Tema 10: Problemas métricos en el plano

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Carla Toledo Giménez
hace 6 años
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1 Tema 10: Problemas métricos en el plano 10.1 Relaciones angulares Construye un polígono de cinco lados, divídelo en triángulos para averiguar la suma de los ángulos interiores del pentágono. Nuestro pentágono ha quedado dividido en tres triángulos, por lo que la suma de los ángulos interiores será Recordemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Tareas : todos los ejercicios de la página Semejanza de triángulos Criterio de semejanza Si dos triángulos tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido es el mismo,son semejantes. Para verlo, construimos dos segmentos, a y b, de longitud libre y determinamos un ángulo C 90º.Elegimos un valor para la razón de semejanza r 5. Multiplicamos los segmentos dados por dicha razón para obtener dos nuevos segmentos, a y b. Ahora con estos datos construimos los dos triángulos correspondientes, siendo C C. Sobre ellos comprobaremos, tomando medidas de longitud y de ángulos, que se cumplen las condiciones para que dos triángulos sean semejantes: a a b b c c C C, B B, A A Criterio 3 de semejanza Si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales, son semejantes. Para verlo, construimos tres segmentos, a, b y c de longitud libre. Elegimos un valor para la razón de semejanza r Multiplicamos los segmentos dados por dicha razón para obtener tres nuevos segmentos, a,b y c Ahora con estos datos construimos los dos triángulos correspondientes. Sobre ellos comprobaremos, tomando medidas de longitud y de ángulos, que se cumplen las condiciones para que dos triángulos sean semejantes: a a b b c c C C, B B, A A Tareas :todos los ejercicios de la página 187 1

2 . Será: x 40 de resolver x 4 y 9. 5 de resolver y Teniendo en cuenta que tenemos un espejo en el suelo, por la leyes de la òptica el ángulo con que la luz sale del ojo del hombre y entra en el espejo es el mismo con el que la luz llega a la punta del árbol. Por lo tanto tenemos dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo igual. Entonces en realidad tenemos dos triángulos que tienen dos ángulos respectivos que son iguales, por lo tanto son semejantes. En particular se cumple que: h, Solution is: Teorema de Pitágoras Tareas :todos los ejercicios de la página 188 Calcula los elementos desconocidos en los siguientes triángulos rectángulos:

3 Triángulo ABC AB CB CA Triángulo DEF DF FE DE Tareas : todos los ejercicios de la página Aplicación algebraica del Teorema de Pitágoras Tareas : todos los ejercicios de la página 190 Calcula la altura del siguiente trapecio: Como el triángulo ADE es rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la altura, teniendo en cuenta que esta es un cateto. DE DA AE es la medida de la altura 3

4 El lado AE Podemos aplicar el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo AED, donde la altura del trapecio es un cateto. AE DA AE es la altura del trapecio 10.5 Lugares geométricos Tareas ; todos los ejercicios de la página Las cónicas como lugares geométricos Tareas ; todos los ejercicios de la página Áreas de los polígonos Descomponemos la pieza de la siguiente forma: 4

5 Tareas : todos los ejercicios de la página Áreas de figuras curvas Tareas : todos los ejercicios de la página 195 EJERCICIOS Y PROBLEMAS 5

6 d Tenemos dos rectas paralelas con una oblicua que corta a las dos. Por lo tanto, el ángulos al otro lado del lado que define es igual a 35º. Entonces Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 d Tenemos un paralelogramo dividido por su diagonal, por lo que cada uno de los triángulos formados son iguales. En particular, se cumpler que X º Tareas : todos los ejercicios que faltan del 3 d Tenemos un polígono regular de diez lados siendo X un ángulo central, entonces X º Por otro lado, el triángulo que contiene al angulo X, es un triángulo isósceles por 6

7 tener dos de sus lados como los radios de la circunferencia que pasa por los diez vértices del decágono. Entonces, cada uno de los otros dos ángulos, (que son iguales), mide: Y el ángulo Y En el vértice donde está Z, por dentro está Y, por lo que claramente Z º Tareas : todos los ejercicios que faltan del 3 4 Tenemos que calcular la medida de dos ángulos inscritos en la circunferencia que van a dar al mismo ángulo central. Entonces, P Q AOB 70 35º Tareas : 5,6 7 La razón de semejanza se obtiene de los siguientes cocientes: AB CB AC AB CB AC Entonces de esto se obtiene que: AB AB AB CB CB CB AC AC 39 AC 3. 5 Tareas ; 8,9 10 7

Restando en columna x 14 x 13 15 8 Para empezar el trapecio es isósceles.

Tareas 13-05-16: todos los ejercicios que faltan del 10 11 La situación gráficamente queda representada por: Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BDC.

8 Restando en columna x 14 x Para empezar el trapecio es isósceles. Por lo tanto a la base mayor le quitamos la base menor para obtener el cateto del triángulo rectángulo que está a la derecha: En dicho triángulo el valor x es un cateto por lo tanto; x Tareas : todos los ejercicios que faltan del La situación gráficamente queda representada por: Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BDC. BC cm El perímetro será cm Tareas : 1 13 Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de la izquierda tenemos que: 13 x h Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de la derecha tenemos que: 15 y h Además, sabemos que: x y 14 Por lo tanto tenemos el siguiente sistema de ecuaciones no lineal: x h x h 15

9 14 x 14 8x x x 14 8x x 56 8x x cm Sustituimos este valor de x para hallar el resto de los valores: 5 h 13 h cm y cm d El mayor es 5 m Calculamos: Como los dos son iguales, el triángulo es rectángulo. Tareas ; todos los ejercicios que faltan del 14 a. 9

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