INSTITUTO DE PROFESORES ARTIGAS

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1 INSTITUTO DE PROFESORES ARTIGAS ESPECIALIDAD MATEMÁTICA GEOMETRÍA UNIDAD 3 FICHA 1: PERTENENCIA, ORDEN Y PARTICIÓN 1 Conceptos primitivos. 2 Relaciones de pertenencia. 3 Orden en las rectas. 4 Partición del plano. 5 Partición del espacio. 6 Ángulos. 7 Ángulos diedros. 8 Triángulos. 9 Ángulos triedros. 10 Polígonos convexos. 11 Ángulos poliedros convexos. 12 Superficies poliédricas y poliedros convexos. Profesor Sergio Peralta 2008

2 1 - CONCEPTOS PRIMITIVOS. Consideramos que el conjunto universal de la Geometría Métrica es un conjunto llamado ESPACIO (E) cuyos elementos se denominan PUNTOS, que escribiremos con letras mayúsculas de nuestro alfabeto (A, B, C, P,...) En E, encontramos subconjuntos llamados PLANOS que designaremos con letras del alfabeto griego (α, β, γ, δ, ϕ, π,... ω,...), y en cada plano subconjuntos llamados RECTAS que se nombrarán con letras minúsculas de nuestro alfabeto (a, b, c,... r,...). Los conceptos primitivos de la Geometría Métrica son: ESPACIO, PUNTO, PLANO y RECTA. 2 RELACIONES DE PERTENENCIA. 2.1 AXIOMAS DE PERTENENCIA. AXIOMA 1 Existe un conjunto infinito ( E ) llamado espacio, cuyos elementos se llaman puntos. AXIOMA 2 En E existen subconjuntos estrictos, llamados planos, cada uno de los cuales tiene infinitos puntos. AXIOMA 3 En cada plano existen subconjuntos estrictos, llamados rectas, cada uno de los cuales tiene infinitos puntos. AXIOMA 4 DETERMINACIÓN DE UNA RECTA. Dados dos puntos distintos, existe y es única la recta a la cual pertenecen. AXIOMA 5 DETERMINACIÓN DE UN PLANO. Dados tres puntos no alineados, existe y es único el plano al cual pertenecen. AXIOMA 6 Si dos puntos distintos de una recta pertenecen a un plano, la recta está contenida en él. DEFINICIONES. Familia de rectas, es el conjunto de todas las rectas del espacio, R. Familia de rectas de π, es el conjunto de todas las rectas contenidas en el plano π, R π. Rectas coplanares: Dos rectas contenidas en un plano, se llaman coplanares. 2.2 SEGUNDA DETERMINACIÓN DEL PLANO Una recta y un punto que no pertenece a ella, determinan un plano que los contiene. ( H ) P r ( T ) α / P α r α. α es único Por el axioma 3, en ( r ) existen infinitos puntos, consideremos dos: A y B. P r y A, B r entonces A, B y P no están alineados, por el axioma 5 determinan un plano α tal que A, B, P α. A, B r r α (Por el axioma 6) A, B α

3 Hemos probado que existe un plano α tal que P α y r α, para demostrar que es único, razonemos por el método de reducción al absurdo suponiendo que además de α en esas condiciones, existe β α tal que P β y r β r β y A, B r A, B β por lo que A, B, P β (1) además A, B, P α (2) Dado que β α (1) y (2) contradicen el axioma 5. Llegamos a una contradicción por suponer que α no es único por lo que el teorema queda demostrado. 2.3 TERCERA DETERMINACIÓN DEL PLANO Dos rectas distintas que tienen un punto común, determinan un plano que los contiene. ( H ) r s = { O } ( T ) α / r α s α α es único Demostrar este teorema utilizando un procedimiento similar al de la justificación del item POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS TEOREMA Existen en E rectas no coplanares. x Q x P α r Dado el plano α de la figura, sea r una recta contenida en él, P un punto perteneciente a α pero no perteneciente a r y Q un punto no perteneciente a α. Demostrar que las rectas PQ y r son disjuntas y no coplanares. TEOREMA Dadas dos rectas, contenidas en un plano π, se cumple una y sólo una de las siguientes posibilidades: 1) son la misma recta. 2) su intersección es un conjunto unitario. 3) son rectas disjuntas. r, s R π P / P r P s Q / Q P Q r Q s r = s Q / Q P Q r Q s r s = {P} P / P r P s r s = φ

