UNIDAD I. ÁNGULOS, TRIÁNGILOS, POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA. Tema. Ángulos

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1 UNIDAD I. ÁNGULOS, TRIÁNGILOS, POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA Tema. Ángulos

2 ÁNGULOS CONCEPTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES D entro de la geometría plana, existen conceptos fundamentales cuya definición es un tanto complicada. Algunas veces tenemos la idea muy bien hecha pero sólo en nuestro cerebro; y cuando queremos trasladar de manera escrita esa idea surgen ciertas dificultades. De manera introductoria daremos algunas definiciones ya preestablecidas de algunos entes geométricos. Desde la antigüedad, han existido hombres de ciencia preocupados por establecer definiciones correctas de figuras geométricas y que de alguna forma lograron sentar las bases de la geometría plana. Entre los hombres que contribuyeron a dar estas bases podemos mencionar a personajes como Tales de Mileto, Euclides, Arquímedes, Pitágoras, etc. Por ejemplo, Euclides recopilo muchos de los resultados geométricos conocidos en su época y los reunió en su obra Los elementos, primer tratado formal de Geometría plana y que en nuestros días se le conoce comúnmente como Geometría Euclidiana. A continuación enlistaremos algunas definiciones importantes de ciertos entes geométricos que nos serán de gran utilidad previos a un estudio de geometría plana: Punto: se concibe como algo que carece de longitud, anchura, altura y que solamente puede señalar una posición en el espacio. Un punto es la figura geométrica más simple del espacio. Línea recta: se define como una sucesión infinita consecutiva de puntos que se extienden con una misma dirección. Cuando tomemos solamente una porción de línea recta limitada por un solo punto, estaremos hablando de una semirrecta. Ejemplo: A Pero si tomamos una porción de línea recta limitada por dos puntos, entonces estaremos considerando un segmento de línea recta. A B

3 Plano: se puede definir como una figura geométrica que cuenta con longitud y anchura, pero que no tiene altura. Las paredes de nuestra casa, los cristales de las ventanas y una hoja de papel; no siendo tan estrictos, nos dan la idea de un plano. CONCEPTO DE ÁNGULO Si miramos a nuestro alrededor, se refleja la idea de ángulo. Así observamos sillas, ventanas, casas, calles, árboles, etc., donde de alguna manera se encuentra muy bien dibujada y plasmada la imagen de un ángulo. Incluso este concepto es fundamental en la realización de ciertas actividades en la vida diaria, especialmente cuando se practican actividades deportivas dentro de una competencia. Por ejemplo, para un competidor en lanzamiento de jabalina es importante elegir un buen ángulo de lanzamiento para llevarse el triunfo. En el juego de billar, es necesario escoger un buen ángulo de golpeo para realizar una buena jugada. Para un clavadista es fundamental caer con un ángulo totalmente perpendicular sobre la superficie del agua para que su clavado sea muy bien calificado. Si el columpio de un niño, hace un mayor ángulo de oscilación, este le proporciona mayor satisfacción al niño. Como podemos darnos cuenta la idea de ángulo está presente por todos lados. A continuación damos una definición de este concepto. Angulo: es la abertura que se origina por dos semirrectas que parten de un mismo punto, a este punto se le llama vértice del ángulo. A las semirrectas que forman la abertura, regularmente se les llaman lados del ángulo. A pesar de que hay otras formas de denotar un ángulo, optaremos por elegir la más práctica. Para designar un ángulo utilizaremos una letra griega minúscula, una letra minúscula de nuestro alfabeto o en dado caso números; los cuales escribiremos dentro de la abertura. Entre las letras griegas más comunes para denotar ángulos se encuentran: (alfa), (beta), (gamma), (teta), (delta), etc. MEDICIÓN DE LOS ÁNGULOS EN EL PLANO Dentro de los sistemas de medidas más importantes y usuales, se pueden mencionar dos: el sistema sexagesimal y el sistema circular. Sistema sexagesimal: Este sistema tiene sus orígenes con los babilónicos y es el más utilizado hoy en día. Consiste en dividir a la circunferencia en partes iguales (esta

