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1 Guía Matemática ÁNGULOS tutora: Jacky Moreno.cl

2 1. Geometría La geometría es una de las ramas de las matemáticas más antiguas que se encarga de estudiar las propiedades del espacio, principalmente las figuras geométricas junto con sus relaciones, propiedades y consecuencias que se pueden deducir de ellas. La palabra geometría significa medida de la tierra y tiene sus orígenes en las antiguas civilizaciones egipcias, babilónicas, hindúes o chinas, las cuales se encargaban de resolver problemas como la medición de las tierras o como la construcción de ángulos rectos para las esquinas de las construcciones. Estas primeras aproximaciones geométricas trabajadas por estas culturas fueron aprovechadas por los griegos quienes ordenaron y sistematizaron los conocimientos geométricos. En esta cultura destaca de sobremanera el matemático Euclides quien configuró la geometría en forma axiomática en su libro Los Elementos. A continuación estudiaremos la Geometría Euclidiana Plana, es decir, estudiaremos las figuras contenidas en un plano, a través de las definiciones, axiomas y proposiciones del Libro I de los elementos de Euclides. Este libro se basa en un sistema deductivo, en el cual se parte de ciertas definiciones que corresponden a enunciados claros y precisos de lo que significan ciertos términos y también de algunas axiomáticas o postulados definidos con anterioridad, para así, a partir de lo definido, deducir y demostrar otras proposiciones y teoremas. 2. Conceptos básicos 2.1. Punto De acuerdo a la definición de Euclides: Punto es aquello que no tiene partes. Vale decir, un punto es un objeto geométrico que no tiene dimensión y que por ende no posee alto, ancho o largo. Los puntos son utilizados para identificar una posición en el plano o espacio en el cual se está trabajando. La representación de estos objetos se hace a través de letras mayúsculas como se muestra a continuación: 2.2. Recta De acuerdo a la definición de Euclides: Línea es longitud sin espesor ni anchura. Línea recta es aquella línea que tiene todos sus puntos en la misma dirección. Vale decir, una recta es un objeto geométrico que tiene una dimensión ya que sólo posee largo y está compuesta por infinitos puntos. La representación de estos objetos se hace generalmente a través de una L con un subíndice o con letras minúsculas, como se muestra a continuación: 2

3 En el caso de que limitemos la recta en uno de sus dos sentidos, damos paso al objeto geométrico conocido como rayo, el cual se representa y simboliza a continuación: En el caso de que limitemos la recta en ambos sentidos, damos paso al objeto geométrico llamado segmento, el cual se representa y simboliza a continuación: 2.3. Plano De acuerdo a la definición de Euclides: Superficie es aquello que tiene solamente ancho y largo, no tiene espesor. Superficie plana es aquella que contiene una recta en cualquier posición. Vale decir, un plano es un objeto geométrico que tiene dos dimensiones ya que posee ancho y largo y está compuesta por infinitas rectas. La representación de estos objetos se hace a través de letras griegas mayúsculas como se muestra a continuación: Desafío 1 A qué corresponde la intersección de dos planos, la intersección de dos rectas y la intersección de un plano y una recta? Respuesta 3

4 3. Principales Axiomas Los axiomas son proposiciones que aceptamos como verdaderas, por lo cual no las cuestionamos para nuestras demostraciones o análisis. Los principales axiomas o postulados de la geometría euclidiana son: Existen infinitos puntos Por un punto dado pasan infinitas rectas. Por dos puntos diferentes pasa una única recta. Por tres puntos diferentes que no están ubicados en línea recta pasa un único plano. 4. Ángulos Un ángulo es el conjunto de puntos formados por dos rayos que emanan de un mismo origen. Se identifican por medio de las letras griegas minúsculas, α, β, γ, etc. y se representan como se muestran a continuación: Como podemos ver la unión de los rayos OA y OB en el vértice O forma dos ángulos: α denominado ángulo interior y β denomindo ángulo exterior Medida de un ángulo En general, cuando hablemos de ángulos estamos haciendo referencia al ángulo interior, a menos que se indique lo contrario. Existen varios sistemas de medición para los ángulos, en nuestro caso nos enfocaremos en el sistema sexagesimal que tiene como unidad fundamental el grado sexagesimal cuyo símbolo es. Un grado sexagesimal equivale a la abertura correspondiente a la 360 ava parte de un círculo, es decir, si un círculo lo divido en 360 aberturas iguales, cada abertura corresponderá a 1. Dentro de este sistema encontramos otras divisiones aún más pequeñas para la medida de los ángulos, estas son los minutos que se simbolizan con y los segundos que se simbolizan con. Las equivalencias entre estas medidas son: 1 = 60 1 minuto = 60 Para poder llevar a cabo la medición debemos utilizar un transportador, en donde valor positivo de un ángulo está dado por el sentido en contra de las manecillas del reloj y el valor negativo de un ángulo está dado por el sentido de las manecillas del reloj. 4