4 DEFINICIONES. RECTAS COINCIDENTES: Dos rectas son COINCIDENTES si todos sus puntos son comunes. RECTAS SECANTES: Dos rectas son SECANTES si tienen un sólo punto común. RECTAS QUE SE CRUZAN (ALABEADAS): Dos rectas se cruzan si no son coplanares. RECTAS PARALELAS: Dos rectas son PARALELAS si y sólo si, son coplanares y no son secantes. α / r α s α r s = φ Paralelas disjuntas r // s r = s Paralelas coincidentes OBSERVACIONES: 1) Dos rectas secantes, son coplanares. 2) Dos rectas que se cruzan, son disjuntas. 3) Si dos rectas coplanares no son secantes, son paralelas. 4) Si dos rectas son distintas, a lo sumo tienen un punto común. 5) Si dos rectas distintas tienen un punto común, son secantes. TEOREMAS: Para todo punto existen en un plano infinitas rectas a las que pertenece dicho punto. Para toda recta existen infinitos planos que pasan por dicha recta. CONSECUENCIA En el espacio existen infinitos planos y en cada plano, infinitas rectas INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS TEOREMA Si dos planos distintos tienen dos puntos distintos comunes, su intersección es la recta que esos puntos determinan. H) α β T) α β= r β A B AB = r A, B α, A, B β B A α r Por H) : A B, AB = r r α A, B α ax. 6 1) def. int. e inc. Por H) : A B, AB = r r β A, B β ax. 6 2) r α β (#) Debemos demostrar que todo punto de la intersección de los planos pertenece a la recta: por reducción al absurdo suponemos que P/P α β P r 3) 4)

5 Por : 4) P r 3) P 1) r α 3) P 2) r α β β teo. 2.2 α=β Por H) α β absurdo r α β (*) Por definición de igualdad de conjuntos, de (#) y (*) se deduce: r = α β 3 ORDEN EN LAS RECTAS. AXIOMA 7 1 En toda recta está definida una relación de ORDEN TOTAL AMPLIO. 2 Una recta no tiene primer ni último punto. 3 Para todo par de puntos de una recta, existe otro punto de ella entre ambos. NOTACIÓN: A B se lee A precede o coincide con B DEFINICIÓN: A B A B A B A B se lee A precede estrictamente a B El axioma 7, establece que: 1 r R : r r cumple las propiedades: a) idéntica A r A A b) antisimétrica A B B A Α = Β c) transitiva A B B C A C d) de orden total A, B r A B B A 2 A r P r / P A A r Q r / A Q 3 A, B r A B P r / A P P B (P está entre A y B) A, B r B A P r / B P P A (P está entre B y A) RECTA ORIENTADA es toda recta provista de un orden. Indicamos que está orientada nombrando dos de sus puntos X en el orden considerado. X Y r Y Si leemos: recta orientada XY, se entiende que X Y. En virtud de este axioma, dados dos puntos X e Y, uno de ellos precede al otro en la recta orientada a la cual pertenecen.

6 DEFINICIONES: A B B A A B se lee A sigue a o coincide con B A B B A A B se lee A sigue estrictamente a B OBSERVACIONES: 1) La relación también es un orden total amplio en toda recta r. 2) El axioma de orden en la recta afirma que en toda recta hay dos órdenes o sentidos, uno opuesto del otro y ninguno de ellos está en situación privilegiada respecto del otro. DEFINICIÓN: SEMIRRECTA: Dados A y B tales que A B, AB = { X / X r X A } Escribir las definiciones de: SEMIRRECTAS OPUESTAS PUNTOS INTERIORES RECTA SOPORTE o SOSTEN SEMIRRECTA ABIERTA SEGMENTO AB PUNTOS INTERIORES SEGMENTO NULO SEGMENTO ABIERTO Y SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA O POR LA DERECHA. DEFINICIONES: FIGURA es todo subconjunto del espacio. FIGURA CONVEXA es toda figura para la cual todo par de puntos pertenecientes a ella determinan un segmento incluido en ella. TEOREMA: La intersección de dos figura convexas, es una figura convexa. ( H ) F y G son dos figuras convexas ( T ) F G es una figura convexa Consideremos dos puntos A y B cualesquiera, pertenecientes a F G A F A F G además B F G A G B F B G A F, B F y F es convexa el segmento AB está contenido en forma amplia en F A G, B G y G es convexa el segmento AB está contenido en forma amplia en G el segmento AB está contenido en forma amplia en F G. Hemos probado que si A y B son dos puntos cualesquiera, pertenecientes a F G, entonces el segmento AB está contenido en forma amplia en F G, por lo cual se cumple la tesis.