4 decisión gracias a que los babilónicos manejaban un calendario de días); cada una de estas partes corresponde a un grado. A su vez un grado se divide en partes iguales para que cada una de estas conforme los minutos y un minuto se vuelve a dividir en partes iguales las cuales conformaran los segundos. En resumen: a) Un grado equivale a una de las trescientas sesenta partes iguales en que se divide la circunferencia. superior. Nota: la notación de un ángulo se hace mediante el símbolo que se coloca después del número en la parte b) Un minuto es una de las sesenta partes iguales en las que se divide un grado. Para denotar los minutos se usa el símbolo que se coloca después del número en la parte superior. Esto es: c) Un segundo es una de las sesenta partes iguales en las que se divide un minuto. Para denotar los segundos se utiliza el símbolo que se coloca después del número en la parte superior. Es decir: Sistema circular: En este sistema se usa como unidad de medida al radian. Un radian es un ángulo construido dentro de una circunferencia, de tal manera que su vértice es el centro de esta y sus lados son dos radios que delimitan una porción de arco igual a la medida de estos. (Ver figura) Después de haber definido cada uno de estos sistemas de medida se puede establecer una correspondencia entre grados y radianes de la siguiente manera: Consideremos cualquier circunferencia de radio, entonces su longitud equivale a (Perímetro). Por definición de radian, la longitud de arco es, por lo tanto, el número de arcos de longitud que caben en nuestra circunferencia es:

5 De esta manera, se deduce que una circunferencia tiene radianes, pero por otro lado sabemos que una circunferencia tiene (sistema sexagesimal). Así tenemos que: De aquí, O bien, OPERACIONES MÁS COMUNES CON ÁNGULOS Suma de Ángulos: Para sumar ángulos se suman segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados. Sólo que si en la suma los segundos o minutos son números mayores o iguales a, entonces habrá la necesidad de hacer algunas conversiones. Por ejemplo: a) Sumar con Solución: En este caso, los segundos y los minutos son números menores que es el resultado final., por lo tanto, ese b) Sumar con Solución:

6 Aquí como los segundos y minutos son mayores a 60, convertiremos segundos a minutos y minutos a grados de la siguiente forma: con residuo 28 Observe que los segundos se dividen entre y el cociente se le suma a los minutos y el residuo equivale a los segundos finales. Por último, con residuo 31 Finalmente, los minutos se dividen entre y el cociente se le suma a los grados y el residuo equivale a los minutos finales. Por lo tanto, el resultado final de la suma debe ser. Resta de Ángulos: Para restar dos ángulos, se restan segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados, sólo que bajo ciertas restricciones. Por ejemplo, si los segundos o minutos del minuendo son menores que los del sustraendo, entonces en el minuendo se le restan un grado a los grados y se le suma ese grado en minutos a los minutos o bien se le puede restar un minuto a los minutos y sumar ese minuto en segundos a los segundos. Ejemplos: a) Restar a Solución: Convirtiendo un minuto a segundos b) A restar Solución: Convirtiendo un grado a minutos y un minuto a segundos Algunas veces es necesario expresar los ángulos señalando sus grados, minutos y segundos. Por lo regular, se acostumbra hacer esto, con aquellos ángulos expresados en grados pero cuyo valor no es un número entero, es decir, cuenta con una parte decimal.

7 Ejemplo: Expresar a grados, minutos y segundos. Solución: La parte entera se queda como los grados finales, en este caso, luego la parte decimal se multiplica por, esto es,, la parte entera de este resultado serán los minutos y la parte decimal se vuelve a multiplicar por, o sea: que serán los segundos. Así: CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA Para convertir de grados a radianes o viceversa, se deben tener bien presentes las equivalencias obtenidas en la sección 1.3, que son: Ejemplos: a) Convertir a radianes Solución: Expresemos en forma decimal. Para ello, dividimos los entre y el resultado se lo sumamos a (tomar dos o tres dígitos a partir del punto decimal), así: Para convertir a radianes se multiplica este nuevo valor por tiene: (ver equivalencias), de lo que se Por lo tanto, b) Convertir a grados Solución: Para convertir a grados se multiplican los por (ver equivalencias), esto es: Luego de la sección anterior, Y Para convertir a minutos Para convertir a segundos Por lo tanto,

8 CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS Clasificación de los ángulos de acuerdo a la medida que tienen: Ángulo Agudo: es aquel ángulo que mide menos de. Ángulo Recto: es el ángulo que mide exactamente. Comúnmente se le conoce como ángulo recto. Ángulo Obtuso: es el ángulo que mide más de y menos de. Ángulo Plano, Llano o Colineal: este ángulo se caracteriza por medir exactamente. Ángulo Cóncavo o Entrante: es un ángulo cuya medida es mayor a los pero menor a los. Ángulo Perigonal: es aquel ángulo que mide exactamente. Clasificación de los ángulos de acuerdo a la posición de sus lados Ángulos opuestos por el vértice: son aquellos ángulos que se forman por la intersección de dos líneas rectas. En este caso, el vértice de los ángulos es el punto de intersección de las líneas. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

