Teoremas del triángulo rectángulo
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- José Francisco Escobar Ríos
- hace 9 años
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1 Pre-universitario Manuel Guerrero Ceballos
2 Clase N 07 MODULO COMPLEMENTARIO Teoremas del triángulo rectángulo
3 Resumen de la clase anterior Triángulos Elementos Generalidades Clasificación primarios secundarios área según sus lados según sus ángulos vértices lados ángulos interiores ángulos exteriores altura simetral bisectriz transversal mediana perímetro escaleno acutángulo isósceles rectángulo equilátero obtusángulo
4 1. Triángulo rectángulo cateto 1.1 Definición Triángulo que tiene un ángulo interior recto. Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces el lado opuesto al ángulo recto, segmento AB, es llamado HIPOTENUSA, y segmentos AC y BC, lados del ángulo recto son llamados CATETOS. cateto
5 1. Triángulo rectángulo 1.2 Teoremas importantes Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. (cateto 1 ) 2 +(cateto 2 ) 2 =(hipotenusa) 2 o a 2 + b 2 = c 2
6 1. Triángulo rectángulo Ejemplo: De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR es igual a (QR) 2 = (QR) 2 = 625 (QR) 2 = (QR) 2 = 400 (Aplicando teorema de Pitágoras) (Despejando (QR) 2 ) (Restando) (Aplicando raíz cuadrada) QR = 20
7 1. Triángulo rectángulo 1.2 Teoremas importantes Teorema de Pitágoras Números pitagóricos: Son aquellos tríos de números que cumplen el teorema de Pitágoras. Los más utilizados son: 3, 4 y 5 5, 12 y 13 8, 15 y 17 Estos tríos, además de satisfacer el teorema de Pitágoras, generan familias de números pitagóricos, que corresponden a todos los tríos formados al multiplicar el trío inicial por cada número natural. Por ejemplo: 3, 4 y 5 6, 8 y 10 9, 12 y 15
8 1. Triángulo rectángulo 1.2 Teoremas importantes Teorema de Pitágoras Un cateto es el doble del otro: Un cateto es el triple del otro: Ejemplo Ejemplo
9 1. Triángulo rectángulo 1.2 Teoremas importantes Teorema de Euclides Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = h c, la altura sobre la hipotenusa, entonces se cumple que el producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa es igual a la altura (h c ) al cuadrado. h c 2 = p q Además, se cumple que: p: proyección del cateto AC sobre la hipotenusa q: proyección del cateto BC sobre la hipotenusa h c = a b c a 2 = c q b 2 = c p
10 1. Triángulo rectángulo Ejemplo: De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC tienen medida igual a Aplicando Teorema de Euclides: CD 2 = AD D B (Reemplazando) AC 2 = AB AD (Reemplazando) CD 2 = 4 3 (Aplicando raíz) AC 2 = 7 4 (Aplicando raíz) CD = AC = CD = 2 3
11 o 2.Relaciones métricas en el triángulo rectángul Triángulo de ángulos 30º, 60º y 90º 30º 30º a 3 a a 2 h 60º 60º a 2 a 2 Ejemplo: N Dado el triángulo NJS, cuál es la medida de NJ? cuál es el perímetro del triángulo NJS? J 16 Se deduce que el ángulo faltante es 30º, por lo tanto se puede usar las relaciones métricas del triángulo 30º, 60º y 90º 60º S
12 o 2.Relaciones métricas en el triángulo rectángul Ejemplo: Dado el triángulo NJS, cuál es la medida de NJ? cuál es el perímetro del triángulo NJS? N 30º 30º a 16 3 a 2 J Entonces: 60º S a 2 60º Si NS = 16 y esto corresponde a a JS = 8, la mitad de a NJ = 8 3 la mitad de a por 3 Perímetro de triángulo NJS: =
13 o 2.Relaciones métricas en el triángulo rectángul Triángulo de ángulos 45º y 90º a 45º a 2 Siempre se dará esta relación métrica en un triángulo rectángulo isósceles. a 45º Ejemplo: El triángulo FCS, es isósceles en S. Calcular SC y el área del triángulo. S Se deduce que si el triángulo es isósceles y rectángulo, entonces se puede utilizar las relaciones métricas de un triángulo de ángulos 45º y 90º. F 9 2 C
14 o 2.Relaciones métricas en el triángulo rectángul Ejemplo: El triángulo FCS, es isósceles en S. Calcular SC y el área del triángulo. S Según lo visto en clases, en la hipotenusa ver el valor de cada cateto multiplicado por se 2 logra Por lo tanto SC = 9 F 45º 45º 9 2 C cateto cateto Área de triángulo FCS = = 9 9 =
15 o 2.Relaciones métricas en el triángulo rectángul Triángulo rectángulo y transversal de gravedad Si M es punto medio de AB, entonces AM MB CM t c : transversal Ejemplo: Se tiene el triángulo PAV, rectángulo en V, con D punto medio. Calcular la medida del ángulo DVA. V Como se sabe del enunciado, el triángulo es rectángulo y como VD llega al punto medio de la hipotenusa, es transversal de gravedad. 60º P D A
16 o 2.Relaciones métricas en el triángulo rectángul Ejemplo: Se tiene el triángulo PAV, rectángulo en V, con D punto medio. Calcular la medida del ángulo DVA. V 30º 60º 30º P D A Debido a la relación entre el triángulo rectángulo y la transversal de gravedad, se sabe que PD = DA = VD, esto convierte al triángulo DAV en isósceles, por lo tanto el ángulo DVA mide 30º
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