7 4 PARTICIÓN DEL PLANO. 5 PARTICIÓN DEL ESPACIO. AXIOMA 8: Para toda recta r R π, existen en el plano π dos únicos conjuntos ϕ y ϕ que cumplen: a) {r, ϕ, ϕ } es una partición del plano π. b) ϕ y ϕ son convexos. c) para todo punto de ϕ y para todo punto de ϕ, existe en el segmento que determinan un único punto que también pertenece a la recta r. OBSERVACIONES: 1) Se dice que r SEPARA a un par de puntos cuando uno de ellos pertenece a ϕ y el otro a ϕ. 2) Si r separa a un par de puntos A y B por el axioma 8 c, existe en el segmento AB un punto I que también pertenece a r, por lo que: A ϕ Β ϕ I r r ϕ = φ r ϕ = φ Ι A Ι B I es interior al segmento AB. DEFINICIONES: SEMIPLANO ABIERTO DE BORDE r. Cada uno de los subconjuntos ϕ y ϕ mencionados en el axioma 8 se llama semiplano abierto de borde r. SEMIPLANO DE BORDE r (SEMIPLANO CERRADO). Los conjuntos ϕ r y ϕ r se llaman semiplanos de borde r. NOTACIÓN: {r, ϕ, ϕ } es una partición del plano, P ϕ r ϕ = r, P se lee semiplano de borde r al que pertenece P. Los puntos pertenecientes a ϕ se llaman puntos interiores al semiplano r, P. Toda recta incluida en un plano π determina dos semiplanos. Se dice que cada uno es el semiplano opuesto al otro. AXIOMA 9: Para todo plano π, existen en el espacio E dos únicos conjuntos γ y γ que cumplen: a) {π, γ, γ } es una partición del espacio E. b) γ y γ son convexos. c) para todo punto de γ y para todo punto de γ, existe en el segmento que determinan un único punto que también pertenece al plano π. OBSERVACIONES: 1) Se dice que π SEPARA a un par de puntos cuando uno de ellos pertenece a γ y el otro a γ. 2) Si π separa a un par de puntos A y B por el axioma 9 c, existe en el segmento AB un punto I que también pertenece a π, por lo que: DEFINICIONES: SEMIESPACIO ABIERTO DE BORDE π. Cada uno de los subconjuntos γ y γ mencionados en el axioma 9 se llama semiespacio abierto de borde π. SEMIESPACIO DE BORDE π (SEMIESPACIO CERRADO). Los conjuntos γ π y γ π se llaman semiespacios de borde π. NOTACIÓN: {π, γ, γ } es una partición del espacio, P γ π γ = π, P se lee semiespacio de borde π al que pertenece P. Los puntos pertenecientes a γ se llaman puntos interiores al semiespacio π,p. Todo plano determina dos semiespacios. Se dice que cada uno es el semiespacio opuesto al otro.