5 Operaciones con las medidas de los ángulos Para sumar o restar medidas de ángulos basados en el sistema sexagesimal se deben operar las mimas unidades, es decir, grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. Luego de esto, se deben transformar las unidades mayores si es que se pueden. Ejemplo Si α = y β = , cuánto vale α + β? Solución: Resolvamos el ejercicio sumando las mismas unidades: α = β = α + β = Al observar los resultados obtenidos podemos hacer algunas transformaciones: Al reducir los segundos tenemos: 83 = = Por lo tanto debemos sumarle un minuto a nuestro resultado, = 62 y debemos dejar los segundos como 23 Al reducir los minutos tenemos: 62 = = Por lo tanto debemos sumarle un grado a nuestro resultado, = 63 y debemos dejar los minutos como 2 Finalmente la suma de α y β es igual a Desafío 2 Si α = y α + β = 70, cuánto mide β en el sistema sexagesimal? Respuesta Ejercicios 1 Desarrollar los siguientes ejercicios. 1. Si α = y β = , entonces cuánto mide α + β? 2. Si α = y β = , entonces cuánto mide α β? 3. Si α = , β = y γ = , entonces cuánto mide α + β γ? 5

6 4.2. Clasificación de los ángulos según su medida Ángulo Nulo Corresponde aquellos ángulos que miden Ángulo Completo AOB = 0 Corresponde aquellos ángulos que miden 360, es decir, el círculo completo Ángulo Extendido AOB = 360 = α Corresponde aquellos ángulos que miden la mitad de un ángulo completo, es decir, Ángulo Recto AOB = 180 = α Corresponde aquellos ángulos que miden la mitad de un ángulo extendido, es decir, 90. AOB = 90 = α Cuando dos rayos forman un ángulo recto se dicen que son perpendiculares entre sí, esto se simboliza como AO OB 6

7 Ángulo Agudo Corresponden a los ángulos que miden entre 0 y Ángulo Obtuso 0 < AOB < 90 Corresponden a los ángulos que miden entre 90 y Ángulos en un mismo plano Ángulos Adyacentes 90 < AOB < 180 Dos ángulos son adyacentes si tienen un vértice y un lado en común, de tal forma que sus interiores no se intersectan Ángulos Complementarios Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a un ángulo recto, es decir, suman 90. α + β = 90 7

8 En el caso de dos ángulos complementarios, decimos que α es el complemento de β, es decir: Ángulos Suplementarios 90 α = Complemento de α Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas corresponde a un ángulo extendido, es decir, suman 180. α + β = 180 En el caso de dos ángulos suplementarios, decimos que α es el suplemento de β, es decir: Ángulos Opuestos por el Vértice 180 α = Suplemento de α Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno corresponden a las prolongaciones de los lados del otro. Siempre que tenga dos ángulos opuestos por el vértice sus medidas van a ser iguales: α = β Ejemplo En la figura los punto A, O y B están en la misma recta. Si el COD es recto, calcular: 1. El complemento de x. 2. El suplemento del triple de x. 3. El suplemento del complemento de 2x. 8

