Material educativo. Uso no comercial CAPÍTULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y AXIOMAS DE ORDEN. Introducción. Objetivos Específicos.

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1 CAPÍTULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y AXIOMAS DE ORDEN Introducción Presento los elementos geométricos que enmarcan específicamente la Geometría Euclidiana en su desarrollo como una teoría Axiomática deductiva. Se indican explícitamente los términos y las relaciones primitivas, y los dos primeros grupos de Axiomas que surgen para expresar los primeros resultados en términos de las relaciones primitivas de pertenencia para el primer grupo y la relación estar entre para el segundo. Puede observarse como surgen de una manera natural las definiciones para caracterizar las propiedades establecidas en los Axiomas y para darle nombre a los conjuntos nuevos que se originan siempre en la función de símbolos abreviadores para facilitar el manejo y comprensión de la teoría. Prevalece a partir de este punto la dualidad permanente y característica del método: la definición y la demostración. Objetivos Específicos. 1. Presentar las primeras relaciones entre los términos primitivos: punto, recta, plano y espacio y caracterizar los tres últimos como conjuntos. 2. Diferenciar claramente la relación de inclusión como una relación definida y como se cumple en la práctica entre los conjuntos definidos. 3. Precisar la definición de figura geométrica como una noción generalizadora y determinante en la orientación de toda la teoría. Lo propio con las notaciones de cada conjunto definido. 4. Establecer en particular como la relación estar entre, permite relacionar todos los puntos de una misma recta con respecto a un punto cualquiera de ella, surgiendo así el conjunto correspondiente a la semirrecta. En forma análoga como toda recta contenida en un plano relaciona los demás puntos de ese plano, surgiendo el

2 conjunto designado como semiplano y finalmente como todo plano separa el espacio generando el conjunto designado como semiespacio. 5. Caracterizar el segmento y los conjuntos asociados y como este conjunto permite introducir la primera clasificación entre las figuras como convexas y cóncavas. 6. Definir una de las figuras primordiales y otros conjuntos asociados a él como es el ángulo y una primera clasificación que surge de la misma definición, y que corresponde a los ángulos llano y nulo respectivamente. 7. Analizar detalladamente los contenidos, la estructura lógica y el alcance en la teoría que apenas se inicia de los teoremas, señalando como algunas proposiciones que intuitivamente podrían creerse que deberían ser Axiomas se demuestran como teoremas. Se destaca inicialmente la importancia que tendrá en adelante el Teorema de la Barra transversal. En este capítulo, comienzo dando los términos y relaciones primitivas de la geometría, y su conexión por medio de los axiomas. A medida que se van presentando los axiomas, se deducen los teoremas que se desprenden de ellos, como también las definiciones necesarias para caracterizar los nuevos objetos. En la formulación que adelantaré, asumiré el manejo de la lógica y de la teoría de conjuntos, aunque en algunos puntos haré hincapié en el proceso lógico de las demostraciones.

3 2.1 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS Términos primitivos: Punto, recta, plano, espacio Relaciones primitivas: Estar en (pertenencia), estar entre, congruente. Estos términos y relaciones primitivas, se pueden relacionar mediante enunciados tales como: El punto A está en la recta l. El punto B está entre los puntos A y C en la recta l Axiomas: Los axiomas se dividen en cinco grupos a saber: Grupo I. Grupo II: Axiomas de incidencia. Axiomas de orden. Grupo III. Axiomas de congruencia. Grupo IV. Axiomas de continuidad. Grupo V. Axiomas de paralelismo.

4 2.2 GRUPO I. AXIOMAS DE INCIDENCIA. I.1 Dos puntos distintos determinan una recta y solo una a la cual pertenecen. Por un punto pasa por lo menos una recta. (Se identifican dos proposiciones distintas en este axioma). I.2 A toda recta pertenecen al menos dos puntos distintos. I.3 Dada una recta, existe al menos un punto del espacio que no está en la recta. Definición 1. Puntos colineales son aquellos que están en una misma recta. I.4 Tres puntos que no están en una misma recta, determinan un plano y solo uno al cual pertenecen. I.5 A todo plano pertenecen al menos tres puntos no colineales. I.6 Si dos puntos de una recta están en un plano, la recta está contenida en el plano. I.7 Si dos planos diferentes se cortan, su intersección es una recta. Observación. El axioma I.7 establece que si dos planos tienen un punto en común, tiene un segundo punto en común y en consecuencia, una recta común. I.8 Dado un plano, existe por lo menos un punto del espacio que no está en el plano. Definición 2. Puntos coplanares son aquellos que están en un mismo plano. Notación.