9 Ángulos consecutivos: son los ángulos que se forman compartiendo un lado y utilizando un mismo vértice. Ángulos adyacentes: estos ángulos son un caso particular de ángulos consecutivos. Están formados de tal manera que uno de sus lados es común y los otros dos lados son originados por una sola línea recta. (Ver figura) Clasificación de los ángulos de acuerdo a la suma de sus medidas Ángulos complementarios: son los ángulos cuya suma de sus medidas es igual a. Ángulos suplementarios: para estos ángulos la suma de sus medidas es igual a. Ángulos conjugados: la suma de sus medidas es igual a. Definición: Diremos que dos o más rectas son concurrentes, si se cortan en un mismo punto del espacio. Definición: Dos rectas serán perpendiculares si son concurrentes formando ángulos de.

10 En base a las clasificaciones hechas anteriormente, se pueden resolver problemas como los siguientes: Ejemplos: En cada uno de los siguientes esquemas halle el valor de las incógnitas involucradas en las medidas de los ángulos. a) b) Puesto que los ángulos y son suplementarios, se tiene que: Como los ángulos señalados son opuestos por el vértice, estos son iguales, así: c) d) Observe que los ángulos y son consecutivos, y que la suma de ellos es, por lo que: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales, así: Por otro lado, los ángulos y son suplementarios, de aquí:

11 ÀNGULOS FORMADOS POR UNA SECANTE Y DOS RECTAS PARALELAS Definición: Dos líneas rectas serán paralelas en un plano si no tienen ningún punto en común; esto es, no se cortan en ninguno de sus puntos. Una de las características de dos líneas paralelas es que siempre guardan la misma distancia entre ellas, así se puedan extender demasiado ellas nunca se cortaran. (Ver figura) Consideremos dos líneas paralelas en el plano, una línea secante o transversal a dichas paralelas, es aquella que corta a cada una de estas. Cuando trazamos dos líneas paralelas y las cortamos por una transversal no perpendicular a ellas, se forman una serie de ángulos que guardan ciertas relaciones entre sí. Ángulos originados por una secante que cruza a dos líneas paralelas Ángulos Internos: son los ángulos que están ubicados dentro de las paralelas. Esto es, los marcados con las letras d, c, e y f. Ángulos externos: son los ángulos que quedan fuera de las paralelas. En este caso, los marcados con letras a, b, h y g. Ángulos alternos internos: son los ángulos internos no adyacentes que se encuentran a distintos lados de la transversal. Los ángulos alternos internos son los pares de ángulos señalados con las letras e y c, f y d. Ángulos alternos externos: son los ángulos externos no adyacentes que se encuentran a distintos lados de la transversal. Los ángulos alternos externos son los pares: h y b, g y a. Ángulos correspondientes: es un ángulo interno y un ángulo externo no adyacentes situados a mismo lado de la transversal. Los pares de ángulos correspondientes son: e y a, f y b, h y d, g y c. Ángulos colaterales: son dos ángulos internos, o dos externos, situados del mismo lado de la transversal. Los ángulos colaterales son: e y d, f y c, h y a, g y b.

12 Definidos y ubicados los ángulos, podemos establecer ciertas relaciones entre ellos: 1. Los ángulos alternos internos son iguales, esto es, e c y f d 2. Los ángulos alternos externos son iguales, es decir, h b y g a 3. Los ángulos correspondientes también son iguales, o sea, e a, f b, h d y g c. 4. Los ángulos colaterales son suplementarios, así, e c a b d f h g 5. Los ángulos adyacentes son suplementarios. A continuación, aplicaremos estas propiedades a la solución de problemas de ángulos generados por dos paralelas y una secante. Ejemplo 1. Calcule la medida del ángulo figura. en la siguiente Solución: Observemos que los ángulos señalados son colaterales, luego son suplementarios, o sea que, Ejemplo 2. Calcula el valor de la incógnita marcados en la siguiente figura. involucrada en la medida de los ángulos Solución: Como los ángulos señalados son alternos externos, se tiene que son iguales, por lo tanto,

13 Ejemplo 3. Calcule el valor de y en los siguientes ángulos. Solución: Puesto que los ángulos y son correspondientes, entonces son iguales, así: Por otro lado, los ángulos y son adyacentes, son suplementarios, luego: