CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Transcripción

1 CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO 1. Circunferencia y círculo. Elementos. 2. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia. 3. Posiciones relativas de dos circunferencias. 4. Ángulos centrales. 5. Ángulos inscritos. Los contenidos que vamos a aprender en este tema se ajustan a los contenidos del Bloque de Geometría de 1º ESO citados en el Decreto 69/2007, de , por el que se ordena el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha (DOCM ) La circunferencia y el círculo. Uso de herramientas informáticas para construir, simular e investigar relaciones entre elementos geométricos. APM Página 1

2 1. Circunferencia y círculo. Elementos. Una circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto fijo llamado centro. Un círculo de centro O y radio r es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor o igual que la longitud del radio. Es decir, es la superficie plana limitada por una circunferencia. Mira la imagen y entenderás la diferencia: Los elementos de una circunferencia son: Centro: punto fijo O. Radio: segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Cuerda: cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia. Arco: cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Diámetro: cualquier cuerda que pase por el centro. Cuando la cuerda es un diámetro, el arco que forma es una semicircunferencia. APM Página 2

3 En un círculo podemos encontrar las siguientes regiones: Semicírculo: Es cada una de las partes en que un diámetro divide al círculo. Sector circular: Es la posición de círculo limitada por dos radios. Segmento circular: Es la parte de círculo que se encuentra entre una cuerda y el arco correspondiente. Corona circular: Es la parte de círculo que se encuentra entre una cuerda y el arco correspondiente. Trapecio circular: Es la parte de corona circular que hay entre dos radios. Zona circular: Es el espacio comprendido entre dos cuerdas. 2. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia. Una recta y una circunferencia pueden cortarse en un punto, en dos puntos o no cortarse. Exteriores: No se cortan. La distancia de la recta al centro de la circunferencia es mayor que el radio. Tangentes: Tienen un punto en común. La distancia de la recta al centro de la circunferencia es igual al radio. Secantes: Tienen dos puntos en común. La distancia de la recta al centro de la circunferencia es menor que el radio. APM Página 3

4 3. Posiciones relativas de dos circunferencias. Dos circunferencias pueden cortarse en un punto, en dos puntos o no cortarse. de los radios. Exteriores: No se cortan. La distancia entre los centros es mayor que la suma Interiores: No se cortan. La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios. Concéntricas. No tiene puntos en común. Tienen el mismo centro y el radio de una es mayor que el radio de la otra. APM Página 4

5 Secantes. Tienen dos puntos comunes. La distancia entre los centros es menor que la suma de los radios y mayor que su diferencia. Tangentes exteriores. Tienen un punto común. La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios. Tangentes interiores. Tienen un punto común. La distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios. 4. Ángulos centrales. Un ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma. APM Página 5

6 60º. La medida de un arco es la misma que la medida de su ángulo central. Por ejemplo, si un ángulo central mide 60º, su arco correspondiente también mide Vamos a resolver un ejercicio: Una circunferencia se divide en cinco partes iguales. a) Cuánto mide el ángulo central de cada parte? b) Cuánto mide su arco correspondiente? Solución: a) Como la circunferencia mide 360º, si se divide en cinco partes iguales, el ángulo central de cada uno es: 360 : 5 = 72º. b) El arco correspondiente mide lo mismo que el ángulo central, es decir, 72º. 5. Ángulos inscritos. Un ángulo inscrito tiene su vértice en una circunferencia y sus lados son secantes o tangentes a ella. Pero, cuál es la medida de un ángulo inscrito? Dibujamos un ángulo inscrito y el ángulo central que abarca el mismo arco que él. Vamos a medirlos. Qué observas? abarca. La medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco que APM Página 6

7 Podemos demostrar esta propiedad observando el siguiente dibujo: Además, si observas: A + E = 180 Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º. Por tanto: A 1 + A 2 + E = 180 Si restamos ambas expresiones queda: A - (A 1 + A 2 ) = 0. Entonces: A = A 1 + A 2 Pero, el triángulo es isósceles (dos de sus lados son los radios de la circunferencia). Por tanto, si dos lados son iguales, sus dos ángulos correspondientes son iguales. Así: A 1 = A 2 Por tanto, A = 2 x A 1. Luego: A 1 =, como queríamos demostrar. Ahora nos podemos preguntar lo siguiente: cuánto mide el ángulo inscrito en una semicircunferencia? Dibújalo y observa detenidamente. recto. Efectivamente, todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo APM Página 7