5 i. Para designar puntos, utilizaremos letras latinas mayúsculas individuales. ii. Para A, B puntos distintos, notaremos por AB ó BA la recta a la cual pertenecen estos puntos, ó también por letras minúsculas latinas individuales. Así, por ejemplo, nos referimos a la recta AB ó la recta l. (Ver figura 5). TEOREMA 1. Figura 5 Si dos rectas diferentes se intersectan, su intersección es solo un punto. Demostración. Sean l y m dos rectas diferentes que se cortan. (Razonemos por reducción al absurdo). Supongamos que las rectas se cortan en dos puntos distintos A y B, por el axioma I.1 por los puntos A y B pasa una recta única. Luego, l y m son la misma recta. Contradicción, ya que l y m son rectas diferentes. TEOREMA 2. Figura 6 Si dos rectas diferentes se intersectan, existe un plano único que las contiene. Demostración.

6 Sean l y m dos rectas diferentes con intersección no vacía. Sea A el punto de intersección (teorema 1). Por el axioma I.2 existe otro punto B diferente de A en l y otro punto C diferente de A en m. Por el teorema 1, A, B, C son no colineales ya que B no está en la recta m y C no está en la recta l. Entonces por el axioma I.4 A, B, C determinan un plano único. Por el axioma I.6 las rectas l y m están contenidas en ese plano. Este es el único plano que contiene a ambas. Si existiera otro, A, B y C estarían en él. Contradicción con el axioma I.4. Figura 7 TEOREMA 3. Si l es una recta y A un punto que no pertenece a ella, existe un plano único que contiene a la recta y al cual el punto pertenece. Demostración. Por el axioma I.2 la recta l tiene al menos dos puntos diferentes B y C. Por el axioma I.4 los tres puntos son no colineales A, B y C determinan un plano único. A está en ese plano y por el axioma I.6 la recta l está contenida en el plano. Figura 8

7 Este plano es único, si no, los tres puntos A, B y C estarían en otro plano. Contradicción con el axioma I.4.

8 2.3 GRUPO II. AXIOMAS DE ORDEN. Intuitivamente en Geometría, el orden establece la forma como se relacionan tres puntos distintos pertenecientes a una misma recta, esta relación es la que hemos denominado dentro de las relaciones primitivas, estar entre. Nos indica también a su vez como se relacionan los puntos de un mismo plano con respecto a una recta contenida en dicho plano y finalmente como se relacionan los puntos en el espacio con respecto a cualquier plano contenido en éste. II.1 Si el punto B se encuentra entre el punto A y el punto C, entonces A, B y C son puntos diferentes de una misma recta, y B se encuentra así mismo, entre C y A. (Ver figura 9). Figura 9 Convención: Si B está entre el punto A y el punto C lo notamos A-B-C ó C-B-A. II.2 Dados dos puntos distintos A y C, existe al menos un punto B sobre AC, tal que B está entre A y C. (Ver figura 10). Figura 10 II.3 Dados dos puntos distintos A y C, existe al menos un punto D sobre AC, tal que C está entre A y D. (Ver figura 11). Figura 11 II.4 Dados tres puntos distintos de una recta, uno y solo uno de ellos está entre los otros dos. Observación. El axioma II.4, establece que por ejemplo, si A está entre B y C entonces B no está entre A y C y, C no está entre A y B.