8 TEOREMAS. Consecuencias del Axioma de partición del plano: 1) El segmento determinado por dos puntos de un mismo semiplano abierto, es disjunto con el borde del mismo. 2) Dada una recta r, si un segmento del plano es disjunto con ella, entonces sus extremos pertenecen a un mismo semiplano abierto con borde en r. 3) Dado un segmento, si uno y sólo uno de sus puntos interiores pertenece a una recta r, entonces sus extremos pertenecen a distintos semiplanos abiertos con borde r. TEOREMA: Si {r, ϕ, ϕ } es una partición del plano, P ϕ y S = { X / X r XP r = φ}, entonces S = r, P OTRA DEFINICIÓN DE SEMIPLANO: r,p = {X / X r XP r = φ} TEOREMA: La caracterización de un semiplano es independiente del punto interior utilizado. ( H ) {r, ϕ, ϕ } es una partición del plano, A B, A, B ϕ ( T ) r,a = r,b TEOREMA: Todo semiplano cerrado es una figura convexa. ( H ) {r, ϕ, ϕ } es una partición del plano. ( T ) r ϕ es una figura convexa. TEOREMA DE PASCH: Dados en un plano una recta y tres puntos que no le pertenecen, si la recta es secante con uno de los tres segmentos que los puntos determinan, entonces también es secante con otro pero no lo es con el tercero. COROLARIO: Si en un plano una recta es disjunta con dos de los segmentos que tres puntos determinan, también es disjunta con el tercero. TEOREMAS. Consecuencias del Axioma de partición del espacio: 1) 2) 3) TEOREMA: OTRA DEFINICIÓN DE SEMIESPACIO: TEOREMA: TEOREMA: TEOREMA DE PASCH: Dado un plano y tres puntos que no le pertenecen, si el plano es secante con uno de los tres segmentos que los puntos determinan, entonces también es secante con otro pero no lo es con el tercero. COROLARIO: Si un plano es disjunto con dos de los segmentos que tres puntos determinan, también es disjunto con el tercero.

9 TEOREMA Si dos planos distintos tienen un punto común, su intersección es una recta que pasa por ese punto. H) α β T) r/a r r= A B A α,a β β s P B Por un punto, en un plano, existen infinitas rectas, entonces en β existe una recta s por A. Considerando la recta s y el plano α se presentan dos casos: α A s α s = α β I) Como s β y por H) α β teo. 2.5 A s Q J II) s α Como A s P,Q / P,Q s, Q op AP, Q A ax. 7 De modo que: PQ s, s α { A} = PQ α? A PQ, A α Por el ax. 3, las rectas son subconjuntos estrictos de los planos, como s β B β B s Considerando el punto B y el plano α, se presentan dos casos: i) B α Como B β Por H) : A α, A β, α β Como B s y A s A B teo. 2.5 AB = α β A AB B α ii) { A} = PQ α BP o BQ corta al α teo. de Pasch P,Q α Sea, por ejemplo, el segmento BQ el que corta al α J α J/ {} J = BQ α, pero como BQ β J β J BQ Como B s, Q s, J int erior a BQ J s A J Pero A s De modo que los planos distintos α y β tienen dos puntos comunes (A y J), entonces por el teorema 2.5 AJ =α β A AJ

10 6 ÁNGULOS. DEFINICIONES: Angulo convexo AOB: Si A, O y B son tres puntos no alineados, se llama ángulo convexo AOB a la intersección de los semiplanos OA,B y OB,A. Las semirrectas OA y OB se llaman lados y el punto O, vértice. Punto interior a un ángulo convexo: Es todo punto del ángulo convexo, no perteneciente a sus lados. Rayo interior a un ángulo convexo: Es toda semirrecta con origen en el vértice y a la cual pertenece un punto interior. Ángulo cóncavo AOB: Es el conjunto de los puntos del plano AOB, no interiores al ángulo convexo AOB. Ángulo llano: Es cada uno de los semiplanos determinados por una semirrecta y su opuesta. Estas semirrectas son sus lados. Ángulo nulo: Es una semirrecta, que es considerada como lados coincidentes del ángulo. Ángulos consecutivos: 7 ÁNGULOS DIEDROS. DEFINICIONES: Angulo diedro convexo αaβ: Si aα y aβ son dos semiplanos no opuestos ni coincidentes, se llama ángulo diedro convexo αaβ a la intersección de los semiespacios aα que contiene a aβ y aβ que contiene a aα. Los semiplanos aα y aβ se llaman caras y la recta a, arista. Punto interior a un ángulo diedro convexo: Es todo punto del ángulo diedro convexo, no perteneciente a sus caras. Ángulo diedro cóncavo αaβ: Es el con-junto de los puntos, no interiores al ángulo diedro convexo αaβ. Ángulo diedro llano: Ángulo diedro nulo: Ángulos diedros consecutivos: Ángulos adyacentes: Ángulos diedros adyacentes: Ángulos opuestos por el vértice: Ángulos diedros opuestos por el vértice: TEOREMA DEL RAYO INTERIOR Todo rayo interior a un ángulo convexo, interseca en un punto a cualquier segmento cuyos extremos pertenezcan a lados distintos del ángulo.

