevan consecutivamente los segmentos a = 3 cm y b = 4 cm. Luego, sobre la semirrecta se coloca, partiendo de, el segmento b = 4 cm y se unen los extremos de a con b (sobre ). Finalmente, se traza en el extremo de b una paralela al segmento ab que corte formando así el segmento x que es tercera proporcional de los segmentos dados. ritméticamente, a b a = ya que = = x = = cm. b x b 4 x 3 3 b = 4 cm a = 3 cm b = 4 cm x = 5.3 cm 10.- Si E D, = 1 m, E = 8 m y D = 10 m. alcular. Los triángulos E y D son semejantes por ser rectángulos, ya que = = R, y tener el ángulo agudo igual. Estableciendo la proporcionalidad de los lados se tiene que D = E y por suma de segmentos + D = E entonces, D 10 = = 1 1 = 168 m. E 8

8 11.- lasificar el triángulo cuyos lados miden: a = 3 cm, b = 4 cm y c = cm. Se escoge el lado mayor como opuesto al ángulo que clasifica al triángulo y los otros dos lados para ver si existe o no exceso o defecto entre el cuadrado del lado mayor y la suma de cuadrados de los otros dos lados (criterio basado en el Teorema de Pitágoras y sus generalizaciones). sí, como b > a y b > c, se obtiene b = 4 = 16, a + c = 3 + = = 13 de modo que Revisor: Dr. Gonzalo Urcid b = 16 > 13 = a + c (exceso en el cuadrado del lado mayor) el triángulo es obtusángulo. 1.- En el desarrollar una expresión algebraica para calcular la altura h= D en función de los lados a, b y c, considerando que el ángulo es agudo. De la figura, aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo D, se obtiene h = D = c D (1) c h b y por la generalización del Teorema de Pitágoras para la hipótesis de ángulo agudo, respecto del ángulo (supuesto), vemos que D a b = a + c a proyac= a + c a D a + c b de donde D = () a Substituyendo () en (1), desarrollando algebraicamente y considerando que a + b + c = p (semiperímetro), se obtiene a + c b a + c b a + c b h = c D = c = c+ c a a a ( a + ac+ c ) b b ( a ac+ c ) [( a+ c) b ][ b ( a c) ] = = a a 4a 1 1 = ( a+ c+ b)( a+ c b)( b+ a c)( b a+ c) = ( p)(p b)(p c)(p a) 4a 4a = 16 p( p a)( p b)( p c) h p( p a)( p b)( p c). 4a = a

Documentos relacionados

Segmentos proporcionales

Segmentos proporcionales Septiembre Diciembre 2008 INAOE 9/1 Hallar las razones directas e inversas de los segmentos a y b, sabiendo que: (1) a = 18 m, b = 24 m (3) a = 25 cm, b = 5 cm (5) a = 2.5 dm, b = 50 cm (7) a = 5 Hm, b