9 Definición 3. Sea A y B dos puntos. Al conjunto formado por A y B y todos los puntos entre A y B se le llama segmento AB y se nota AB ó BA. A y B se llaman extremos del segmento y se dice que ellos determinan al segmento. Los puntos que están entre A y B se llaman puntos interiores del segmento AB. Los demás puntos de AB se llaman puntos exteriores. En consecuencia: AB = {A, B} { x x es un punto que esta entre A y B}. Los puntos interiores a AB lo denotamos por Int AB ; por tanto IntAB x es un puntoque está entrea y B. Si A y B representan el mismo punto diremos x que AB es un segmento nulo. II.5 Si D está entre A y C y X está entre D y C, entonces X está entre A y C. (Ver figura 12). Observación. Figura 12 De los axiomas II.2 y II.5 se sigue que un segmento no nulo tiene infinitos puntos, y lo propio para una recta teniendo en cuenta además el axioma II.3. Definición 4. Un conjunto no vació de puntos se denomina figura. Definición 5. Diremos que una figura es convexa, si dados dos puntos cualesquiera de ella, el segmento determinado por estos puntos, está contenido en la figura. En caso de no cumplirse el enunciado, diremos que la figura es no convexa o cóncava. (Ver figuras 13 y 14).

10 Figura 13 Figura convexa TEOREMA 4. Figura 14 Figura no convexa La intersección no vacía de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo. Demostración. Sean A y B conjuntos convexos. Sean X, Y A B. Probemos que XY A B. Sea Z XY ; esto es: Z es X ó Z es Y ó Z está entre X y Y. Si Z es X ó Z es Y entonces Z A B. Si Z está entre X y Y, como X, Y A B, X, Y A luego XY A ya que A es convexo; en consecuencia Z A. En forma análoga podemos concluir que Z B. Luego Z A B; por tanto XY A B. Observación. La unión de dos conjuntos convexos, no necesariamente es un conjunto convexo. Veamos un contraejemplo. Sean A, B, C, D cuatro puntos distintos sobre una recta l; tales que: AB CD (Ver figura 15). B, C AB CD y BC AB CD. Luego AB CD es no convexo.

11 Figura 15 Definición 6. Sea O un punto de la recta l, A, B otros dos puntos diferentes de la misma. Si O no está entre A y B, diremos que los puntos A y B están sobre l a un mismo lado del punto O. Si O está entre A y B diremos que los puntos A y B están sobre la recta l en lados diferentes con respecto al punto O. (Ver Figuras 16 y 17). Figura 16 Figura 17 II.6 Axioma de separación de la recta. Un punto O de una recta l divide a todos los demás puntos de ésta en dos conjuntos no vacíos, de modo que dos puntos cualesquiera de l pertenecientes al mismo conjunto están a un mismo lado O, mientras que dos puntos pertenecientes a distintos conjuntos se encuentran en lados diferentes respecto al O. Ilustración: (Ver Figura 18). i. A, B están a un mismo lado de O. C, D están en un mismo lado de O. ii. B, C están en lados diferentes de O. Lo propio para: A y C; A y D; B y D. iii. A y B pertenecen a un conjunto distinto al conjunto que contiene a C y D. Figura 18 Definición 7. Decimos que un punto O de una recta l, conjuntamente con algún otro punto A de la misma, determinan la semirrecta OA, que notaremos OA; los puntos que están del mismo

12 lado que A con respecto a O incluyendo además el punto A, se llaman puntos de la semirrecta OA. (Ver Figura 19). Figura 19 En consecuencia: OA x es un puntoque está entreo y A A x es un puntoque está entreo y Xx} x Observaciones. i. El axioma 2.6 nos permite, dada la recta l, O y A puntos distintos, establecer una partición de la recta en tres conjuntos convexos y disjuntos así: (Ver Figura 20). l O OA x está entre A y X O Figura 20 ii. Si O, A, B son puntos de una recta y O está entre A y B diremos que OA y OB son semirrectas opuesta. (Ver Figura 21). Figura 21 iii. Definimos el rayo OA y lo notamos OA = {O} OA II.7 Axioma de separación del plano. Cada recta l contenido en un plano Π, divide los puntos de este plano que no le pertenecen, en dos conjuntos no vacíos, de manera tal que dos puntos cualesquiera A y A de conjuntos diferentes determinan un segmento AA que contienen algún punto de la recta l, mientras que dos puntos arbitrarios A y A de un mismo conjunto determinan un segmento AA, dentro del cual no hay ningún punto de l. (Ver figura 22). A x}

13 Observaciones. Figura 22 i. Dados: AB Π, Q Π; Q AB entonces el axioma II.7 nos permite definir dos conjuntos no vacíos que denominaremos semiplanos y que notaremos así: (Ver figura 22a). Π AB Π AB : Q o AB Q y que leeremos: Semiplano de borde AB y que contiene al punto Q. : Q o AB ~Q y que leeremos: Semiplano de borde AB y que no contiene al punto Q. ii. Con las condiciones establecidas en i. el axioma II.7 nos permite establecer una partición del plano Π en tres conjuntos convexos y disjuntos así: Π = Π AB : Q AB Π AB : ~Q ó Π = AB Q AB AB ~Q Figura 22a. II.8.Axioma de separación del espacio.

14 Todo plano Π divide los puntos del espacio que no le pertenecen en dos conjuntos no vacíos, de manera tal que dos puntos cualesquiera A y B de conjuntos diferentes, determinan un segmento AB dentro del cual hay algún punto del plano Π, mientras que dos puntos cualesquiera A y A de un mismo conjunto, determinan un segmento AA dentro del cual no hay puntos comunes con el plano Π. Observaciones. i. Los conjuntos definidos por el axioma II.8 se denominan semiespacios y los notamos E π: A y E π: ~A ; que se leen respectivamente semiespacio de borde en el plano π al cual el punto A pertenece y semiespacio de borde en el plano π al cual el punto A no pertenece. ii. El axioma II.8 establece una partición del espacio en tres conjuntos convexos y disjuntos. Definición 8. El conjunto formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen, incluyendo este punto, se llama ángulo. Si las dos semirrectas coinciden, entonces el ángulo que determinan se llama nulo. Si las dos semirrectas son opuestas, el ángulo se llama llano. Notación. Si OA y OB son dos semirrectas distintas, entonces el ángulo que forman se denotará por cualquiera de los símbolos: OA, OB ó OB, OA (Ver Figura 23). En consecuencia,. AOB ˆ ó BO ˆ A ; AOB ó BOA AO ˆ B =OA OB {O}

15 OA y OB se denominan lados del ángulo. O se denomina vértice del ángulo. Definición 9. Figura 23 Un ángulo no-nulo y no-llano divide a los demás puntos del plano que lo contiene, en dos regiones de tal manera que en una y sólo una de las regiones, cualesquiera dos puntos siempre pueden unirse por un segmento que no intersecta el ángulo. La región que posee esta propiedad se llama interior del ángulo y la otra región se llama exterior del ángulo. (Ver Figura 24). Observaciones. Figura 24 i. De acuerdo con la definición 9, podemos concluir que el interior del ángulo es un ii. El interior de conjunto convexo. iii. B A AO ˆ B lo notaremos: IntAOB ˆ. Int AÔB OA OB. iv. Ext(AO B) = π A,O,B (Int (AO B) (AO B))

16 TEOREMA 5. Si P es un punto sobre la recta l y Q es un punto que no está en dicha recta, entonces la semirrecta PQ está contenida en Πl : Q. (Ver figura 25). Figura 25 Demostración. Sea Π el plano determinado por l y Q y sea T un punto de la semirrecta PQ distinto de P y Q. Claramente T es un punto del plano Π. Veamos que T está en el semiplanoπ l : Q. Razonando por reducción al absurdo: Supongamos que T está en el semiplanoπ l ~Q. Por consiguiente la recta TQ pasa por el punto P de l; tal que P está entre T y Q (Axioma de separación del plano) y como además T está en la recta PQ, entonces las rectas PQ y TQ coinciden y por lo tanto, P y P son el mismo punto; de lo cual se sigue que P está entre T y Q, o sea que T no está en la semirrecta PQ en contradicción con el supuesto inicial. Lo anterior nos permite concluir que T está en el semiplano Π l : Q como se quería demostrar. COROLARIO. La semirrecta que tiene su origen en el vértice de un ángulo no nulo y un punto en el interior de dicho ángulo, está contenida en el interior del ángulo. (Ver figura 26).