11 8 TRIÁNGULOS. Si A, B y C son tres puntos no alineados, se llama triángulo ABC a la _ de los semiplanos. A, B y C son los _ del triángulo. Los segmentos AB, BC y CA son los _. Puntos interiores, son los puntos del triángulo,. Puntos exteriores, son los puntos del plano, no _. 9 ÁNGULOS TRIEDROS. Si Oa, Ob y Oc son tres semirrectas no coplanares, se llama triedro abc a la _ de los semiespacios. O se llama _ del triedro. Las semirrectas Oa, Ob y Oc son las _ y los ángulos aob, boc y coa son las _. Puntos interiores, son los puntos del triedro,. Puntos exteriores, son los puntos del plano, no _. Contorno del triángulo, es el conjunto de los puntos perteneciente a _. ABC, BCA y CAB son los ángulos internos del triángulo. Los adyacentes a los internos se llaman ángulos del triángulo. Los diedros de caras a(b) y a(c); b(a) y b(c); c(a) y c(b) son los diedros internos del triedro. Los adyacentes a los internos se llaman diedros del triedro. 10 POLÍGONOS CONVEXOS. Dados n puntos A 1, A 2, A 3,... A n ordenados del plano tales que tres consecutivos no estén alineados y las rectas determinadas por dos consecutivos dejen a los restantes en un mismo semiplano, se llama polígono convexo A 1 A 2 A 3... A n a la _ de estos semiplanos. Los puntos A 1, A 2, A 3,..... A n son los del polígono. Los segmentos determinados por vértices consecutivos se llaman. 11 ÁNGULOS POLIEDROS CONVEXOS. Dadas n semirrectas Oa 1, Oa 2, Oa 3,... Oa n ordenadas tales que tres consecutivas no sean coplanares y los planos deter-minados por dos consecutivas dejen a las restantes en un mismo semiespacio, se llama ángulo poliedro convexo a 1 a 2... a n a la _ de estos semiespacios. Las semirrectas Oa 1, Oa 2, Oa 3,..... Oa n son las _ del ángulo poliedro convexo. Los ángulos convexos determinados por aristas consecutivas se llaman _. Los segmentos determinados por dos vértices no consecutivos se llaman diagonales.

12 Problema: Obtener una fómula que permita calcular el número de diagonales de un polígono convexo de n vértices. Puntos interiores, son los puntos. Puntos exteriores, son los puntos del plano, no _. Contorno del polígono convexo, es el conjunto de los puntos perteneciente a. A n A 1 A 2, A 1 A 2 A 3, A 2 A 3 A 4,... son los ángulos internos del polígono convexo. Los adyacentes a los internos se llaman ángulos del polígono convexo. Se llaman polígonos regulares a los polígonos convexos que tienen. 12 SUPERFICIE POLIÉDRICA. POLIEDRO CONVEXO. Se llama superficie poliédrica a la unión de un número finito de polígonos, llamados caras de la superficie, que cumplen las siguientes condiciones: 1 Cada lado de una cara pertenece también a otra y sólo a otra. Ambas caras se llaman contiguas. 2 Dos caras contiguas están contenidas en planos distintos. La superficie poliédrica se llama convexa si cada cara deja a las restantes en un mismo semiespacio. Poliedro convexo es la intersección de todos estos semiespacios. Los vértices y lados de las caras se llaman vértices y aristas del poliedro. Se llaman poliedros regulares a los poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices concurren el mismo número de ellas.

13 PROBLEMAS I) Pueden estar cuatro puntos alineados? Tienen que estar alineados dos puntos? Tienen que ser coplanares cuatro puntos? Pueden ser coplanares n puntos? II) A partir de la figura tridimensional representada indicar si los siguientes conjuntos {A,B,C,D}, {P,B,C}, {A,D,Q}, {A,B,C,Q}, {P,D,Q}, {D,B,C,Q} cumplen alguna de las afirmaciones: 1) están alineados; 2) no están alineados pero son coplanares; 3) no son coplanares. A D Q P B C III) Pueden tres rectas de un plano separarlo en tres regiones?, en cuatro?, en cinco?, en seis?, y en siete? IV) Analizar el valor de verdad de las siguientes proposiciones y justificar. 1) H) A, B y C puntos distintos T) A, B y C determinan un plano 2) H) r es paralela a α T) r y s son cruzadas s no es paralela a α 3) H) r α, β α=, b β T) r y b son secantes 4) H) α β= i,a α A i,b β B i T) AB no es paralela a i. V) Construye la figura correspondiente a cada enunciado: 1) α y β son planos secantes según una recta r; s y t son rectas contenidas respectivamente en α y β. s y t se cortan en A. 2) r y s son rectas secantes de un plano α y A es un punto exterior a α. t es la intersección de los planos (A,r) y (A,s). 3) α y β son dos planos secantes según una recta r; s y t son rectas secantes del plano α. s y t cortan a β en A y B. VI) ABCDEFGH es un cubo de centro O. Se consideran: M punto medio del segmento AC, N punto medio del segmento EG y los planos α = (BDH), β = (ACG). 1) Indicar la posición relativa de la recta AO respecto de las siguientes rectas: a) EC b) NG c) BC d) HF e) MC. 2) Idem 1) de la recta MN respecto de: a) BF b) FH c) AB d) FD e) CG. En los casos de rectas secantes determinar punto de intersección y plano determinado, en los casos de rectas paralelas indicar el plano que las contiene. VII) Se consideran las rectas a y b no coplanares y los puntos A tal que A a y B tal que B b. Hallar la intersección de los planos α = (b,a) y β = (a,b). VIII) Sea ABCD un tetraedro cualquiera y M un punto del segmento AC. Analiza el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: 1) El punto A pertenece a la intersección de los planos (BMC) y (CMD). 2) Las rectas BM y CD son paralelas. 3) Los planos (MAB) y (BCD) se cortan según la recta BC. 4) Las rectas DM y AB son secantes. IX) ABCD es un tetraedro cualquiera, E un punto del segmento AB y F un punto del segmento CD. Hallar la intersección de los planos (ABF) y (CDE).

14 X) Sobre la arista AB de un tetraedro ABCD se considera un punto M y en el plano (BCD) una recta r que no corta a los lados del triángulo BCD. Trazar la sección del tetraedro con el plano (M, r). XI) ABCDEF es un prisma. P es un punto de la cara BCFE y Q un punto de la cara ABED. Construye la intersección de la recta PQ y el plano (ABC). D F Q E P A C B XII) ABCDEFGH es un cubo, M es un punto del segmento EH y N es un punto de la cara BCGF. Construye la intersección de la recta MN con el plano (ADC). XIII) Sean M, N y P los puntos medios de tres aristas de un cubo. Estudia la sección plana del plano (MNP) con el cubo discutiendo según la posición de M, N y P. XIV) ABCDEFGH es un prisma recto tal que su cara ABCD está contenida en un plano α. AE = a, AB = 4a y AD = 3a. K EF de modo que EK = a y L GF siendo GL = a. M es el punto medio de BF y β = (KLM). a) Determinar KM α y α β. b) Construir en verdadera magnitud la sección del prisma con β. c) Calcular, en función de a, el perímetro de la sección construida. XV) ABCDE es una pirámide de base cuadrada ABCD cuyo lado mide a y tal que las aristas AE, BE, CE y DE miden 2a. M es el punto medio AE, P un punto de BE tal que BP = BE, Q de CE tal que CQ = CE y β = (MPQ). 1 Determinar: a) la intersección de los planos (ABC) y β. b) CD β. c) la sección de la pirámide con β. 2 Construir en verdadera magnitud la sección determinada en la parte anterior. XVI) Teorema de Euler. Qué relación se puede establecer, en todo poliedro convexo, entre el número c de caras, el número v de vértices y el número a de aristas?