9 Solución: Los datos que tenemos del ejercicios son: COD = 90, AOC = 20 2x, DOB = 5x 50 y AOB = 180, por lo tanto a partir de esta información calculamos el valor de x: AOB = AOC + COD + DOB 180 = 20 2x x 50 3x = x = 120 x = 40 Luego resolvemos cada ejercicio por separado: 1. Para determinar el complemento de 40 debemos calcular el valor que le falta para completar los 90, es decir: = El triple de 40 corresponde a 40 3 = 120. Para calcular su suplemento debemos encontrar el valor que falta para completar los 180, es decir: 3. Primero determinemos el complemento de 80 : = 60 Y luego determinamos el suplemento de 10 : = = 170 Finalmente el suplemento del complemento de 80 es 170. Ejercicios 2 1. Cuánto mide el suplemento de 68 más el complemento de 55? Qué tipo de ángulo es? 2. Cuánto mide el complemento del suplemento de 127? Qué tipo de ángulo es? 3. Si el suplemento de un ángulo α es igual a la mitad del triple del complemento de dicho ángulo. Cuánto mide α? Qué tipo de ángulo es? 4. El suplemento del ángulo 4α es 60. Qué valores puede tomar β si al sumarse con α forman un ángulo agudo? Qué tipo de ángulo es? 5. El cuádruple del complemento de α 40 es igual a la mitad del suplemento de 80 6α. Cuánto mide α? Qué tipo de ángulo es? 6. En la figura las rectas L 1 y L 2 se intersectan en un punto. 9

10 a) Cuánto mide el doble de α más el complemento de 10? Qué tipo de ángulo es? b) Cuánto mide el suplemento de α 50? Qué tipo de ángulo es? c) Cuánto mide el el complemento de la séptima parte de α? Qué tipo de ángulo es? 7. En la figura la intersección de las rectas L 1 y L 2 forman un ángulo recto. Si α es el triple de β: a) Cuánto mide el complemento de β? b) Cuánto mide el suplemento del complemento de α? 4.4. Ángulos formados por una transversal que corta a dos rectas paralelas dadas Dos rectas se dicen que son paralelas cuando están en un mismo plano y no se cortan entre sí. Así, si L 1 y L 2 son dos rectas paralelas se simbolizan como L 1 L 2. 10

11 En base a la definición de Euclides podemos decir que: Son rectas paralelas las que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se cortan ni en uno ni en el otro sentido. Cuando tenemos dos rectas paralelas, L 1 y L 2, que son cortadas por una transversal L 3, no necesariamente perpendicular, entonces aparecen 8 ángulos que se relacionan entre sí de la siguiente manera: Son ángulos correspondientes los pares de ángulos 1-5, 2-6, 4-8 y 3-7. Son ángulos alternos internos los pares de ángulos 4-6 y 3-5. Se denominan ángulos interiores a los 4 ángulos que quedan entre las paralelas, a los demás ángulos se les denomina exteriores. Son ángulos alternos externos los pares de ángulos 1-7 y 2-8. Son ángulos opuestos por el vértice los pares de ángulos 1-3, 2-4, 5-7 y 6-8 de acuerdo a la propiedad anteriormente vista. La propiedad que cumplen todas estas relaciones es que los ángulos relacionados son congruentes, es decir, tienen la misma medida. Ejemplo Sean las rectas L 1 y L 2 paralelas, determinar el valor de x. 11

12 Solución: Como las rectas L 1 y L 2 son paralelas, entonces los ángulos ABC y BCD son alternos internos congruentes, por lo tanto: BCD = ABC 7x + 14 = 3x x 3x = x = 44 x = 11 Ejercicios 2 Determinar el valor de x en las siguientes figuras. 12

13 Desafíos resueltos Desafío I: La intersección de dos planos corresponde a una línea recta y la intersección de dos rectas o de una recta y un plano corresponde a un punto. Volver Desafío II: Para determinar el valor de β debemos restar los 70 con α, de esta manera tenemos lo siguiente: 70 = α = α = Por lo tanto β = Volver Bibliografía [1 ] Manual de preparación PSU Matemática, Quinta Edición, Oscar Tapía Rojas, Miguel Ormazábal Díaz-Muñoz, David López, Jorge Olivares Sepúlveda. [2 ] Desarrollo del pensamiento matemático, Geometría, No 12, Abril 2006, Martín Andonegui Zabala. 13