17 Demostración. Sea D Int AOB ˆ. Figura 26 Veamos que la semirrecta OD está contenida en AOB Int ˆ. Está claro por la hipótesis que D es un punto del semiplano Π OA : B. y también, es un punto del semiplano Π OB : A. Por el Teorema 5 la semirrecta OD está contenida enπ OB : A; esto es OD está contenida en Int AOB ˆ. TEOREMA 6. Dado el ángulo no nulo y no llano BAC ˆ, los puntos interiores del segmento BC están en el interior de dicho ángulo. (Ver Figura 27) Figura 27 Demostración. Supongamos que D es un punto del interior CB.

18 Vamos a demostrar que D es un punto interior al ángulo BA ˆ C. De la hipótesis tenemos que D está entre B y C; por lo tanto, estos dos puntos están en lados distintos respecto a D y en consecuencia C BD. Afirmamos que BD AC =, puesto que BD BC y BC AC C, y como C BD queda sustentado lo afirmado. Por tanto: BD Π AC : B 1. De la hipótesis también se infiere que B DC y afirmamos que DC AB, puesto que DC BC y BC AB B ; pero B DC De 1 y ángulo BA ˆ C. Demostración. BD Π AC. En consecuencia: 2. : C 2 podemos concluir que D ε Π AC : C Π AC : B esto es: D pertenece al interior del TEOREMA 7. Sea BAC ˆ un ángulo no nulo y no llano; D un punto interior a dicho ángulo. Si F es un punto tal que A está entre F y C, entonces los puntos B y F están en el mismo semiplano determinado por la recta AD. (Ver Figura 28). Figura 28 Esta consistirá en demostrar que el segmento BF no tiene puntos en la recta AD. Dividirernos la prueba en tres partes, a saber: i. Veremos que el punto A no puede estar en el segmento FB.

19 ii. Veremos que ningún punto de FB está en la semirrecta AD. iii. Veremos que ningún punto de FB está en la semirrecta AG, siendo G un punto en la semirrecta opuesta a AD. La prueba de estas tres partes permite afirmar que FB no corta a la recta AD y por tanto, que los puntos F y B están en un mismo semiplano respecto de la recta AD. Para probar i) comencemos por afirmar que la hipótesis del enunciado garantiza que A es un punto distinto de B y F. Razonando por reducción al absurdo, supongamos que A es un punto en el interior de FB. Puesto que F se tomó en la recta AC, las rectas AC y FB tienen en común los puntos A y F y por tanto dichas rectas coinciden (axioma I.1), de donde se concluye que el punto B está en la recta AC, lo cual lleva a la contradicción con la hipótesis de que el ángulo y no llano. En esta forma queda demostrada la parte i). BA ˆ C es no nulo Para probar las partes ii) y iii) se debe tener en cuenta que la semirrecta AD está contenida en el interior del ángulo BA ˆ C como también en el semiplano Π AC : B., (Corolario) y por tanto, esta contenida en el semiplano Π AB : C Para probar ii) afirmamos que los puntos F y C están en semiplanos opuestos respecto a la recta AB, ya que A está entre F y C y estos puntos no están en AB. Según lo anterior F está en el semiplano Π AB :~ C y por el teorema 5, es claro que el segmento FB está en el semiplanoπ AB : ~C. Por otra parte, ya se afirmó que la semirrecta AD esta en el semiplanoπ AB : ~C. Siendo disjuntos los semiplanos Π AB la semirrecta AD. : ~C yπ AB : C, se sigue que ningún punto de FB está en

20 Para demostrar la parte iii) tomamos en consideración que las semirrectas opuestas AD, AG están en semiplanos opuestos respecto de la recta AC y como AD está en el semiplano Π AC : B, entonces AG está en el semiplanoπ AC : B. Por otra parte, como F está en AC y B es un punto que no está en AC, por el teorema 5, se sigue que el segmento FB está en el semiplano Π AC : B Siendo disjuntos los semiplanos Π AC : ~B yπ AC : B, se concluye que el segmento FB no tiene puntos en la semirrecta AG. TEOREMA 8. Teorema de la barra transversal. Si D es un punto que está en el interior del BAC ˆ, entonces AD intersecta a BC. (Ver Figura 29). Demostración. Razonando por reducción al absurdo. Supongamos que AD BC. Figura 29 En consecuencia, B y C están en el mismo semiplano con respecto a la recta AD (Axioma de separación del plano). Tomemos F AC tal que A está entre F y C, por tanto FB AD por el teorema 7; esto es, F y B están en el mismo semiplano respecto a la recta AD, concluyéndose por tanto que F y C están en el mismo semiplano respecto a AD ; esto es contradictorio puesto que A está entre F y C. Conclusión: AD BC =

