MATEMÁTICAS 1º DE ESO

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1 MATEMÁTICAS 1º DE ESO LOMCE TEMA IX: RECTAS Y ÁNGULOS Puntos, rectas, semirrectas y segmentos en el plano. Posiciones relativas de rectas en el plano. Mediatriz de un segmento. Ángulos. Elementos. Clasificación y tipos de ángulos. Ángulos determinados cuando una recta corta a dos paralelas. Medida de ángulos. El sistema sexagesimal. Operaciones con medidas de ángulos. Bisectriz de un ángulo. Ángulos en los polígonos. Suma de los ángulos interiores. Ángulos en una circunferencia: central e inscrito. Ricardo Esteban Alonso Página 1

2 PUNTOS, RECTAS, SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS EN EL PLANO Punto: es el primer objeto empleado en geometría, y da origen a todos los demás. Se dice que no tiene dimensiones, es decir no tiene longitud ni anchura. Se representan en el plano por un pequeño círculo, y se nombran por una letra mayúscula. Recta: no tiene principio ni final, es de longitud infinita formada por puntos que se suceden indefinidamente. Tiene longitud pero no anchura. Semirrecta: Cada una de las partes en que un punto divide a una recta. La semirrecta tiene origen, pero no fin. Segmento: Es la parte de una recta comprendida entre dos puntos A y B. Ricardo Esteban Alonso Página 2

3 POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS EN EL PLANO En el plano dos rectas pueden ser secantes, perpendiculares o paralelas: secantes: son las que se cortan en un punto común a las dos rectas. perpendiculares: rectas secantes que al cortarse forman cuatro ángulos iguales (ángulos rectos). paralelas: son las que no se cortan y por lo tanto no tienen ningún punto común. secantes perpendiculares paralelas Ricardo Esteban Alonso Página 3

4 MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Se llama mediatriz del segmento AB a la recta que es perpendicular a este segmento y que pasa por su punto medio. Construcción de la mediatriz La mediatriz divide al segmento AB en otros dos segmentos de igual longitud. La recta mediatriz tiene una importante propiedad: la distancia de cualquier punto de esa recta a cada uno de los dos extremos del segmento AB es la misma. Ricardo Esteban Alonso Página 4

5 ÁNGULOS. ELEMENTOS. CLASIFICACIÓN Y TIPOS DE ÁNGULOS Un ángulo es la región del espacio comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común. A cada semirrecta se le llama lado y al punto con un origen común, vértice. Clasificación y tipos de ángulos: A) Según su orientación: Ángulo positivo (contrario a las agujas del reloj) Ángulo negativo (a favor de las agujas del reloj) Ricardo Esteban Alonso Página 5

6 B) Según su medida o abertura: Recto (90º) Agudo (<90º) Obtuso (>90º y <180º) Llano (180º) Completo (360º) Nulo (0º) Cóncavo (>180º a 360º) Convexo (>0º y <180º) Ricardo Esteban Alonso Página 6

7 C) Según su posición relativa: Complementarios (sum an 90º) Suplementarios (suman 180º) Conjugados (suman 360º) Consecutivos Consecutivos adyacentes Opuestos por el vértice Ricardo Esteban Alonso Página 7

8 ÁNGULOS DETERMINADOS CUANDO UNA RECTA CORTA A DOS PARALELAS Correspondientes: ejemplo 1 = 5 Alternos internos: ejemplo 3 = 5 Alternos externos: ejemplo 2 = 8 Colaterales internos: ejemplo 3 y 6 (suman 180º) Colaterales externos: ejemplo 1 y 8 (suman 180º) Ricardo Esteban Alonso Página 8

9 MEDIDA DE ÁNGULOS. EL SISTEMA SEXAGESIMAL Los ángulos se miden con el transportador y utiliza varios sistemas. Nosotros vamos a ver el llamado sistema sexagesimal. Es un sistema de numeración posicional que emplea la base sesenta. El número 60 es el número más pequeño que es divisible por 1, 2, 3, 4,5 y 6. Se denomina sexagesimal porque 60 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediatamente superior, es decir cada unidad es sesenta veces mayor que la unidad de orden inmediato inferior y sesenta veces menor que la unidad inmediato superior. Unidades de ángulos: 1º = 60 ; 1 = 60 En este tipo de medidas no se puede escribir con comas normalmente, ya que, por ejemplo, para escribir 2º y 30' no se escribirá así: 2,30º, ya que 30' no son 30 centésimas de grado. Hay que hacerlo expresando cada una de las unidades por separado; esto se llama deforma compleja. En nuestro ejemplo, se dice 2º y 30'. Sin embargo también se puede pasar a forma decimal, en el ejemplo anterior sería 2,5º (al igual que diríamos que 1 kilo y medio es 1 5 kg). Esta forma de escribirlo con coma se dice que es forma incompleja. Paso de complejo a incomplejo: Para pasar de complejo a incomplejo se multiplica si hay que pasar de una unidad a otra inferior, que es el más general, o se divide (si hay que pasar a otra de orden superior) por su equivalencia: Ejemplo: Pasar a ('') la medida de un ángulo de 2º 24' 18'' 2º 60 = 120' 120' + 24' = 144' 144' 60 = 8640'' Ricardo Esteban Alonso Página 9

10 8640'' + 18'' = 8658'' Paso de incomplejo (una unidad) a complejo (varias unidades): Para pasar de incomplejo a complejo se va dividiendo (o multiplicando), según sea para pasar a una unidad superior (o inferior respectivamente), por la equivalencia de orden superior (o inferior). Lo mejor es verlo con un ejemplo: Pasar a grados, minutos y segundos un ángulo de 17245'' 17245'' : 60 = 277' y sobran 25'' 277' : 60 = 4º y sobran 47' Por lo tanto nos queda: 4º 47' 25'' OPERACIONES CON MEDIDAS DE ÁNGULOS a) Suma de ángulos: Para sumar cantidades en forma compleja se sumarán los segundos con segundos, los minutos con los minutos y los grados con los grados; si se forman más de 60 unidades pequeñas se transforman en otras de orden superior. Ricardo Esteban Alonso Página 10

11 b) Resta de ángulos: Para restar formas complejas se actuará de la misma manera, es decir, restando los segundos, los minutos y l0s grados entre sí. No obstante es posible que en el minuendo (la cantidad de la que hay que restar, la de arriba) exista una cantidad menor de una o varias de las unidades que en el sustraendo (la cantidad que se resta, la de abajo). En este caso se pasa una unidad de orden superior a 60 de orden inferior y se le suma a las que existían, así conseguiremos tener un número mayor arriba que abajo. c) Multiplicar (aumentar) la medida de un ángulo por un número natural: Ricardo Esteban Alonso Página 11

12 Para multiplicar formas complejas también se hacen por separado. Después, seguramente, encontraremos que en el resultado hay unidades que sobrepasan los 60 segundos y/o los 60 minutos. Entonces se procede como en la suma; es decir, convirtiendo cada 60 segundos en 1 minuto y cada 60 minutos en 1 grado. d) División de un ángulo entre un número natural: En la división también se van dividiendo cada una de las unidades empezando por la de orden superior. El resto que quede se pasa a la de orden inferior multiplicando por 60 y se añade a las que tenía. Ricardo Esteban Alonso Página 12

13 BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales, es decir es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las semirrectas del ángulo. ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS. SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES Los ángulos de un triángulo miden 180º y todos los polígonos podemos descomponerlos en triángulos, y se formarán tantos triángulos como lados tenga el polígono menos dos: *los cuadriláteros tendrán 2 triángulos *los pentágonos tendrán 3 triángulos *los hexágonos, 4... La suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera formado por n lados será: 180(n-2)º Ricardo Esteban Alonso Página 13

14 ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA. CENTRAL E INSCRITO En una circunferencia, el ángulo cuyo vértice está en el centro (ángulo central O) es el doble del ángulo cuyo vértice está en la circunferencia (ángulo inscrito B) cuando los rayos que forman el ángulo cortan a la circunferencia en los mismos dos puntos. La medida de un ángulo central es la medida del arco que abarca, mientras que la de un ángulo inscrito es la mitad del arco que abarca. Ricardo Esteban Alonso Página 14