21 2.4 EJERCICIOS PROPUESTOS Temas: La geometría Euclidiana como una teoría deductiva. Axiomas de Incidencia. Axiomas de Orden. 1. En la geometría Euclidiana como una teoría deductiva, indique para cada uno de los términos que se presentan a continuación, si corresponden a términos primitivos o a términos definidos. 1.1 Recta 1.2 Semirrecta 1.3 Segmento 1.4 Ángulo 1.5 Triángulo 1.6 Plano 1.7 Cuadrado 1.8 Semiplano 1.9 Punto 1.10 Paralelogramo 1.11 Circunferencia 1.12 Espacio 2. En la Geometría euclidiana como una teoría deductiva, indique si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero o falso. 2.1 Es posible definir cada término geométrico, empleando términos geométricos más sencillos. 2.2 Los teoremas se demuestran solamente utilizando definiciones y términos primitivos. 2.3 Cualquier teorema puede demostrarse, utilizando el Método directo. 2.4 Si se está dispuesto a describir todos los pasos, cada teorema puede deducirse de axiomas y términos primitivos, sin hacer referencia a otros teoremas. 2.5 Todo enunciado que parece ser verdadero, puede tomarse como axioma. 3. En el desarrollo de la Geometría como una teoría deductiva solo una de las siguientes afirmaciones no es verdadera. Indíquela. 3.1 Algunas proposiciones son aceptadas sin demostración. 3.2 En ocasiones hay varias maneras diferentes y correctas de demostrar ciertas proposiciones. 3.3 Cada uno de los términos empleados en una demostración debe haber sido definido previamente.

22 3.4 Es posible mediante argumentos o razonamientos válidos llegar a una conclusión verdadera si la hipótesis contiene una afirmación falsa. 4. Sean: A, B puntos distintos de un plano Π l una recta contenida en el plano Π AB y l tienen en común el punto S, S A y S B. Coloque en los espacios la relación correcta entre (pertenencia) y (inclusión) o sus negaciones de acuerdo a las condiciones establecidas y a los conjuntos determinados por los axiomas. 4.1 A Π 4.6 S AB 4.11 A BS 4.2 A AB 4.7 l Π 4.12 B AS 4.3 B l 4.8 AB Π AS Π 4.4 S Π 4.9 S Π l, A BS Π l, A 4.5 S l 4.10 A l, B Π AS BS 5. Suponga que el espacio tiene al menos un punto A. Justifique, utilizando únicamente los Axiomas de Incidencia, que se puede probar la existencia de al menos otros tres puntos distintos y diferentes al punto A. 6. Cuántas rectas distintas determinan 2, 3, 4, 5, 6, 7 puntos distintos tales que tres cualesquiera de ellos no son colineales. Generalice esta situación a n puntos en las mismas condiciones. 7. Sean A, B y C tres puntos distintos y no colineales. Indique de acuerdo al Axioma de determinación del plano y de los teoremas que se relacionan con su determinación, cuatro formas diferentes para designar el mismo plano, con sus notaciones respectivas. 8. Si G, H, K son puntos colineales y distintos, cuáles de los siguientes enunciados pueden ser ciertos. 8.1 K está entre G y H y H está entre G y K 8.2 H está entre K y G y H está entre G y K

23 8.3 H y K están del mismo lado respecto de G y G y H están del mismo lado respecto de K. 8.4 G y H están del mismo lado de K y G y K no están del mismo lado respecto de H. 9. Si M, N, R son tres puntos distintos tales que R está entre M y N, cuáles de los siguientes enunciados son ciertos: 9.1 M, N, R son colineales 9.2 RM RN φ 9.3 M NR 9.4 R IntMN 10. Si tres puntos están en una recta, cuántos de ellos no están entre los otros dos. 11. Si A, B, C son puntos distintos, no colineales, Cuántas rectas determinan? Identifíquelas. 12. Si C está entre A y D; Cuántas semirrectas determinan? Identifíquelas. 13. Si C está entre A y B y E está entre C y B; Cuántas semirrectas determinan? Identifíquelas. 14. Dados A, B, C puntos distintos. Cuántos segmentos determinan, en los siguientes casos: 14.1 Si son colineales 14.2 Si no lo son. 15. Sean A, B puntos distintos. Indicar para cada una de las siguientes proposiciones si son verdaderas o falsas, justificando su respuesta AB BA 15.2 AB BA 15.3 AB BA 15.5 AB BA 15.4 AB AB 15.6 AB AB 16. Si A, B, C, D son puntos distintos, determinar los siguientes conjuntos:

24 AB AB 16.5 AB AB AB AB 16.6 AB BA 16.3 CD DC 16.7 CD DC CD 16.8 CD CD 16.4 DC 17. Si A, B, C, D son puntos distintos tales que AC tiene a B como elemento y a la vez C es elemento de BD Verifique que dichos puntos están alineados Cuáles de los siguientes enunciados son ciertos: a) B está entre A y C b) BC d) AC BD B,C A e) AD BC φ AC f) AC y DB son opuestos c) BD 18. Si P y Q son puntos distintos Si l 1 y l 2 son rectas distintas tales que l1 afirmarse acerca de P y Q? 20. Sean M, N puntos distintos. Si qué puede afirmarse de 21. Sean M AB, N AB, P, Q l, P, Q l2 Qué puede afirmarse de 1 AB y Π? 22. Sean l 1 y l 2 rectas distintas: l 1 1, 2 2 l y l 2? P, P l2, Q l1 y Q l2. Qué puede AB y el plano Π tienen los puntos comunes M y N; K AB. Qué puede afirmarse sobre A,B,K l, l l P 2 R P, R l2, R 1. Qué puede afirmarse sobre π 1 y π 2? Π y M,N,K Π? 1, Q P, Q l1, Q 2,

25 23. Sea K una figura: A K, B K. Si AB K entonces puede afirmarse que K es una figura convexa? 24. Es todo plano una figura convexa? Lo es cualquier semiplano? 25. Un ángulo es una figura convexa? 26. Sean: Π : plano dado M, N, Q, R puntos distintos y pertenecientes al plano Π. Q MN, R MN, RQ MN Bajo estas condiciones, cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas: 26.1 R Π MN : ~Q 26.2 Q Π MN : R 26.3 N Π QR : ~M 26.4 MQ Π MN : ~R 26.5 Π MN : R Π MN : Q = Π 26.6 Si MQ RN = entonces Q Π RN : M 26.7 MN RQ 27. Sean: A, B puntos distintos; l una recta. Demostrar: l AB si y sólo si A, B l. 28. Sean: A, B, C puntos distintos. Demostrar: Si C AB entonces AB 29. Sean: A, B, O puntos distintos. Demostrar: Si B OA entonces OB OA. CA y CB AB. Sugerencia: Emplee el Método de reducción al absurdo.

26 2.5 EJERCICIOS RESUELTOS Ilustración N 1 Demuestre la siguiente proposición, utilizando únicamente los axiomas de incidencia. Si A es un punto perteneciente al espacio, entonces, existen al menos 4 puntos distintos pertenecientes al espacio. Demostración 1. Supongamos: A pertenece al espacio. Hipótesis auxiliar. 2. Por A pasa al menos una recta. De 1 por Axioma I.1(2) 3. En la recta hay al menos otro De 2 por Axioma I.2 punto B, siendo B A. 4. Existe al menos un puntoc De 2 por Axioma I.3 en el espacio y Cε 5. A B C y no colineales De 3 y Existe π A,B,C De 5 por Axioma I.4 7. Existe al menos un punto D De 6 por Axioma I.8 en el espacio, Dεπ A,B,C 8. A B C D De 5, 6 y 7 9. Si A es un punto perteneciente al espacio, entonces, existen al menos 4 puntos distintos pertenecientes al espacio. Por qué? Ilustración N 2 Demuestre la siguiente proposición, utilizando únicamente los axiomas de orden. Si A yb son puntos distintos, entonces, entrea y B existen infinitos puntos. Demostración 1. Supongamos: Ay B son puntos distintos. Hipótesis auxiliar.

27 2. Existe al menos un punto k De 1 por Axioma II.2 k AB AyB., tal que k está entre 3. Existe al menos un punto X 1, De 2 por Axioma II.2 y Axioma II.1 X 1 AB Ayk. tal quex 1 está entre 4. X 1 está entre A y B. De 2 y 3 por Axioma II.5 5. Existe al menos un puntox 2, De 2 por Axioma II.2 y Axioma II.1 X 2 AB tal que X 2 está entre k y B. 6. X 2 está entre Ay B. De 2 y 5 por Axioma II.5 7. X 1, X 2 y k son puntos distintos De 2, 4 y 6. 3 y 5. que están entre Ay B. 8. Continuando un proceso análogo al utilizado para probar que se tienen al inductivo. dcto. menos3 puntos distintos, entre Ay B; se puede probar encajando puntos entre Ay B, que existen infinitos puntos mediante un procedimiento 9. Si A y B son puntos distintos, entonces, entre Ay B existen infinitos puntos. Método Ilustración N 3 Demuestre la siguiente proposición. Si AB es no nulo, entonces, tiene AB infinitos puntos. La demostración es inmediata aplicando la proposición demostrada en la ilustración 2. Ilustración N 4 Demostración Demuestre utilizando los axiomas de orden y los axiomas de incidencia necesarios, la siguiente proposición. Si designa una recta, entonces, tiene infinitos puntos. 1. Supongamos: es una recta. Hipótesis auxiliar. 2. Existen al menos dos puntos De 1 por Axioma I.2 distintos A y B;A yb 3. Determinamos AB. Definición de segmento.

28 4. AB por qué? 5. AB tiene infinitos puntos Proposición de la Ilustración Existe al menos un punto W 1 tal que De 2 por Axioma II.3 B está entre A y W Determinamos BW 1 8. BW tiene 1 infinitos puntos 9. AW tiene infinitos puntos Definición de segmentos. por qué? por qué? 10. Existe al menos un punto Z 1 tal que De 2 por Axioma II.3 A está entre Z 1 y B 11. Determinamos Z 1 A 12. Z 1 A tiene infinitos puntos 13. Z 1 W 1 tiene infinitos puntos por qué? por qué? por qué? 14. En forma análoga se amplia la existencia de puntos laterales en ambos sentidos de la recta y mediante un proceso inductivo se establece la infinitud de la recta. 15. Si designa una recta, entonces, Método directo. Ilustración N 5 tiene infinitos puntos. Si Testá entre S y W cuántas semirrectas determinan?. Identifíquelas. Indiquemos una situación gráfica que describe las condiciones dadas. Es obvio que S, T, W son distintos y colineales. por qué? Con origen en T se tienen TW y su opuestats. Con origen en S se tienen ST y su opuesta que podemos definir como{x/ S está entre X y T}. Con origen en W se tienen WT y su opuesta que podemos definir como {X/ W está entre X y T}. Tenemos en consecuencia seis semirrectas distintas puesto que cada punto perteneciente a la recta la particiona en dos semirrectas opuestas.

29 Ilustración N 6 Si A y Bson puntos distintos, determinar y dar una interpretación gráfica de los siguientes conjuntos: 1. AB BA 2. AB AB Para AB AB Elaborando una representación gráfica de ambos conjuntos en la AB, y poniendo toda la atención en las características de la operación de intersección se tiene: AB BA = Int(AB ) Para 2. En forma análoga al caso anterior pero para la operación diferencia, se tiene: AB AB = {X B está entre X y A} Para 3. = Semirrecta opuesta a BA AB AB = {A}

30 Ilustración N 7 Sean A, Bpuntos distintos; una recta. Demostrar: = AB si y solo si{a, B} Probemos la implicación de izquierda a derecha, inicialmente. 1. Supongamos:A y Bpuntos distintos; una recta. Hipótesis general. 2. Supongamos: = AB 3. Existe AB única con A AB y B AB Hipótesis auxiliar. De 1, Axioma de determinación de la recta. 4. A y B De 2 y 3 por sustitución en la igualdad. 5. {A, B } De 4 definición relación de inclusión en conjuntos. 6. Si = AB, entonces, {A, B } Método directo. Se deja al estudiante la prueba de la implicación recíproca.